Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 14
Текст из файла (страница 14)
3.3.) Согласно лемме 2 из з 3.!, найдется открытое множество йь которое содержат К» и замыкание которого лежит в йь Ясно, что в покрытнч й» можно заменить на й,. Рис. 3.4. Покрытие компактного множе- Рис, 3,3, Стягивание й». ства открытыми множествами. Теперь предположим, что (й„- ...-, йз,,- йа, ...] — зто покрытие, получившееся после стягивания первых й — 1 открытых множеств, Тогда пересечение 3 с дополпениел» множества й, ()... () йа» () йа+» Ц... (теперь отброшено йь) есть ограниченное замкнутое множество Ка, ле>кащее в йа, множество йь строится так же, как и й»! индукпия по А завершает доказательство. Зиь ТЕОРЕМЫ О пРОБныХ ФУНкцияХ.
РАЗБИЕНИЯ ЕДИНИЦЫ [Теоремы этого параграфа применяются во многих разделах анализа.] Теорема 1, Если К вЂ” ограниченное замкнутое множество в»»", содержащееся в огнкрытом множестве ьз, то найдется такая пробная функция»р ((рунк»(ия из С,"у, что (1)»р(х)=1 при х Е К, (2) носитель»р лежит в ь) и (3) 0(»р(х)(1 лри всех х; см. рис.
3.6. ~Это вариант для С" специального случая леммы Урысона — см. книги Келли [1955] или Трона 11966].] ДОкАзАтельстВО. Полок»нм б=»/з.(расстояаие от К до дополнения к й) = -»(з'ш1(]х — ур хЕК у(»)] Зь Ги 8. //овальные саойсшап раслределеяиб В силу леммы 1 из 6 3.1 6 > О. Пусть г/(х) для любого х представляет собой расстояние от х до дополнения.к О.
Опредетим функцию / так: О прн 4(х)~6„ /(х)= [Л(х) — 6)/6 при б~о(х)~26, ! при 26* д(х) (см. рис. 3.7). ~р(х) Рнс. 3Ф. Функция ~1 (хн Г(х) й Рис. 3.7. Функция /(х). Интуитивно ясно, что функция /(х) непрерывна, и доказательство этого является хорошим упражнением, Ясно, что /(х) обладает всеми свойствамн, требуемыми от ф(х), за исключением того, что ее необходимо сгладить, чтобы она стала функцией класса С". Множитель г/а в определении 6 распределяет поля в области между К и дополнением к () так, чтобы сглаживание было возможно без потери других свойств. Проведем сглаживание а помощью сглаживающей функции а(х) нз С, выбранной так, что 1) носитель а(х) лежит в шаре )х(~ С 6, 2) ~...~ а(х) Нхт...цха=1, 3) а(х) мО при всех х.
З.б. Основные глеоргмм о вокальных своесювок Тогда функция ср(х) — ~ . ) г (у)и(х у)ау! .Лу обладает всеми свойствами, указанными в теореме (см, б 2.6). Теорема 2. Пусть (ь),') — счетное покрытие пространства тсн ограниченными открытыми множествами. Предположим, что любая ограниченная область в ас пересекает только конечное число множеств покрытия (ОД, ')Данное предположение можеп! быть ослаблено, но для наших целей зто не дает ничего нового.) Тогда найдется последовательность (иг(х)) таких фу кций класса С", что (1) при каждом ! носитель и! лежит в ь), и (2) при всех к имеет лсесто равенство,Е~ и! (х) = 1.
Такая последовательность с-»! функций называется разбиениед! единицы. Доказательство. Пусть (ЯД вЂ” покрытие, полученное из (ЯД стягиванием согласно теореме нэ предыдущего параграфа. На основании теоремы ! прн каждом с построим функцию фс(х), которая принадлежит классу С, равна единице на Р;, имеет носитель, лежащий в ()ь и всюду веотрнцательна. Положим и! (х)= срс (х) ~~~ ю! (х) Знаменатель не может обратиться в нуль, потому что (()Д является покрытием гсп; он содержит только конечное число ненулевых слагаемых в любой ограниченной области пространства Е", и поэтому иг(х) принадлежит классу С .
Наконец, пвц(х)=! прн всех х по построению. Теорема 2'. Пусть ((ст, ..., ь) ) — конечное покрытие компактного (т. е. замкнутого ограниченного) лсножества К в йн открытыми множествами. Тогда найдется конечная последовапсельность (х,(х), ..., ин(х)) таких функций класса С", что (1) при каждом ! носитель ие(х) лежит в ь)г и (2) при всех х~К имеет место равенсп!во,',к и; (х) = 1. с=! Это простое следствие теоремы 2, получающееся из первоначального предположения об ограниченности множеств Йг (что не приводит к потере общности, так как множество К ограничено) и последусощего очевидного расширения совокупности (ь),.) путем добавления ограниченных открытых множеств так, чтобы покрыть все пространство ас»с, после чего остается применить теорему 2 3.$. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ЛОКАЛЬНЫХ СВОИСТВЛ»Х Теорема 1.
