Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если ф; — любая функция из С~", являющаяся преобразованием Фурье от функции ф,(еа), то для некоторого вещеде1 ствепного а преобразование Фурье от функции ф(сп) =епеефе(сп) имеет носитель на полуоси г) 0 и поэтому удовлетворяет условию причинности. Следовательно, так как ~ ф (ы) ~' = ~ фг (ы) ~е, функцию ~ф(еп) !е в (4.6.4) можно рассматривать как произвольную неотрицательную пробную функцию, преобразование Фурье которой принадлежит С,",.
Глава $ ПРОСТРАНСТВА Т.в Сходимость в среднем; квадратично интегрируемые функции и распределевия и их свойства; пространства типа Еа, Е', ЕР, Е", Ев; преобразования Фурье и операторы сглаживания в пространствах Ее; пространства Соболева; граничные значения в пространствах Соболева. Предварительные сведения: гл. 1 — 4. Сочетание понятий гильбертова пространства, распределения и сходимости в среднем приводит к построению функциональных пространств, удобных для исследования дифференциальных операторов. С точки зрения квантовой механики элементы нлиеточки» таких пространств являются волновыми функциями, которые представляют состояния физической системы.
ЕД. СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ. ПОЛНОТА СИСТЕМ ФУНКЦИЙ Сначала мы опишем несколько известных примеров сходимости в среднем. Пусть Е(х) — непрерывная периодическая функция с периодом 2п. Ее коэффициентами Фурье являются са — — ~ Е (х) е '"' Их, й = О, ~1, ~2, ...; ! р и обозначим через 5„(х) и-ю частную сумму ряда Фурье функции Е'(х): 5„(х) = ~г с ем". (5.1.2) я=-~я Функции 5„(х) сходятся к Е" (х) а Еа, илн в среднем; это означает, что ~ ) 5м (х) — ) (х) !е с(х — О прн и — оо, (5.1.3) -я Позднее в этой главе мы увидим, что это верно и для значительно более широкого класса периодических функций !'(х), в то время как если даже Е(х) непрерывна, поточечная сходимость 5„(х) — Е(х) при каждом х не может быть доказана без некоторых дополнительных предположений об Е" (х), например, таких, как требование ограниченной вариации.
а. 6 Скодимоссоь е среднем, Полнота сосмем функций 91 Рассмотрим более общий случай. Пусть г'(х) =~(х,, ..., х„)— непрерывная функция, периодическая по каждой переменной х„..., х„с периодом 2л, и пусть й — вектор с целыми компонентами й„..., й„; тогда коэффициентами Фурье функции 1(х) явля1отся числа с» = (2л) " ) ) (х) е-'"'"й" х; (5.!.4) интегрирование здесь осуществляется по кубу К=(х: (х, ~(л, 1=1, ..., и). (5.1.5) Обозначим т-ю частную сумму многомерного ряда Фурье функции 1" (х) через 5 (х) = ~ с»еа'", »сам (5.1.6) где Š†множест узлов целочисленной решетки куба с длиной ребра 2т в и-мерном пространстве векторов й 6 =(1с й,= — т, ..., +т, 1=1, ..., и); (5.1.7) тогда ~(5„,(х) — 7(х)(ес(нх — О при т — оо.
(5.1.8) к Более общие разложения по ортогональным системам функций (частным случаем которых являются разложения в ряды Фурье) также сходятся в среднем. Рассмотрим системы полиномов одной переменной. Пусть р(х) — положительная непрерывная весовая функция на конечном интервале [а, Ь); предположим, что (р»(х))»,— соответствующая ортонормированная система полиномов, т. е. ь ) р» (х) р, (х) р (х) с(х = 6»о а и для каждого к=О, 1, 2, ... р (х) — полипом степени А. [Напоминаем, что р (х) можно построить с помощью ортонормирующей процедуры Грама — Шмидта 8 1.6) из семейства полиномов 1, х, х', ..., используя при этом скалярное произведение (р„, р,), задаваемое левой частью равенства (5.1.9).
