Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Теперь возьмем в качестое ш в (6.8.6) любую функцию о!«>. Тогда (Чо>О, 7о!«') -~ Х(й, о>«>) прн 1о оо, иначе говоря, если» также устремить к бесконечности, то (То!О, чи»9 — о 1>(! й(>э=)> при «, 1 — о оо, откуда следует, что (Чои>) является последовательностью Коши в ьэ. (Это значит, что ((д)дхч) о!'>)>" > при каждом д является последовательностью Коши.) По определению производной распределения предел Чо>п равен чй, и мы за- ключаем, что Чиц(,о, т.
е. й принадлежит пространству Соболева (Р>> а э>г>- и по норме (~ ° )! пространства )Р>, и что (Чй(>о.=)>. Поскольку каж- дая функция о!»~йг„которое представляет собой замкнутое многообразие > в %'>„то и~)Ро. Итак, и удовлетворяет всем условиям теоремы. Нетрудно видеть, что собственные функции, полученные таким путем, образуют полную систему в Ьо(Г)), Во-первых, они ортонормированы по по. строению. Во-вторых, после того как получена любая их совокупность (и„и,....), путем указанного построения можно получать дальнейшие со-ственные функ- ции, если размерность многообразия М, ортогонального этим функциям, от- лична от нуля, тогда как прв сип> М=О в (Ро не найдется функции, ортого> нальной всем собственным фУнкциЯм. Относительно (.з-ноР«>ы В'о плотно в ь>. (()), а значит, система собственных функций является полной.
Е.Е. ЗАДАЧА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И СОЛЕНОИДАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ В статье Сзттииджера (!9701 сформулирована следующая задача: пусть (г — одиосвязиая область в Дэ с кусочно гладкой границей дь); найти гладкое векторное поле ц(к) в«а=0()дь), удовле- 146 Гл. В. Некамарые садани, свнэанные с лааласнаналс творяющее уравнениям 7эн+Хп= 7р в 0 7п= — О в Я, н=О на о(с (6.9.1) (6.9,2) (6.9.3) скалярного произведения, включающего диадики, (7н, 7ч)= ~ 7п: 7чс(эх, (6.9.6) где двоеточие указывает на двойное скалярное произведение э 7н: 7ч = Х (дсйн) (дрн).
(6 .9,6) Ф,/=3 для некоторого числа Х и некоторого скалярного поля р(х); тогда Х называется собственным значением данной задачи, а н (х)— собственной функиией. В полной задаче устойчивости в (6.9.1) н оператору Лапласа добавлены члены низшего порядка, состоящие из произведений первых производных на функпии и описывающие основное течение, устойчивость которого должна быть определена.
В методе Сэттинджера решения получаются путем соответствующего возмущения решений данной задачи. Кажется естественным ожидать, что сформулированная задача должна иметь полную систему собственных функций, основываясь на сравнении с задачей электромагнитных колебаний резонатора ьс, для которого граница д(с — идеальный проводник, а и(х) — электрическое поле. Известно, что эта задача является самосопряженной и имеет полную ортонормированную систему собственных функций, Эта задача отличается от рассматриваемой, во-первых, тем, что 7р=О, а это ограничивает свободу выбора и (х), а во-вторых, тем, что единственным граничным условием является обращение в нуль на дЫ тангенциальной составляющей и, что увеличивает свободу выбора н(х). й(ы таким образом как бы обмениваем одну функцию на д(с (р удовлетворяет уравнению Лапласа и поэтому полностью определяется своими значениями на д(с) на другую такую функцию — нормальную составляющую п(х) на д(1.
Сначала мы формально проведем вычисления, а затем покажем, как эти действия могут быть обоснованы теорией распределений. Интеграл Дирихле обобщается при помощи введения кроме скалярного произведения векторов (н ч)=) и чоэх (6.9.4) 6.9. Задача сидродинолтчсской остойчивости Обобщенный интеграл Дирихле имеет вид 0 («) = 1 7«(!л = (р«, У«). (6.9.7) Наименьшее собственное значение Л является минимумом 7д(«) при дополнительном и граничном условиях (6.9.2), (6.9.3) и при ограничении 1«[ = 1, где 1,«(! †нор, определенная при помощи (6.9.4).