Если Г и у — распределения на )2», а ь) — открытое множество в еск, то Г'=д на ь) (в смысле определения 1 из 5 3.2) тогда и только тогда, когда !'= д в некоторой окрестности (гп. е. иа открытом множестве) каждой точки из ь). Гл. 3. Локальные гааастаа распределений 70 Док»з»тельство. Необходимость очевидна. Поэтому остается только дока- зать, что если р=.й в окрестности каждой точки и ф — любая пробная функция, носитель К которой содержится в объединении всех этих окрестностей, то <й ф)=-<д, ф). По теореме Гейне — Барелн К покрывается конечным подмно- жеством (Гэг, ..., Рдг) таких окрестностей.
Пусть (()г, ..., Г)А!) — покрытие К стянутыми окрестностями, как в теореме 2 из й 3.4, а (аг(х), ., ам(х))— соответствующее разбиение единицы. Тогда прн каждом ! функция сгг (х) ф(х) является пробной, а ее носитель лежит в ()!. Поэтому <) — й, арр)=0 !ГО следовательно, ~~~~<( — д, агф>=<! — й, ~~~~~агф)=<( — й, ф)=О, 3 что и требовалось доказать.
Теорема 2, В предположениях теоремы 1 7~) гг на () тогда и только тогда, когда ) ) д в некоторой окрестности казкдой точки из ьл. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. При этом используется неотрицательность аг(х). УНРАж1!ения 1. Используя аналогичным образом разбиение единицы, обоснуйте лринкин составления иэ частей: Пусть (Г)!) †некотор семейство открытых множеств, объединение которыя есть 1), и пусть (г!) — соответствущее семейство распределений, обладающих тем свойством, что если пересечение (17 и О» непусто, то )у ††!» на 11 ПТ)».
Тогда найдется единственное распределение В такое, что при каждом.! будет 7 = )! иа Рь (Единственность здесь означает, что если ( и й †люб два таких распределения, то (=й на Т). Конечно, в качестве Г) можно взять все й".1 2. Если Г=! (х) — любое распределение на йн, а а= а(х) — любая функция класса С" на Нн, то распределение ас' было определено в $ 2.5.
Покажите, по если а!=О (в смысле распределений), а Π— любое открытое множество в Ннэ на котором функция а(х) отлична от нуля, то / =0 на О. Этот результат используется в следующей главе в связи с преобразованием фурье от периодического распределения. УНРАжнени е 3. Покажите, что если ) и й — распределения иа й, ГЗ вЂ” открытое множество н /=й на 4),.то р =-а' на Г). (Это показывает, что дифференцирование является локальной операцией.) Как будет выглядеть обратное утверждениер з.а. нОситель РАспРеделения Носитель распределения ( на К", как и носитель непрерывной функции является дополнением наибольшего из всех открытых множеств, на которых ) = О. Это означает следующее.
Рассмотрим объединение (() ) всех открытых множеств (если онн существуют), таких, что Г=О на каждом ь)„. Это объединение представляет собой открытое множество (л, такое, что 1=0 на (1, а )кн — ьл носитель у. б.б. Ногитгль распределения 71 Упглжненин 1. Предположим, что носитель распределения 1 на вешественной прямой зс состоит всего из одной точки, за, которую можно принять а=О Согласно тео- реме Шварца, приведенной без доказательства в примере 1 из б 2.4, ! на интер- вале — 1 < х < 1 равняется й-й производной (при некотором й) от непрерывной функции я. Так как йЧа!=0 на ( — 1,0) и на (0,1), мы имеем )' р,(х) при х > О, (З.б.!) ( рз (х) при х < О, где р, и рэ — полиномы степени не выше й — 1 с одинаковыми свободными членами, равными и (0).
(Нетрудно видеть, что ! является Ьй производной от функции (3.6.1) не тельно на ( — 1,1), но и на всей прямой й.) Исходя иэ этого, покажите, что ! равняется конечной линейной комбинации функции б(х) и некоторых ее производных.
Глава 4 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МЕДЛЕННОГО РОСТА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Класс еР быстро убывающих аа бесконечности пробных функцнй; распределения медленвого роста; рост на бесконечности, распределение медлеанаго роста кан производная некоторого порядка от медленно растущей непрерывной функции; преобразование Фурье на пространстве еУ; обращенне методом фейера; преобразование Фурье распределений медленного роста, внергетнческнй спектр бесконечао осцнллнрующей функции. Предварнаельнае сведения: гл. 2 в 3; понятве интеграла Фурье. Распределения медленного роста как функционалы непрерывны относительно чуть более слабой сходимости, чем та, которая описана в 2 2.4, и поэтому несколько слабее как класс по сравнению с классом всех распределений Шварца. Зта слабость не носит локального характера (6-функция н все ее производные — это распределения медленного роста), а отражается в поведении функционалов при )х) — со.
Преобразование Фурье распределения медленного роста определяется без труда и также является распределением медленного роста. ЛЛ. ПРОСТРАНСТВО ер" Если ограничиться классом распределений, имеющих определенную степень слабости (непрерывность относительно вполне определенного типа' сходимости в пространстве пробных функций), то область определения функционалов <г, > и т. п. можно беэ потери непрерывности функционалов расширить до более широкого класса пробных функций. Ослабление распределениИ расширяет класс допустимых пробных функций. Для распределений медленного роста йа К соответствующий класс пробных функций— это пространство г" = У'(Е), определяемое следующим образом: функции из мг принадлежат классу С", но не обязательно имеют ограниченный носитель, а вместо этого должны стремиться к нулю при )х) - оо быстрее любой отрицательной степени х, причем таким же свойством обладают все их производные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
