Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 25
Текст из файла (страница 25)
!) ~у — фа (ь, „ Таким образом, (фу] сходится и Ег в ?~Ег! следовательно, согласно лемме Ричана — Лебега из й 5.8, ! (х) является непрерывной функцией, стремящейся к нулю при (х(-ч сь, Пусть теперь ! †нечетн число. В этом случае распределение х), определенное выше, все еше принадлежит !.э, потому что (!) если ух †люб компонента переменной уи ууй~!.'для любого лее.', то (уу(з также принадлежит Ез, и (з) (уэг+" +унт)г(з~((уг!+" +(уи()'; следовательно, теорема справедлива и в этом случае. Замечание.
Для и = 2 и и = 3 из доказательства теоремы следует, что если ? и фзр принадлежат Ез ((=2), то Š— иепрерывиая функция и ((х)- О при )х~- оо. Глава б НЕКО1ОРЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ЛАПЛАСИАНОМ Собственные функции для задач колебаний в ограниченной области; вариационные методы; интеграл Дирихле; потенциал, обусловленный заданным рас. пределепием заряда; уравнение Пуассона; свертки; прямое произведение; теорема Шварца о ядре; уравнения Коши †рима; гармонические функции, Предварительные сведения: гл.
5. йл. ПОТЕНЦИАЛ. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА Вспомним, что в электростатике потенциал 1У(х), обусловленный распределенным зарядом с плотностью р(х), задается в виде 1г(х)= ) р(у)с('у кч (6.1.1) Лапласиан ио многих отношениях имеет более классический характер, чем многие из дифференциальных операторов, которые будут рассмотрены в гл. 10 и 11.
Одной из основных задач является определение собственных функций и(х) уравнения узы+Хи=О в области О и-мерного пространства прн граничном условии и(х)=О на границе д(2. Прн в=2 это классическая задача о колебаниях мембраны. При п=2 и и=-3 эти собственные функции и вариационные методы, которыми они определяются, оказываются полезными в задачах колебаний, теплопроводиости, электромагнитных полей, гидродинамическои уст<йчивости. Именно собственные функции и методы их нахождения составляют главное содержание настоящей главы. При помощи некоторых других задач будет проиллюстрирована универсальность методов теории распределений. Во-первых, будет установлена справедливость уравнения Пуассона для потенциала )г(х), обусловленного зарядом с плотностью р(х), где р (и) — произвольное распределение с ограниченным носителем в Ез.
Во-вторых, будет показано, что если производные в ураннениях Коши — Римана интерпретировать в смысле теории распределений, то из этих уравнений для распределений и и и на Вз следует более общая, чем в классической теории, аналитич-. ность и+Го, В этой связи доказывается, что любое гармоническое распределение в Ен является гармонической функцией в К", Кратко обсуждаются свертки распределений, так как они необходимы при рассмотрении уравнений Пуассона, а 'затем обсуждается теорема Шварца о ядре, что нужно для полного понимания свертки.
и что этот потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона уЧ1 = — 4пр. (6.1.2) (В этой главе одинарные вертикальные черточки используются для обозначения длины вектора, а двойные вертикальные черточки обозначают норму вектора в Ь', когда он рассматривается как элемент баиахова или гильбертова пространства.) В следующих двух параграфах эти уравнения будут обобщены па случай, когда р — любое распределение с ограниченным носителем на Г.
Мы кратко обсудим также модифицированную задачу, в которой заряд содержится в области (1, ограниченной простой замкнутой поверхностью д(1, иа которой (г(х)=0. Затем первый множитель в подынтегральном выражении в (6.1.1) будет заменен функцией Грина 6(х, у). 6.2. СВЕРТКИ В соответствии с (6.1.1) т'(х) является трехмерной сверткой функций Цх~ и р(х), и поэтому прежде всего нужно определить свертку ~ад двух распределений Г и д на В".
Если Г и д — обычные функции, причем д имеет ограниченный носитель, то свертка является также функцией (~эд) (х); как распределение она задается формулой <1 «д, ф> = ~ ~ Г (х — у) д (у) ТР'уч (х) г("х =~~~( )д(у) р(у+в) (у(м, (6.2.Ц и в дальнейшем мы будем использовать непосредственную имитацию этой формулы, Если д — распределение с ограниченным носителем, то внутреннее интегрирование в последнем члене (6.2.1) (интегрирование по у) следует рассматривать как <й, Цн>, (6,2.2) где е.(у) = р(в + у). (6.2.3) Из упражнения 3 3 2.6 и последующего обсуждения операторов сглаживания следует, что <й, ср > является функцией тч класса С". Равенство (6.2.3) показывает, что при достаточно большом 1тч~ носители д и <р„не перекрываются, а значит, я, ср >=О, т, е.
функция <и, гр > имеет ограниченный носитель й поэтому является пробной функцией. Внешнее интегрирование в (6.2.1) можно рассматривать как результат подстановки этой пробной функции в <~, >. Таким образом, мы вводим определение <( ра Ч> = <) <а И » (6.2.4) (28 Гл.
