Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Теорема компактности зли пространства Соболева йта мится к нулю. В настоящей теореме мы используем гранину для разностей и(х+у) — и(х) в смысле Еа, а не просто границу, равномерную по х, как будет показано в приведенной ниже лемме 1. Пусть (Р'=)(Ут(йп) — пространство Соболева, рассмотренное в 2 5.11, а именно гильбертово пространство, состоящее из всел иЕх'.а(й"), которые имеют конечные значения нормы Пиио задаваемой в виде и в=п и'+пртеп* (6.7.1) где )Пии — норма в (.», а И уи1" определяется так: И уи Иа ~" ~„иди(дх»и'. »=1 (6.7.2) гдг Тт=опериттор сдвига: (Тти) (х) =7" (х — у). 'Доклз»тельство, Пусть иа —— Уои, где 7 — оператор сглаживания, описанный в и 26. Так как Иу /Иек(П( для любого / в й' (5 5.!О) и Чщ = Р Уау/ (З 2.6), видно, что иа также пРинадлежит классУ А"; тогда ПТ и — иь(<а=иТ„иьи' — 2 не(ие, Т„и )+Ии И~, Первый и третий члены в праной части не зависят от у (фактичесни они равны). Далее, и Г-— — (и,, Т,„иа)= — ) иь(х)ие(х — ~) Лак= = — ( и (х) у.
Чи,(х — ау) Лпх. В силу неравенства Шварца и 2 Ие(иь, Т,„иь) )~12у(Павии тиьи~(2у(Кй !А и нозтоиу 1 Г и П Т и — и ((е = ) — П Т, и — ио Ит Лз ~12у( Кт, о откуда следует (6.7.Э), так как Т и — ие — Яа(Тти — и) — +Т и — и при 6 — ео. В 2 5.10 было покааано, что ие — и в Ьа при 6- О и любом фиксированном и. Но нам сейчас нужно несколько большее. Пусть К ) О. Обозначим через Ус множество элементов и из Яра, для которых Иип,(К. Для любого такого и Иии<К и Пуни(К.
Лемма 1. Пусть ие Ус. Тогда для любого у и любемо б) О Итти — П < Кину(т7е, (6.7.3) )42 Гл. б. Некоторые задачи, саязпяные с лопласиеном Лемма 2. Сходимость иэ - и явллется равномерной в классе зс. То есть для любого в) О существует 6, > О, не зависящее от и, такое, что (! иэ — и (! < в для и Е уС, 6 ( 6, или, точнее, (!гтв — и!»(26К» для и~УС.
(6.7.4) ДОК"Злтеяьства. Сначала мы покажем, что (6.7.4) справедливо, сели и является С»"-функцией ф нз ЖГ, Ясно, что ! фа (х) — ф (х) ! ~ ) ф (х+ Ьу) — ф (хЦ р (у) иву. Квадрат этого выражения можно выразить в виде произведения двух интегралов, скажем по у, и у,. Сначала проинтегрируем это произведение по х, т. с, рассмотрим интеграл ) ! ф (х-1-Ьуд — ф (х)1-( Е (х+ зуд — зр (х)( ичх. Используем неравенство Шварца и лемму !.
Так как носитель р имеет единичный радиус, необходимо лишь рассмотреть (уг(~ ! н (у»!~ !. Следовательно, по лел1ме ! последнее выражение не превышает 2ЬК», Далее, интегрированиее функций р(у,) и р(у,) даст единицу, н этим устанавливается, что (67.4) справедливо для и=ф Теперь для данного и из ВТ мы полагаем ф=/з и. Функция 1р также принадлежит згс, так- как, согласно (5.!О.!), 1 (! ф !! = (! .г ь и ~', ~ !', и (! и ('7ф! =(7/в и(1=)lь 7и()~(7и1!. Кроме того, фа — фс уз (иа — и), поскольку Уь/ь с уа У . Следовательно, фа — т) — ч иэ — и при Ьг О, откуда следует (6.7,4). Пусть теперь зс (ь)) обозначает лзножество тех элементов класса %'., носители которых принадлежат ограниченной области ()г:К». Теорема (лемма Реплика). Множество эд ((!) условно компактно по 7»-норме, т.
