Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Е Я, Лргобразованиг Фурав раслргдглгний медленного раста 79 Вместо (4.4.1) для преобразования Фурье пробной функции будем иметь Ф и гр(у) = — „,, ~ ... ~ гр(х)е-гт'здхг...дх,, Переменная у в преобразованиях Фурье часто обозначается через й. Напомним, что для обычных интегралов Фурье порядок, с которым ) — О на бесконечности, зависит от гладкости 1, и обратно. То же самос верно и для распределений, как это видно на примере следующей теоремы: Теорема. Если ) — распределение медленного роста с ограниченным носиптелем в Р', то ) есть целая аналитическая функция )'()г), т. е.
аналитическая по каждой компоненте йу вектора й ао всей комплексной плоскости переменной й . Доказательство. Так как Г имеет ограниченный носитель, то функционал <г', ф> вполне определен на любом элементе ю из С независимо от носи. веля игкледнего. Положим еи(к)=в ', г'(й)= — еу, гн> -ж. 1 (2п)л(а я покажем, что 1 — это функция р (й), которая, очевидно, аналитична по каж'дой компоненте вектора и согласно уиражнеиию 2 из 4 2.4 о дифференцирова. ннн по параметру.
Действительно, для любого элемента гр из Се (й) ф (й) ачй ( бе г > ф (и) лай 1 (2п)" М Согласво упражнению 1 об интегрировании по параметру из того же 4 2.4, это есть (Е ф>, так что <р, ю>=С/, ю>, и поэтому р=), что и требовалось доказать.
Преобразование Фурье на распределениях, не обязательно имеющих медленный рост, определяется у Гельфанда и Шилова в гл. 2 выпуска 1. Результатом преобразования является в общем случае не распределение в смысле Лорана Шварца, а непрерывный линейный функционал на пространстве У пробных функций, упомянутом в конце 2 2.2.
Кратко опишем ситуацию для распределений на 1с. (по поводу распределений на Р» и других подробностей см. книгу Гельфанда и Шилова). Напомним, что преобразование Фурье отображает класс пробных функций У= У'(Гс) на себя, а С,"=С,",(Гс) лежит в и". Поэтому С," отображается на некоторое другое подмножество в д', а именно на пространство 7= 2 (Гс), определяемое следующим образом: функция ф(у) б.7, если Гл, 4.
Распределение медленнемо росело (1) она является целой аналитической функцией от у; (2) найдутся также положительные постоянные а, С„Сп ..., что ]дчф(Р)(~С, 1- 1, д=О, 1, 2, ..., УР(:С. Упражнении. 1, Покажите, что если функция ф(х)~Са и носитель Ф(х) содержитси в [ — а, а], то ее преобразование Фурье ~р (и) удовлетворяет условиям (1) и (2) прн постоянных Сч, выбранных надлежаепим образом. Это показывает, что преобразование Фурье отображает С, в Е; то, что прн этом н Е отображается в Са, доказано у Гельфанда и Шнхоаа. г Сходимость — пробных функций в Е определяется так, что г Ю СРу — Ф тОГДа И ТОЛЬКО тОГДа, КОГДа СРу ЕР, ПОСЛЕ ЧЕГО КЛаСС обобшснных функций опрсдслястся как класс непрерывных линейных функционалов па 2, т. е. элементов сопряженного . пространства Е'.
Теперь при помоши абобшенного равенства Парсеваля <)', ср> = <1', сг>, которое было использовано для определения преобразования Фурье от распределения, можно установить, что элементы пространства 2' представляют собой преобразования Фурье от элементов пространства е2)', т. е. от распределений в смысле Шварца. Элементы пространства Т определены иа всей комплексной плоскости, тогда как элементы пространства (5', рассматриваемые как обобшенные функции, определены только на Гс.
Гельфанд и Шилов показывают, например, что преобразование Фурье от функции Г'(х) =ек (которая, как отмечалось выше, не является распределением медленного роста) есть йлб(у — 1), т. е. функционал на Е, определяемый для любой функции Ф(у) как <1, Ф>= 2лсР(1) (ои вполне определен, потому что ео — целая функция). Даль- нейшие детали см. у Гельфанда и Шилова. Примеры нахождения преобразования Фурье от распределений Пример ~ е (х) =6(х — ха); 1(д] =(2п)" тете" ее»'. Доказательство, Для любой пробной функции еу <1, в>=</, еу>=Ч(х)== ( ф(д)е '""'бу= Р 2п =/ — е" сукк ф) ]е 2п 4,5. Преобразоеаное Фурье распределенно яедхенного раста 61 ПРимеР т / (х) = 5 (х — хь) / (у) (2п) т(а(тте те»о ПРИМЕР 3 /(х)=по+а,х+...+а»х"' /(у)= ]Сйп [аьб(у)+татб'(у)+" ° ° ° + таа»бтат (у)1 ° ПРИМЕР 4 Пусть /(х) — периодическая функция, ааданная сходящимся рядом Фурье ~„сеете»; тогда / (у) = )т 2п чч с,б (у — р).
