Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Иначе говоря, г должна быть бесконечно дифференцируемой как функция сферических координат б и ф при Ос. б ( и, — и < ф ~ и, причем в двух системах сферических координат, расположенных так, что особые точки каждой системы покрываются неособыми частями другой. Распределение на 5 определяется как линейный функционал на С" (5); скалярное произведение двух функций из С" (5) есть величина (~, ф)= ~ ~~(~, ~)ф(к, ~) ым (~ -оо далее проводятся те же построения, что и для описанных выше пространств 1,'. Пространства Ь' такого рода появляются в теории представлений групп; там 5 — это групповое многообразие или так называемое однородное пространство (см. том 2).
Будет показано, чта 1.'(М), где М вЂ” любое определенное в этой теории многообразие, может быть определено аналогично. Если 11 — область с достаточно гладкой границей д(1, то граничные значения распределения Г" из 1.'(Й) можно иногда рассматривать как распределение из ЕР(д(1). Очевидным образом определяется и пространство Л' периодических распределений. Если функция ~(х) =~(ха ..., х„) такова„ что Г(х+р)=)'(х) для всех х, где р=(р,, ..., р„) — фиксированный вектор, не равный нулю, то ана называется лериодичесюй, а р-ее периодом, Рассмотрим функции и распределения а.в. Унноохвннв в ироотранствах Т.в с периодами вида р=(0, ..., О, 2л, О, ..., 0), т.
е. предположим, что для 1=1, ..., л ~(хп „х ь х +2л, х,,-„... х„)= =~(хь ..., хт в, хт, х ь ..., хо). (5.3.13) Ясно, что для любого вектора р, все компоненты которого представляют собой целочисленные кратные 2л, ) (х+р)=т(х). Пусть С",„— пространство бесконечно дифференцируемых периодических в смысле (5.3.13) функций„наделенное скалярным произведением вида тн 2н (ф, ф) = ~ ° ° ° ) (р (х) ф (х) йх~ ° ° ° с(х, . о о Соответствующее полное пространство, которое будет обозначаться как (.'(л", 2л), определяется следующим образом. Если «ср )— последовательность Коши из С,"„, то распределение <1", > определяется равенством <1, ф>= 1пп ) ...
) он(х)ф(х)дх;...о(х, длЯ любых фЕС,". н иа Множество всех таких распределений и есть пространство ь'(лн, 2л), скалярное произведение в котором определяется формулой (5.3.3). ВМ. УМНОЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВАХ ьз Для элементов Г и д пространства (.', являющихся пределами последовательностей Коши «и ) и «фн) из С,", произведение ф определяется как распределение (не обязательно принадлежащее Л') следующим образом: если )((х) — произвольная пробная фУнкцил, то «У~рн) — также последовательность Коши, поэтомУ (1чрн, фн) имеет пРедел пРи й — ао и можно опРеДелить фУнкцнонал <~д, .> равенством дм <ф, у>= Яш (уорн, фн)= 1пп ~срнфнуй"х, (5.4.1) н- °- н-~ что определяет и произведение ф. В следующем параграфе будет показано, что интеграл от ф по всему пространству равен скалярному произведению (г, д).
Ясно, что если 1 и д — обычные функции, то ф — их обычное произведение. С другой стороны, если Ь=Ь(х) — ограниченная непрерывная функция и ~рн — ~, как было указано выше, то последовательность «6(х)фн(х)1 оказывается последовательностью Коши в 1.', Г((. 3. Проеаранслма 6« предел которой определяется как распределение 61, лри«ии)лежаи«ее 1Р. Для функции 6 (х) нз С" ((и — неотрицательное целое число) н распределения г' из 1,'(Р) распределение 61('"(, не обязательна принадлежащее Ь', определяется равенством ен <61("(, ф> = ( — 1) ((ф6)'"", 1) Уф Е Со": (5.4 2) производная («г6)("' представляет собой сумму, каждое слагаемое которой, очевидно„принадлежит 1.', поэтому скалярное произведение в правой части (5.4.2) является линейным функционалом, определенным для всех пробных функций «г, т, е. распределением.