е. любая последовательность (и„) элементов из зь' (()) содержит подпаслсдовательнпсть (и ), которая сходится в (.а. Замечание. Слово еусловио» указывает на то, что предел последовательности (иа) необязательно содержится в Ьь. и даже в Ю'. Доцлзлткльстпо. Сначала мы покажем, что элементы ТС((З), будучи подходящим образом сглангсны, равностепенно яепрерывны. Для любого иСЛ'(О! иь — — l и определено в Й» и удовлетворяет уравнению и,(х — у) — иа(х)=з (Т„и — и)=сТ„и — и, рюьь (см.
4 2.6), Поэтому иа (х — у) — иэ (х) (~(Т„и — и((р, э ,,'!, !43 6.6. С//а4естеование собственных би//нкций но )р ((з — ~~р( ) ( ) ~йлла— т. е. ( и, (х — у) — и, (х) ) ~ К ( 2у (т/е — „. Таким образом, функции за и=и (х), ий: З (()), равностепенно непрерывны лля любого 6 > О. Легко показать, что они также равномерно ограничены для любого 6 > О.
Наконец, они отличны от нуля только в ограниченной области 0 (6), которая расширена вне й на расстояние 6. Следовательно, к этим функ. циам может быть применена теорема Арцела, Пусть (иэ) †произвольн последовательность элементов в ах'(й). Нам нужно показать, что сушествует подпоследовательиость, которая сходится в йз. Используем индукцию: (!) Возьмем 6 = 1, уа = ут и допустим. что (ие) является такой подпо.
1 следовательностью (из), что (l,ие) сходится. (2) Возьмем 6=!/2, за =- lт/т и допустим, что (ль) является такой подпоследоэательностью (ие), что (/1/заь) сходится. (Ч) Возьмем 6=1/д, 1а = з'г/е н допустим, что (и Т) является такой подпоследовательностью (иеь ), что (УыеиД сходится.
Тогда диагональная под. е1 / ь1 последовательность (ие/е , такова, что (э'сне) сходится для любого 6= 1, з/и ..., и мы хотим показать, что и сама (иь) сходитсЯ. задав а > О, мы выберем такое 6=1/д, что (,'lои — и,'~ < в для всех и6Ж в силу леммы 2, и для такого 6 мы выберем ь, такое, что !//э(из — и/) /! < а при й, 1> 1.. Тогда )(иь — иг(( < 2е при й, 1> ь, а отсюда следует, что подпоследовательность (ие/, содержашаяся в (из), схо е1 дится по ьз-норме, что и требовалось доказать. УПРАЖНЕНИЕ 1. Покажите, что если и6)гт(кл), то Уаи — ьи по норме (П„и что зто справедливо относительно ограничения ззи областью (1, если н 6 Б)( (и). Б.а.
сущестВОВАние сОБстВенных Функций Сейчас мы установим существование и другие свойства решений вариационной задачи из 2 6.6. Как и в двух предыдущих параграфах, Я является ограниченной областью в Рл с кусочно гладкой гнперповерхностью д(), /.'(ь)) — основное гильбертово пространство, а В" — соответствующее пространство Соболева, причем подпространство )Р', пространства Цу' состоит из элементов, обращающихся в нуль на дьа. Согласно определению (6.7.2), интеграл Дирихле () (и) означает ) Ги,'(з. Мы будем действовать по индукции и допустим, что первые 1 — 1 собственные функции ия и соот- 144 Гл.
