Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 17
Текст из файла (страница 17)
4.1. (Предполагается, что источник имеет Рнс. 4Л. Схема контура, ) ~ ф (со) ~' ио (то), (4.6.4) бесконечный импеданс, вследствие чего сигнал Г(г) не должен меняться из-за наличия фильтра.) Г1усть передаточная характеристика фильтра задается (в общем случае комплекснозначной) функцией ф(от): если на вход фильтра подано единичное синусондальное напряжение с частотой ы, то ф(со) дает амплитуду и фазу на выходе. Для идеального полосового фильтра, т.
е. когда )тр(со),' = 1 при со Е (от„ от,) и ф (со) = 0 в противном случае, выделение энергии на нагрузке должно равняться 5 (от,) — о (и,). С другой стороны, эта величина равна интегралу Стилтьеса Зе Гл. 4, Распределения медленного рооога (4.6.6) потому что (ф (ы) 1я — коэффициент затухания энергии для фильтра на частоте ео, Следовательно, о(го) нужно выбрать так, чтобы для л1обой пробной функции ф(ы) последний интеграл был равен г !пп — ') ) д (1) 1' е(1. (4.6.5) -г где д(1) — напряжение на выходе фильтра (см.
рис. 4.1). Мы утверждаем, что о(ео) имеет вид 2 Это основная формула для энергетического спектра функции 1(1). Она широко используется в гидродинамике, эргодической теории, статистической физике и теории динамических систем. В теории турбулентности оиа применяется, например, для выражения зависимости компоненты скорости от декартовой координаты при заданном значении времени, и компонента эта обозначается тогда через о(х) вместо 7(1); в этом случае 71(т) является уже пространственной, а не временнбй корреляцией.
Функция г1'(т) хотя и ограничена, но в общем случае ие стремится к нулю при т - оо, как показывают простые примеры 7(1)=о и ) (1)=з(п1; следовательно, сходимость последнего интеграла априори не очевидна; оиа была установлена Норбертом Винером в 1926 г. при очень общих предположениях (Винер [19301). Иногда, как в приводимом ниже примере 3 (когда одна из. частот ео„оказывается равной нулю), равенство (4.6.6) можно интерпретировать как г 2нг' (4.6.7) г В дальнейшем будем считать выражение в правой части (4.6.7) обычной функцией. Чтобы вывести формулу для о(ео) из (4.6.4) и (4.6.6), нам нужно знать напряжение д(1) на выходе фильтра.
Ясно, что д(1) — это функция, преобразование Фурье которой представляет собой ге(ео) 4 (ео). Поэтому <а, р>=<И, р>=д, фч»=<7, фч» для любой пробной функции гр. Преобразование Фурье от произведения фер является сверткой преобразований Фурье ф и ер, т.е. Йч)(з)=- — ' ( Ф(з-1)2(1) ч1. 1' 2н,) (4.6.8) т.е. Экерееткчеекка еиекекр Поэтому ,) ~() уг Р2 откуда видно, что аР)= — ~~ 1(а)Ф( — ~)е( = т' 2л,) 2я,) 4/2я,) (4.6.9) Эта формула показывает, как фильтр преобразует сигнал ~ (1) в д(~); интерпретация функции ер((), которая входит в (4.6.9), будет рассмотрена ниже.
Из формулы для д(() находим, что е' т ~ ~а()!еж= —,'„~ ( ~ И+'-)И~> (е ~ ~(т+з)ф(з) (. -"т -т При фиксированном з в качестве новой переменной вместо зе возьмем т=зе — з, разделим обе части равенства на 2п и устремим Т к бесконечности; равномерная сходимость выражения (4.6.3) для автоковариационной функции позволяет совершить предельный переход под знаком интеграла, и поэтому т 2Т ) ~й()~ 2 ),) и получим т [д(И) ~еЖ= — ~ Л(т) ~ )ф(ы) ~ее~'>'е(еее(т= ! =Й ~ ~() ~ ~ф()~ч.(""; )ь= ) ! ф( ) Г (6 (~) 2Т -т (4,6.10) Снова используем связь между преобразованием Фурье и сяерткой в виде ~ ер(з+т) ф(з)еЬ= ~ ~ф(ее) ~ее' 'еЬ Гл. 4. Распределения недлгннагз рагша '«~ с .игле н=а (4,6.1 !) где ы„— вешественные, а с„— комплексные постоянные; этот ряд сходится к Е" (Е) по норме (!171, порождаемой скалярным произведением г (Е, е) = Вгп †' )Р Е (Е) я (Е) ЕЕ! г 2Т,! коэффициенты с„удовлетворяют равенству Парсеваля ~', ! с„(е = !, '7 !!'.