б, Некоаюрые задачи, связанные с лапласиаяом Из этого определения и правила дифференцирования по параметру (см. упражнение 2 9 2.4) очевидно следует, что если дг обозначает д(дгпу, где гп — одна из компонент ти (1= 1, ..., и), то дг (( и д) = (д?)) и д = ~ е (д,д) (6.2.5) и аналогично для производных высших порядков, т. е. точно так же, как н для обычных функций. Рассмотрим случай, в котором одно из распределений Г, д является 6„(х), т.
е. и-мерной б-функцией, определяемой равенством <6, ф> = гр (О) тугр (х) б С~ (ею ). (6.2.6) Если 7= 6„, то величина в правой части (6.2.4) равна <6„,.<й, ф„»=<й, гр,>=<й, ф>, и значит, бьеи=н; (6.2.7) аналогичным образом (6.2.6) Эти результаты можно записать в виде символического соотношения между функциями д и распределениями д: ~ 6„(х — у) д(у) с("у = д(у). Дальнейшие свойства сверток указываются в 9 6.5. УПРАЖНЕНИЯ !. Покажите, как нужно изменить рассуждения, проведенные в этом параграфе, для распределений 1 и д на К, носители которых ограничены снизу (или сверху). Что можно сказать в этом случае о носителе 1 э а? 2.
Покажите, что для пробных функций ф н ф аа На преобразование Фурье от ф э ф представляет собой умноженное на (2лроз произведение фф в обычном смысле. 3. Пусть 1 и а †распределен медленного роста яа Ка, причем а имеет компактный носитель. Покажите, что преобразование Фурье от ( * а представляет собой улшоженное на (2п("(З обычное произведение Га, предварительно заметив, что это произведение вполяе определено, поскольку а является функцией класса С" (см. теорему й 4.5).
4. Пусть / и а †распределен медленного роста на й, вскители которых ограничеаы снизу (или сверху). А(ля каких (комплексных) значений перемеиной преобразования й распределения 1 и а являются обычными фундциямн? Покажите, что для таких значений переменной й выполняется равенство й=(а, где 6=у за. Это упражнение имеет отношение к преобразованию Лапласа, которое будет обсуждаться в 4 9.ог. бцс ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА Пусть и=й(х) обозначает распределение й(х)=(х) ' (первый пример в 9 2.5, см. формулу (2.5.2)). Тогда потенциал У=)г(х) можно определить как распределение У=А ар, (6.3.1) которое совпадает с (6.1.1) блп Эидачи Перссона, 11ирихле, Грини и Неа.яани 12Ч Покажем теперь, что лапласиан от распределения й имеет впд 7',й (х — у) = 7„'lг (х — у) = — 4лб, (х — у); (6.3.2) тогда отсюда и из правила дифференцирования свертки (6.2.5) последует уравнение 7е(г = (7з)г) «р = — 4лб,ар = — 4лр, что н требовалось доказать.
Чтобы установить справедливость (6.3 2), положим, что ф(х) — любая пробная функция из Се" (зсз). Тогда (7„'й(х — у), ср (у)> =<гг (х — у), 7згр (у)>= 7зер (у) г(зу = ~ — 7 „гр (х — в) гРв = 1 Г 1 з )х — у) =3 (п) з ( 1 (и( = 7 » ( — гР (х — в) г(зв = 7,з ~ р (у) г(зу = — 4лср (х), где последнее равенство вытекает из уравнений классической теории потенциала (6.1.1) н (6.1.2), в которых гр (х) заменяет р(х). Отсюда следует справедливость (6.3.2). Зтот же метод можно использовать и для ббльших размер. настей. В этом случае классические уравнения (6.1.1) и (6.1.2) нужно заменить уравнениями )г(х)=) „., р(у)г("у, (6.3.3) 2(н 2) пч/з а ! 7')г =— Г (л/2) р= — с р.
(6.3.4) Постоянная с„равна площади поверхности единичной сферы 5» ' в зс», умноженной на (а — 2); 2яч/з Плошадь (5ч ') = —. Г (н/2)' (6.3.5) Упражнения !. Получите (б.з.б) путем вычисления интеграла от ехр ! — хь — ° ° ° — х,г з ег по Нч сначала в полярных координатах, а затем как повторного интеграла в декартовых координатах. 2. Найдите преобразование Фурье функции г (х) =! х ! «+' в Ие путем преобразования уравнения тз() ар)= — с„р, где р — пробная функция. 6.4.
ЗАДАЧИ ПУАССОНА, ДИРИХЛЕ, ГРИНА И НЕЙМАНА ИЗ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА Пусть электрический заряд содержится в области, принадлежащей Я из гсч с кусочно гладкой простой замкнутой границей дь) (заземленная проводящая гиперповерхиость), на которой (г(х) =О. б Рвхтмааер 1% Гл. б. Некопорые задачи, свяызнные с лаяласианоя Тогда классическая задача Луассона заключается в следующем: при заданной «достаточно хорошей» функции р(х), скажем непрерывной в й=й()дй, найти функцию и'(х) из класса Св в й, непрерывную в Й и такую, что ТЧ1= — с„р (задана) в й, (6,4.1) 'и'(х)=О для х на дй. (6.4.2) В классической задаче Дирихле на границе появляется неоднородность: ул'и'=-О в й, (6.4.3) У(х)=Г(х) (задана) на дй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