Собственная )ся функция строится так, чтобы она была ортогональна предыдущим «и ..., «,, и нормирована, т. е. мы предполагаем, что все уже построенные функции образуют орто- нормированную систему. Обозначим через М соответствующее пространство векторных полей М=(«(х): («»о «)=О(й= — 1, ..., 1 — 1), р «=.0 в 2, «=0 на дй). (6.9.8) (В дальнейшем мы определим это пространство более точно.) Допустим, что минимум (д(«) для «ЕМ и 1«1=1 получен при «=«. Тогда, полагая «=«+и н рассматривая «с~ М как ма- лую вариацию, при помощи того же Вариационного метода, как в З 6.6, получаем ) [р«: рис — Л« ° нс1 с(лх = 0 лг в Е М, где Л вЂ” множитель Лагранжа. Переходя к составляющим векто- ров, имеем з Х ) [уил" ую7 — Лйлнл71л(ах= О.
Так как каждая компонента чч равна нулю на д(1, мы можем проинтегрировать по частям и найти, что ~ [1»«+Л«1 илах=О Учт~М. (6.9.9) В этом уравнении можно отбросить ограничение, заключающееся в том, что и должна быть ортогональна найденным собственным функциям, ибо если « — одна нз таких функций, то ~ [Тл«+Л«1 «»л(ох= ~ «[рл«»+Л«»)сРх=(Л вЂ” Л») ~ ««»с(лх, а последний интеграл равен нулю нз-за ортогональности «функциям «».
Поэтому (6.9.9) выполняется для произвольного соленондального поля тч, которое обращается в нуль на грашп:е. В частности, если чч= р хлр, где лр †произвольн векторное поле с носителем в Й, то интегрирование по частям показывает, что рм (Г«+ Л«) ортогонально любому такому чр и поэтому равно нулю, откуда следует, что ул«+Л«является градиентом, т. е. 148 Гл. б. Оекочнорме оооачи, евноанные с ланеаеоаном удовлетворяет (6.9,1). (Напомним, что область й предполагается односвязной,) Наоборот, пусть и удовлетворяет уравнению (6.9.1), является соленоидальным полем и обращается в нуль на границе. Тогда мы можем подставить в формулу (6.9,9) и = и и интегрированием по частям получить, что ге(ц)=) 7й1'=Цц('. Для того чтобы обосновать все шаги проведенных выше вычислений, мы сначала будем интерпретировать (6.9А), (6.9.6) с помощью обычного скалярного произведения в 1.в(11): в (..)- х (.,;), (6.9.10) /=1 (уп, Тч)= Х (д цм депо).
(6.9.1 1) ь е=! Обозначим через Н гильбертово пространство всех векторных полей в Й с конечной нормой 1п), а через Н' — соответствующее пространство Соболева полей с конечными значениями нормы )п)о определяемой следующим равенством: еп(е 1п,~в 1 ) рп)в у =0 в а, и. и = 0 на д(1. (6.9,13) Элемент и из Н принадлежит Н', если все девять частных производных д ио принадлежат й'(11).
Согласно векторному анализу, любое достаточно гладкое векторное поле может быть представлено в виде суммы соленоидального (бездивергентного) поля и безоихреоого (потенциального) поля. В силу условия (6,9.2) нам желательно найти полпространство пространств Н и Н', состоящие из соленоидальных полей. Однако классическое разложение неоднозначно: можно добавить к одной части и вычесть из другой градиент любой гармонической функции — если Рвчр=б, то Тф одновременно и соленоидально, и потенциально, Для однозначности разлоичсния нужно использовать граничное условие на д() .(или на бесконечности). В некоторой степени произвольно мы выбираем условие, состоящее в том, что нормальная составляющая солеиоидальной части обращается в нуль на д(1, поскольку это условие подразумевается в (6.9.3).