Такое пронзведение полезно при рассмотрении области определения дифференциального оператора вида А1" ~~~Р 6 ((а) (П где коэффициенты 6 (х) дифференцируемы лишь конечное число раз, а именна столько, сколько это необходимо. В самом деле, эта область определения включает только те распределения Г из 1.', для которых Л)' как распределение также принадлежит 1.'.
Пусть, наконец, 6(х) непрерывна, на не обязательно ограничена. Если «)((х) — пробная функция, то ф(х)6(х) Е1,', следовательно, («)Г6, 1) существует для всех г'Е1.'„а распределение 61 определяется как функционал <61, ф>=(ф(6 1) для всех ф из С,"(Р'). Резюме.
1. Произведение двух распределений из 1,'(((«") представляет собой распределение, в общем случае не принадлежащее 1 «(в действительности оно принадлежит Л' — см. й 5.7). 2. Произведение распределения из 1,'(««") на произвольную непрерывную функцию 6 является распределением; оно принадлежит 1.', если 6 ограничена. 3. В случае одной переменной произведение производной и-го порядка от любого распределения нз 1,'(«с) и любой функции из С есть распределение. (Первые два утверждения в классических терминах выглядят так: 1, Произведение двух функций из 1,' (т. е. двух измеримых н квадратично интегрируемых функций) является измеримой функцией, абсолютное значение которой интегрируемо, 2.
Произведение функции из 1,' на ограниченную непрерывную функцию принадлежит 1.'. Изменение сомножителей на множествах меры нуль меняет произведение только на множестве меры нуль, следовательно, это произведение принадлежит однозначно определенному классу эквивалентности (элементу пространств Ь' или 1.'). Очевидно, что третье утверждение не имеет аналога в классическом анализе, потому что оно затрагивает производную распределемия.1 Б.Б.
Интегрированна в пространствах ба Упиажнинин !. Покажите, что любое распределение ! ич ья(К") можно сколь угодно ТОЧНО аППРОКСИМИРОаатЬ ПО НОРМЕ ПРОСтРаиетаа ТЯ ПРОнааЕДЕНИКМИ ВИДа ГРГг Т сьо, т. е. распределениями с ограниченным носителем. 5ЛС ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПРОСТРАНСТВАХ ье. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Сначала рассмотрим случай одной независимой переменной. Здесь будет доказано, что для любых Г и у из Е' неопределенные х к интегралы ) Гйх н ~ Туг!х являются непрерывными функциями. Далее будут следовать неравенство Шварца и обычная формула интегрирования по частям. Пусть (яра! — последовательность в С7(ас), сходящаяся (по !.и-норьге) к элементу 1~!.Я(5ч). Поскольку неравенство Шварца выполняется для функций на любом интервале, мы имеем ! к ~я к а ~[ра(у) — р (у)! 1йу~ <) ! ра(у) — грг(у) !'йу ) 1йу~ о о о <! ра — р (*1х! (5.5.1) (заметим, что при х ( О в обоих сомножителях в средней части следует изменить знак), а отсюда следует, что последовательность я ) гра(у)йу сходится равномерно на любом конечном интервале к о непрерывной функции Р(х).
Неопределенный интеграл ~1(х)йх от распределения был определен в $ 2,7 как распределение, производная которого равна !. Итак, — <~, ф> = — !!Пт «ра, ф> = 11пт(~ гра (х) г(х, ф')= =11щ ~ ~!ра(у)йучр'(х)йх= ~ Р(х)ф'(х)йх=<Р, Ф'>. (5.5.2) в Здесь предел можно переносить под первый знак интеграла потому, что внутренний интеграл сходится равномерно к Р(х) на носителе функции ф Отсюда в соответствии с $2.7 ~ г (х) дх = Р (х) + соп51. (5.5,3) '!ем самым мы доказали первую часть следующего утверждения! Теорема, Для распределения ! из ЕЯ(И) неопределенный интегх рал ) ! (х) с(х лоллеогся непрерывной г)кунка(ией.