Это построение можно выполнять и в случае открытого или даже ь бесконечного интервала (а, Ь), если только ~ р(х)с(х конечен. о Именно так можно получить известные семейства полиномов Лежандра, Эрмита, Лагерра, Чебышева и т. д. В дальнейшем, однако, мы ограничимся случаем непрерывной весовой функции р(х) на конечном замкнутом интервале [а, Ь].1 Гх. а. Пространство йь В этом случае обобщенные коэффициенты Фурье выглядят так: с„=) рь(х)Г(х) р(х)дх, Й=О, 1, 2, ..., (5.1.10) а а частные суммы обобщенного ряда Фурье — так: Я (х) = ~го,р (х); (5 .1.! 1) ь=о тогда ь ~(5„(х) — Г(х) 1'р(х)йх- О при га — оо.
(5.1.12) а Наметим доказательство сходимости в среднем обобщенного ряда Фурье непрерывной функции. В нашем распоряжении сейчас Л вЂ” компактная область изменения независимой переменной х или х (интервал или куб), весовая функция р, скалярное произведение вида (~, д) = ~ ) (к) а (х) р (х) й"х (5 .
1. ! 3) и соответствующая норма )!~)=(Г, Г)'и функционального пространства, а также 'ортонормнрованная система (~рь). В полиномиальном случае ~р (х) = р„(х); в случае ряда Фурье весовая функция р(х) = (2п) ", а срь(к) соответствует одной из функций е'"' после надлежащей их йумерации. Сходимость в среднем означает сходимость по норме )!~); следовательно, нужно доказать, что ортонормированное семейство (~рь) полно в смысле ~ 1.6.
Прежде всего покажем, что произвольную непрерывную функцию ) (х) можно сколь угодно точно аппроксимировать равномерно на области Я конечной линейной комбинацией функций ~рь. Для этого используется апароксимационная теорема Вейерштрасса (см. Курант и Гильберт, т. !): если функция Р(Х) непрерывна на компактном (т.
е. замкнутом ограниченном) множестве В в )У-мерном пространстве, то для любого а~О найдется такой полипом Р (Х), что ( Р (Х) — Р (Х) ( < е УХ Е Я. Рассмотрим сначала задачу о разложении по ортогональным полиномам (~р (хЦ; здесь  — интервал Га, Ь! вещественной оси, Х=х, а Р(Х)=~(х). Г1олином Р(х) является линейной комбинацией 1, х, х', ..., х~„где о — степень Р(х); каждое х" можно записать как линейную комбинацию функций <р,(х), ..., ~р„(х) и поэтому Р (х) можно представить в виде Р (х) = ~~~а,~р (х).
!=о о.д бходимоооьь о среднем. Помьоьио смольем 4уккцаа. 93 Рассмотрим теперь одномерные ряды Фурье; положим Х=созх, У=з1пх. Равенство Р(Х, У =1(х) определяет функцию Р на единичной окружности 5= Х, У: Х'+Уь=1); 3 — компактное множество в плоскости Х, У. Соответствующий полипом Р (Х, У) является полиномом по созх и з(пх, а значит, и по ем и е-'", т.
е. является линейной комбинацией е'ь": Р (Х, У) =,'«~ аье™. ь -о Наконец, в случае и-мерных рядов Фурье единичную окружность нужно заменить и-мерным тором, а именно если записать е'"ь=Хьь г+1Хм (юг=1, ..., и), то равенство )(х) =Р(Х), где Х есть 2и-мерный вектор, определит функцию Р на торе Я=(Х: Х',+Х,'=1, ..., Х',„,+Х,' =1), который является компактным множеством в Ро. Соответствую- щий полипом Р (Х) или Р(Хь ..., Х,„) представляет собой поли- пом по ем'", ем'"* и т.
д.; следовательно, его можно записать в виде ,)" а,еея * ььь ! 1(х) — ~,'„акр (х) (з для всех х из Ю.. (5.1.14) 1=о Поэтому ) 11(х) — ~~ь акр~(х) р (х) ь(ох е'М, л~ / ь где М = 1 р(х)ь("х; иначе говоря, 11 — ~а~<р~((е) гМ, (5.1,15) где ( ~ означает норму, соответствующую скалярному произведению (5.1.13), относительно которого ьру образуют ортонормированную систему. для некоторого целого д. Итак, в каждом случае рызиа иа области ггь:Йь и торых коэффициентов аг было показано, что если 1(х) непрев ) О, то для некоторого д и неко- Гл. Ю.