= ЕЕ (О) (Рнсс и Сехефальви-Надь (19531). С!тыетиы, что !)71 — это не обычная ьэ-норма на К из-за множителя 1/(2Т) в (4.6.12). Для простоты будем считать 7(Е) такой, чта ряд (4.6.11) сходятся абсолютно. Тогда ЕЕ (т) =~~',~ ) с„('е!""ч и из (4.6.7) нетрудно видеть, что 3 (ы) =сопз1 + ~Ч~,' ) с„(э, (4,6.14) ал<м (4.6.13) в предположении, что сходимость в (4.6.7) равномерна относи. тельно ш. Наконец, из неотрицательности левой части (4.6.10) видно, что 5(ю) — неубывагощая вещественная функция.
ПРИМЕРЫ В некоторых из этих примеров удобно счнтать функцию 7(Е) лишь ку. сочно непрерывной; на теории этб не отражается, а на салюм деле Винер рассматривал еше более широкий класс функций, Читатель ари желании может без труда сгладить разрывы 7 (Е). ПРИМЕР ! Пусть 7 (Е) = 1 при 1 - ! Е ! ~ 2, 4 ~ ) Е ! а= "8, 16 м ) Е ( ~ 32 и т. д.
и абра. шается в нуль в противном случае. Тогда величина г 2Т 1 — г 1 2 при Т вЂ” ь оэ осциллирует между — и —,; поэтому при Т вЂ” > ее и лгобом ч 3 3 * предел в (4.6.2) не существует. Статистические свойства 7(Е) на больших временных интервалах не являются вполне определенными. ПРИМЕР 2 Пусть 7(Е)=еге. Здесь )7(0)=1„тогда как )7(т)=0 при тФО. Таким образом, ЕЕ(г) не является непрерывной, как это нам требуется, и 5 (ш) = =О. Груба говоря, вследствие быстрых асцилляций функции еп при больших Е здесь вся энергия приходится на бесконечные частоты, Аналогично еедут себя функции зЕП Еа и соз Ее Пример з Пусть 7(Е) — почти периодическая функция, Тогда ее можно представить в виде ряда 4.б. Энергел»и«вский опекал 87 (При этом предполагается, что ю отличается от всех ыгд если ю=о» прн некотором т, то к правой части (4.6.14) нужно прибавйть '/з(с )'.) Следовачельно, функция /(1) нл«ест чисто линейчатый спектр; линия с частотой ы„ имеет интенсивность ( с„)».
Этот пример включает случай периодической функции, когда ю„являются целыми кратными некоторой основной частоты и (4,6,1!) представляет собой обычный ряд Фурье. ПРИМЕР « Предположилц что функция /(1) задана в виде обычного интеграла Фурье /(1)= — ~ /(оз)егм««(ю» )«2п ) где / и / — квадратично интегрируемые обычные функции. Нетрудно видеть, что в этом случае Я(0)=0, так что /1(т)ем О. Функция /(1) соответствует конечной энергии, но когда эта энергия усредняется по всем значениям времени, средняя энергия оказывается равной нулю.
ПРИМЕР З Можно предположить, что интеграл Фурье-Стнлтьесз / (1) = $ а«м! бо (ы), (4,6.15) где о(ю)-функция ограниченной вариации, будет подходящим обобщением рядов Фурье и интегралов Фурье, но и здесь опять получается лишь линейчатый спектр с линиями на тех частотах ы (если они существуют), где н(ю) имеет разрывы. Преобразование Фурье от (4.6.15) — это первая производная от обычной функции о (ы), и мы уже видели, что преобразование от интер«» сующей нас функции есть алюрая производная в смысле распределений от обычной функции Г (ы), определенной в (4.6.1).