Я'Неяоэ>орые ж>дача, сачзаниые с лаялагаанам Л=[п[ЦРи)>": и Е М, [и[= !) н покажем, что эта нижняя грань действительно достигается. Теорема. Существует элемент и(-М, такой, что ~!и()=1, )~ ьи>>я=Л и Тай+ Лй=О в Я. (6.8.2) Доклзхтпльство По определевию нижней грани сушествует последовательность элементов ас Ч с нормой 1,'и 1;=1, на которых [та >)з сходнтси к Л (сверху), Если К > р«1+ Х, то члены этой последовательности, начиная с некоторого элемента, принадлежат множеству >««", описанному в предыдушем параграфе. Поэтому, согласно творе>>е компактности, сушествует сходяшаяся в Ез подпоследовательность, которую мы обозн ачим через [о»>)>" >. Иначе говоря, каждая функция ои> принадлежит м и > реп> [я — «л, ыг> - и~ее (!1) при ! — о>, В силу непрерывности скалярного произведения (, ) в Ея(О) элемент и удовлетворяет условиям (й()=1, (аз, и) =О (й=1> ..., ) — 1), (6.8.3) тзк как каждан Ы'> удовлетворяет им.
Пусть ю — произвольный элемент изМ. Поскольку Л можно характеризовать как нижнюю грань!,' уп Я н[з для а~М, имеем ))то>г>+вр, )Р— л~,. и+ Р О (6.8.4) для любого в и любого 1= 1, 2, ...; отсюда следует, что [1 пои>[з — Л ~>ыо)т)+2 Ке [з (уои> тш) — )з (о>и гзц-1- '+ [ е )я [[ >)ю [з — ), 1 ш р[ ) О (6. 8 5) При ! — «ее нижний предел левой части этого неравенства неотрицателен.
Более того, первый член в квадратных скобках стремится к нулю и (ои>,ю) †«(й, ю). Таким образом, 1(п> 1п! 2 йе е (то и>, рв) — 2Л ((е е (и, в) +1 з )я Ц тю 1'. — Л ! ш 1,"1 ~ О. Далее, последовательно полагая е равным ее, — ее, >зе, — гзз, где зе > О, мы достигаем верхнего и нижнего пределов на вешестаенной и мнимой частях (уз<>>, рю), В пределе во О ю>еем (рои>, уш) — «Л(а, ю) при 1- ю. (6,8,6) ветствующие собственные значения Лз уже найдены (Й =- 1, ..., !' — ! ) и что каждая и„принадлежит К,' и удовлетворяет уравнению 1)'из+Лапа=О в (1.
В качестве элементов из Ез(И") функции и„ считаются имеюшими носитель в К т. е. обраща>ощимися в нуль вне ьз. Наше построение таково, что каждая новая собственная функция нормирована и ортогональна к предыдущим, т. е. мы полагаем, что и„..., ит г образуют ортонормированную систему.
Согласно 2 6.6, нужно найти новую собственную функцию, т. е. функцию, которая минимизирует [Ти([> при только что упомянутых условиях. Поэтому мы определяем М как соответствующее подпространство из Ю",: М = (и Е йт',: (из, и) = О (л = 1, ..., ! — 1)). (6.8.1) Положим 145 6.9. Задача эидродинамиммкой рсжойчивосща Мы используем этот результат дважды.
Сначала отметим, что для любой функции Ф в Со (Ф принадлежит В'о) функция 1- 1 ш=Ф вЂ” Х (ию Ф) и« «=1 принадлежит М. Кроме того, 1- 1 7>ш= Ч'Ф+ ~ "«(и>ь Ф) и». «=1 Поскольку ш и все ее первые частные производные принадлежат То(()), а ог>>~В',о>, можно использовать формулу интегрирования по частям (5.12.5) для преобразования выражения в левой части (6.8.6) в — (о>г>, Ч'ш), Именно здесь мы используем граничное условие о!'>=О на д(> или принадлсжностьо!'> надпространству (Ро,. Таким образом, поскольку оа> и и ортогональиы иг,... .„„иу >, соотношение (6.8,6) дает — (о>>>, 7>>р) -- д (й, >р). Следовательно, (й, Ч >Ф + ),Ф) = О, а значит, по определен ню производной распределен н я Чай+»и=о в П, (6.8. 7) что является одним из искомых результатов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