Если последовивпела 108 Гм ь. Прьспранипеа Г.к ность ((„»<='Ь' сходится в й' к распределению Г'Е1.', то к к 11„дх 1 (ах (п ) ровномерно ('в смысле наточенной сходимости) на любом конечном интервале х. Доказательство второй части предоставляется читателю. При больщем числе измерений для непрерывности распределения (как функции) необходимо, чтобы пространству !.к (Рк) принадлежали также некоторые частные производные более высокого порядка; см. З 5.13. Аналогично, если ( н д являются пределами последовательностей (<р„» и (!(>„», то ! к ( !ъ,<~! к.
ь! — ~, ь) к,ы!ь ! = ! к = ( !ь. !.—,л,.м,—. к!ч!~ ( к х 1 !/2 ~ з! »гг !'дд з! »фь — ф !'дд»! + ( к к ) !/3 +! ~ »ггл — гр!»кс(д ~ »фю!'д!г! -~.0 при йг ( — 'ьь (55.4) ) Следовательно, последовательность ) !гз (д) ф„(у) с(д сходится равномерно на !к и, значит, сходится к непрерывной функции 6(х). Выкладки, подобные (5.5.2), показывают, что ) ((х)д(х)ох= 6(х)+сопН. (5.5,5) Вообще для распределений определяются только неопределенные интегралы или первообразные, однако для распределений из !.! (а также нз (.Р) могут быть определены и некоторые определенные интегралы.
Для распределений из 1.*(В) (поскольку х к неопределенные интегралы ~(дх=Г(х) и )»ддх=Н(х) являются непрерывными функциями) мы можем положить ь ь ~(д.!=-Г(5) — Г(а), )г 1йг(х=Н(Ь) — Н(а). а а Ниже обсуждаются некоторые многомерные случаи, 5Х Онаыгрированае в нросглрансввах Ев Упрлжнвння 1. Покажите. что неравенство Швариа ! ь )з ь ь ~ / (х) д (х) Их ~ ~ ) / (х) )зг)х ) ) и (х) )' Их а а а (5.5.6) (/, и)= ~ /(х)и(х)дх, (5.5,7) 2. Докажите, что если /, д н их первые производные принадлежат Еа (Н), то справедлива формула интегрировании но частям: ь )ь ~ (/ е+/а ) ах=/(х) а (х) ° а а )Прежде всего заметьте, что все члены здесь вполне определены, в частности определена правая часть равенства, потому что /', в' Е Е"'.
и, значит, / и и †обычн непрерывные фуикиии.] ь ь ь Из того что ) срвтрфх сходится к ~/дЛх и, значит, ) ) грв)зс(с а а а ь сходится к ) )/~зг/х, следует, что любое распределение /(х) из а Е' (ьс) принадлежит также и Е' (а, Ь) для любого интервала (а, Ь).
Иначе говоря, ограничение /(х) на интервал (а, Ь), а именно линейный функционал (ф, /), определенный для всех пробных функций зрс носителем в (а, Ь), представляет собой распределение из Ез(а, Ь). Заметим, что если / н д принадлежат Е'(а, Ь), где (а, Ь)— конечный интервал, то функции ) /с(х и ~ /нг(х непрерывны на замкнутом интервале )а, Ь). Для квантовой механики, где элементы / и д пространства Е'(й») являются волновыми функциями, а й» вЂ” пространство конфигураций (л равно утроенному числу частиц), представляют интерес интегралы вида ~ (/(х))аРх или ~ д(х)Х Х/(х)с(»х, где ьв — произвольное открытое множество в К». Первый интеграл является вероятностью того, что точка х, представляющая конфигурацию системы, лежит в ь) (предполагается, что волновая функция нормирована так, что этот интеграл равен единице, когда ьв совпадает с ьс»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