Проспрансвва Е~ Числа ат не обязательно равны обобщенным коэффициентам Фурье с = (ср~, )), (5.1.16) однако можно показать, что наилучшее приближение в среднем функции е выражениями вида ~2.",а,.фх для данного д получается у=О при ау — — сх (/=О, ..., д), Действительно, если мы минимизируем ) ) — ~~~1а,Чя =)) (' — ч~,(арсу+ а,с,)+ч; ) а )' относительно Кеа~ и 1ша~, то получим Кеа,= йес и 1ш ау — — 1шс~ () =О, ..., д). Замена а на сх улучшает аппроксимацию в среднем (5.1.15) (возможно, ценой ухудшения равномерной аппрок- симации (5.1.14)).
Следовательно, для данного е) О достаточно болыпого д 1" — ~с,гР~ (еУМ1 !=о значит, обобщенный ряд Фурье ~ с ~ру(х) сходится в среднем, Е=а т. е. по норме 1Р, к 7 (х). Замечания о поточечной сходимости. (1) Из проведенных выше рассуждений нельзя сделать вывод, что ) (х) — поточечный предел рядов вида ~а.~р (х), потому что каждый коэффициент у=о а, в (5.1.14) в общем случае зависит от д и не обязательно имеет предел прн ц- со.
(2) Известно, что если последовательность функций 5,„(х) сходится в Е' к 1(х), то найдется такая подпоследовательность этих функций, которая сходится к Е" (х) почти всюду, т, е. для почти всех х. (3) Для частного случая одномерных рядов Фурье Карлесон 11966) доказал, что частные суммы 5„(х) из (5.1.2) сходятся к 1'(х) почти всюду, т. е. в этом случае нет необходимости выбирать подпоследовательность. (4) Для многомерных рядов Фурье Феферман 11971] доказал, что 5„(х) сходится к 1'(х) почти всюду при условии, что ряды суммируются з том порядке, который указан в (5.1.6), однако сходимости почти всюду может и не быть, если суммировать, например, так: (...) сь е'иА з.у. Физический пример аапроксимаяаи в среднем Фактически Феферман дал пример такой функции /(х, у) из ! '(( — и, и)»), для которой ряды Фурье, суммируемые таким образом, не сходятся ни в одной точке х, у.
Следует заметить, что п-мерный тор ие случайно выбран в качестве множества Я для многомерных рядов фурье, поскольку он имеет топологически естественную структуру для множества значений мультипериодической непрерывной функции. В случае п=2 не следует, например, пытаться представить /(х, у) на сфере при помощи подстановки к=20 — я, у=ф, где 0 и гр— углы сферической системы координат, так как тогда все значения /(~-п, у) еслипалнсь» бы на северном и южном полюсах. В общем случае для доказательства полноты разных видов ортонормированных систем функций необходимы разные методы. Системы, получающиеся в задачах Штурма — Лиувилля, рассматриваются в гл. 10. У Пил )кн н н!! я 1. Докажите, что последовательность функций ап (х) = и'хе - их сходится поточечно к функции /(х) =0 для всех хтвО, однако не сходится в В» (О, 1). 2, Пусть (1ч)г — числовая последовательность /» /» /и /е /в /в /в /Рм ° ° ° ° Покажите, что последовательность функций 1 — (п/4) ! х — $п ! при ! х — $п ! ( 4/и, Ел (х) -( 0 при ! х — к„! ) 4/и сходится к функции /(х)=0 в /а(0,!), ио не сходится поточечно нн пря каном х иа (О, 1).
Указание. рассмотрите графики функций ап(х), $.2. ФИЗИЧЕСКИЙ ПРИМЕР АППРОКСИМАЦИИ В СРЕДНЕМ Рассмотрим идеализированный злектрический контур, изображенный на рис. 5.1. На клеммах А и  — периодическое напряжение /(/) с неизвестной формой волны; при должном выборе единицы измерения времени период можно взять равным 2л, Необходимо как можно точнее аппроксимировать /(/) генерируемой волной вида и д(/) = х,'ахсозй(/+сгк), а а (5.2,!) имеющей ту же самую частоту„при помощи настройки регуляторов генератора гармоник (для того, чтобы подобрать значения ' ал и аа) до тех пор, пока не будут минимизированы показания Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