Пример а Теперь опишем функцию /((), предложенную Винером, которая ил«ест не прерывный спектр. Она принимает только значения ~1 и постоянна на каждом интервале между двумя последовательными целыми точками. На любой цепочке из ш таких интервалов /(!) могкет быть описана последовательностью т знаков «+» или « — », которую мы назовем шаблоном длины ль Функции строится так, что соли число Дг! показывает, сколько раз данный такой шаблон встретится на интервале длины»у (считается, что»у >) т), то Л'г — — 2 '" при й» вЂ” » «с. ,у 2Т ) /(1+')/(()бг ! Р -Т где т — отличное от нуля целое число. Вклад интервала и < 1<я +1 в этот интеграл равен ~1 в зависимости от того, одинаковые или противоположные знаки имеет шаблон длины т+1 для /(() на концах своего интервала л< г < < я+я+1. Так как обз эти случая равновероятны, мы видим, полагая Т -«.
с», Можно сказать, что асимптотнчески появление любого из 2м шаблонов длины ш равноверонтно, Теперь рассмотрим интеграл 88 Гл. 4. Распределения медленности' раста что )7(т)=0, если т — отличное от пуля целое число. Ясно, что )7(О)=1, и нетрудно видеть, что )с(т) меняется линейно при изменении т между последа. вательиыми целыми числами. Поэтому )7 (г) = 1 — )т( при (т( < 1, (4.6,16) О при всех прочих т, откуда с учетом (4.6.6) находим, что 3 З(м)=) (1 — т) «ж (4.6.1 7) пт а Таким образом, в этом случае спектр непрерывен и плотность спектра равна З'( )= (4.6.!8) Осталось построить фуиицию 7(1), что мы и сделаем для ! > О, имея.в виду„что 7 (- 1) = г (1).
Последовательность знаков для г (!) при 1 > О такова: +.— ++ + —; — +з — — (этот набор повторяется 2 раза); +++ ++ — 1 + — +, + — —, — ++, — + —, — — +, — — — (этот набор повторяется 4 раза); +++ +, + ++ — и т. д. (этот набор повторяется 8 раз); (4.6.! 9) Запятые здесь служат лишь для разделения групп знаков с целью облегчить понимание дальнейшего.
Теперь рассмотрим шаблоны длины ьт и возьмем строку указанной схемы, в которой расстояние между запятыми много больше иц среди шаблонов, внутрь которых не попадает запятая, все шаблоны длины т встре- чаются одинаково часто, а вероятность встретить такой шаблон с запятой внутри стремится к нулю с ростом расстояния между запятыми. Далее, вслед- ствие повторений каждая строка схемы мажорирует все предыдушие строки; откуда и видно, по 7 (1) обладает требуемыми свойствами. Значение этого примера не зависит от некоторой искусственности схемы (4.6.19).
Если последовательность знаков «+» и « — » определяется некоторым физическим процессом, т. е. полностью случайным образом, то получается тот же самый непрерывный спектр (4.6.17) с плотностью (4.6.18). По-видимому, излучение нагретого тела и белый шуы имеют такой общий характер. Наконец, следует упомянуть другой пример, приведенный Винером 11930) со ссылкой па К. Малера, в котором появляется так называемый сингулярный непрерывный спектр (мы опускаем его описание, поскольку оно довольно длинное).
Напомним, что неубывающая функция 5(ш) может быть представлена в виде суммы трех слагаемых: функции скачков со счетным числом последних, абсолютно непрерывной функции и непрерывной функции, имею1цей равную нулю производную почти всюду, как функция Кантора, о которой пойдет речь в гл. 13. Первое слагаемое дает линейчатый спектр, второе — непрерывный спектр в обычном физическом смысле, а третье — сингулярный непрерыв- е.б. Энергепе несений спенпер ный спектр, который обычно не встречается в физических задачах, хотя пример Малера и показывает, что в принципе он возможен.
Входящая в (4.6.9) функция ~>(е) представляет собой отклик фильтра на единичный импульс 6(г), поданный в момент с =О. Независимо от принципа работы фильтра по соображениям при. чинности функция ф (г) должна обращаться в нуль при е (О. Однако зто не накладывает существенного ограничения на каши рассуждения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