Р ПРИМЕР Б Пусть /(х) — распределение с периодом 2л, т, е. /(х) и /(х-т-2п) — это одно в то же распределение. [В этом случае /(х) звтоматически имеет мед- ленный рост согласно теореме Шварца о порядке роста — см. $ 4.3.] Тогда для любой пробной функции ф </ (у), тр (у)) = </ (х), тр(х)> = </ (х+ 2п, ф (х)) = = </ (х), тр (х — 2п)>; но ф(х — 2п) — преобразование Фурье от еппеф(у), так что </(у), ф(у)) =</(у), ет™еф(у)) для всех тр из К, т. е.
(! -е'"то)/(у) обращается в нуль как распределсттте. Тогда в силу упражнения 2 из й 3.5 /=О в области Я, где () — вещественная ось с иыколотыми точками у=О, ~1, +2, ...-, т. е. распределение / сосредо. точено в целых точках. Поэтому, согласно упражнению из й 3.6, / в такой точке й является линейной комбинацией 5 (х — й) и некоторых ее производных. Однако приведенное ниже упражнение 2 показывает, что в действительности производные не входят в эту комбинацию, и поэтому / записывается как а / (у) = ~~ч сад (у — й), (4.5.2) а=- Таков общий вид преобразования Фурье от периодического распределения. УПРЛжнЕИИЯ 2.
Используя упражнение из 5 3,6, сначала представьте /(у) каи Ф 'та /(у) = ~ ~ еа дт/т(у — й), а Ф ( ь затем покажите, что так как /(у) †распределен медленного роста, то най- детсв такое целое р, для которого Уа »Ц Р при всех а, Наконец, используя периодичность /, покажите, что р=О. 3, Покажите, что, так как /(у) †распределен медленного роста, коаф. фициенты сь в (4.5.2) не могут расти быстрее, чем некоторая степень [ й [ при й — ~ ~ьь.
4. На;.дите распределение, преобразованием Фурье которого является / (у) =,') ()/й [) бт (у — й), а=ь н обобщите этот результат, е"л. 4, Распределения недленноео роста 4.6. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР Пусть 1(Г) — ограниченная непрерывная функция, которая осциллирует более или менее нерегулярно при всех Г, (6( — оо, оо); ее можно представить себе как одну из компонент электрического поля в некоторой точке пространства при прохождении излучения от источника света или как компоненту скорости в некоторой точке турбулентного течения.
(Тогда 1'(Г) имеет вещественные значения, но это обстоятельство несущественно.) Ясно, что функцию 1(Г) нельзя представить ни в виде классического ряда Фурье, поскольку она не является периодической, ни в виде классического интеграла Фурье, поскольку она ие является квадратично интегрируемой, но она представляет собой распределение медленного роста и поэтому имеет преобразование Фурье 1=1'(со), которое, как нетрудно увидеть, является второй производной Р" (со) в смысле распределений от непрерывной функции О~ Р(со)= ~ Г(Г) —,( — е ны+,+, ) Ж (4.6Я) Действительно, сначала можно элементарно проверить, что функция Р(со) даже непрерывна по Липшицу; далее, для любой пробной функции ер <Р", р>=<Р, ер >= ) Р( ) цг ( )с(со; подставляя (4.6.1) вместо Р и дважды интегрируя по частям относительно и, получаем <), ~р>, но это и означает, что Рл=Г. Мы хотим определить, как интенсивность или энергия, связанная с функцией Г(Г), распределяется по частоте со, т.
е. определить спектр 1(Г); Чтобы это понятие имело смысл, мы должны предположить, что статистические свойства ) (Г) на больших временнйх интервалах вполне определены. В часткости, предположим, что автоковариационная функция т Ое.: й(.)= 11ш — „~ Р(Г+.)Г(1)(4 -г существует для всех т (тогда отношение л<(т) ес(0) есть авто- корреляция 1(Г) для времеянбй разности т). Предположим далее, что сходимость в (4,6.2) равномерна ноя в любом конечном интервале, т. е. что лс(т) — непрерывная функция. Некоторые следствия из этих предположений указываются в приводимых ниже примерах.
Нетрудно показать, что л< (т) '4.6. Эыергегничгекий енекяр 83 может быть представлена также как ЕГ(т)= 11 — ) Г(1+а+т)Г(Г+ )с(Г (4.0.З) — т при любом вещественном э; иначе говоря, если статистические свойства на больших временных интервалах вполне определены в целом, то они не меняются при сдвиге функции Г(1) вперед или назад по времени. Отметных что Я( — т)=Л(т). Из неравенства Шварца следует, что ) гс (т) (()х (О). Если мы предположим, что Г'(г) — это приложенное к нагрузке с единичным сопротивлением напряжение, то Я(0) будет усредненным по времени выделением энергии на нагрузке.
Будем искать неубывающую функпню Я(от), называемую эыергепгичееким спектром Г(Г), такую, что при со,> от, разность о(от,) — 5(от,) есть энергия, относящаяся к частотам из интервала (ыо от,). Если такую функцию удается найти, то ее скачки соответствуют спектральным линиям, а значение Я'(со) там, где эта произвоЛ- ная существует в обычном смысле, является интенсивностью непрерывного спектра на частоте со. Образно говоря, Я ро) 'получается путем включения электрического фильтра между источником н нагрузкой, как показано схематически па рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