Итак, мы хотим определить подпространство Н,' пространства Н' (индекс о означает «соленоидальныйо) со следующим свойством; гладкое поле п(х) принадлежит Н,' тогда и только тогда, когда 6.9. Зада«а гидродинамической истой«иаосши 149 Для гладкого поля и условия (6.9.13) эквивалентны условию ~ и угрсРх=О чггрЕ С" (ьг), (6.9.14) что легко получить интегрированием по частям. (Сначала нужно рассмотреть гр, обращающуюся в нуль на дьг, н установить, что если (6.9.14) справедливо, то )) п=О в ь). Затем, рассматривая произвольную гр, можно установить, что и п=О на дьг.) Итак, мы определяем Н,=(пЕН: (у~р, п)=О ту(рЕС" (11)). (6.9.15) Н„является замкнутым линейным многообразием в Н, а значит, подпространством, потому что оно представляет собой ортогональное дополнение.
Н,' — соответствующее подпространство Н'. Можно рассматривать подпространство (6.9.6) как М = (и Е На: (пл, и) =О (й = 1, ..., 1 — 1)„ каждая компонента и принадлежит Щ (6.9.!6) и положить ).=!п((!!рп)!'г п~ М, ~п(!=1). Теорема. Эта нижняя грань достигается, т. е. существует элемент йЕ М, такой, что ))Чп!!е=Х, )!й(!=1. Кроме !лого,.
Тай+)й=)ур в Й (6.9.17) для некоторого скалярного поля р. Доклзлтнльстно (аналогичное доказательству в предыдущем параграфе), Рассмотрим так)чо последовательность элементов и в М с( и(= 1, что ! тн !э — + Х, Пусть К > )г 1 +Х; тогда, начиная с некоторого элемента последовательности, каждый и принадлежит множеству ас, фигурирующему в теореме компактности 1 бсд Следовательно, существует сходящаяся в ьа подпоследовательностго которую мы обозначим через (чгг')г .
В силу непрерывности скалярпого произведения предел и этой подпоследовательности удовлетворяет условиям !!й(=1, (на, и)=0 (Гг=1, ..., ! — 1), (6.9,!8) поскольку каждый алемент т<г> удовлетворяет им, С помощью того же рзссуждения, что и в предыдущем параграфе (см. (6.8.6), (6.8.6)), мы заключаем, что если и — произвольный элемент М, то (рт!гд тт«) — «Х(й, м) прн 1 — + ее. (6,9.!9) Этот результат мы используем тремя способами. Во-первых, положив м=т<мд мы установим, что (рог') является последовательностью Коши, и отсюда, как прежде, последует, что ее предел равен ри и поэтому и~на, в Ф! — г и в Нг. Но М является подпространством Н" (т. е, ааикиугамм линейным многообразием), откуда вытекает, что й~М.
Из (6,9.19) тогда следует, что (уп ум)=ь(и и) (6,9.20) Р6О Гл. б. Неношорые энда ш, слизанные с ланлогилнои для м~М и, в частности, что !) ун))з Х~! в !2 1„ (6.9.2!) Во.вторых, положим и в (6.9.20) равным ин (1 й~/ — 1). Так как (и, ин)=0, видно, что (ун, увн)=0. В-третьих, допустим, что ф — лшбое векторное поле в Се" (Р), Тогда Доклзлтнльство. Мы покажем, что для каждого 6 > 0 существует рас- пределение р=рь, такое, что и= рр в области !)л, состоящей из точек в (л, находящихся от дР иа расстоянии, большем б.
Кроме того, при аккуратном выборе произвольных аддитивных постоянных в ра оказывается, что если 0 < б' < б, то ре = рь' в Рл. Тогда искомое распределение р получается нз рз при использовании принципа 6 3.5. Пусть фр — фиксированная пробная функция с носителем в некоторой области ()лы причем ~ флпзх=1. Рассмот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
