Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(2) В одной из книг по теории распределений говорится, что для любых распределений ~ н д (заданных, например, на к) можно определить свертку ~ид, рассматривая ее как распреде'ление. Это неверно уже для функций: если )'(х) =д(х) =1 при всех х, то ~яд обратится в оо при всех х, так что эту свертку нельзя отождествить ни с функцией, ни с распределением„нн 'с какой-либо другой из известных до сих пор обобщенных функций. (3) Гельфанд и Шилов приводят формулу для б(х) при комплексных значениях х. Они основывают свою формулу на определениях, выходящих за рамки теории распределений Шварца, и поэтому она не имеет смысла в любом контексте, не содержащем этих определений. Операториозначные распределения В квантовой теории поля часто определяют операторнозначное распределение Т(х), говоря, что для каждой пробной функции ер(х) величина <Т, ер> является ограниченным линейным оператором на некотором гильбертовом пространстве.
Под линейностью функционала <Т, > понимается то же самое, что н выше, а его непрерывность'требует дополнительного разъяснения. А именно, Ж если последовательность (ер,) сходится, ер„- ер, как в 5 2.4, то непрерывность означает, что <Т, ер„> — <Т, <р>, и следует лишь решить, какая сходимость операторов здесь подразумевается: слабая, сильная или равномерная (см.
гл. 7), Га. 2. Расиредеаениа и их общие соодсима бд' алодимость функций Как отмечалось в $ 2,6, поточечная сходимость функций р„(х) к р'(х) ни необходима, ни достаточна для сходимости р'„ - р как распределений, В этом нет ничего удивительного; уже из элементарной теории рядов Фурье и ортогональных систем функций видно, что в физике обычно существенна не поточечная сходимость, а сходимость в среднем (т. е. в 1.а).
Сходимость в среднем представляет собой частный случай сходимости в смысле теории распределений, причем поточечная сходимость не является для нее ни необходимой, ни достаточной. Если р„ 1 в смысле распределений, то точно так же и р„'- 1„' и т. д. 2 и а. РЕГУЛ ЯРИЗАЦИЯ До спх пор у нас еще не было метода для сопоставлении распределений с такими функциями, как р(х) =1/х или 1/х', которые имеют неинтегрируемые особенности. В общем случае, если функция р (х) имеет особенность некоторого типа в точке х=- х„ и непрерывна прн х~х„будем искать распределение р', называемое регуллризацией р(х), такое, что <1, ~р> = ~ р (х) ср (х) Нх для каждой пробной функции ср, носитель которой не содержит точки х,. Так как значение <р, ср> должно быть определено для всех пробных функций (хотя и не обязательно с помощью этого интеграла), регуляризация не единственна.
Положим для удобства х,=О. Если функция х"~(х) при некотором целом положительном т ограничена в некоторой окрестности нуля (тогда говорят, что особенность в точке х=О алгебраическая ')), то одна из возможных регуляризаций определяется как <р', ср>= ~ г(х)ср(х)бх+ !а))а + ~ г(х) ~ср(х) — ср(0) — х<р'(О) —...— —,х ср" (0)1бх, ~к~<а чРРЕСс (2.10.2) а) Обычно такая особенность называется степенной, †/Уриаь нерее.
2,/О. Реарляразация для некоторого фиксированного заданного а) О, потому что, во.первых, это, очевидно, линейный функционал на С," и, вовторых, если носитель функции ср не содержит нуля, то чз(0) .= ер'(0)= .. =~р =О, так что (2.10.2) согласуется о (2.10.1). Упнажнение !. Покажите, что функционал (2.10.2) непрерывен в смысле б 2 ч, Неединственность Если / — указанная выше регуляризация, то другие регула. ризации могут быть получены путем прибавления к / любого распределения д, которое сосредоточеяо в нуле, т. е. дает нуль при действии на любую пробную функцию, носитель которой не содержит нуля. В качестве д можно взять, например, распре- деление вида и(х) = ~з аубьо(х), !=о что эквивалентно прибавлению к (2.10.2) линейного функционала ~ ау( — 1)/ероч (О).
!=о Любая функция /(х), имеющая не более чем конечное число алгебраических особенностей в любом конечном интервале, может быть регуляризована аналогичным образом. Неединственность порождает вопрос о том, какую регуляризацню нз всех возмож- ных лучше всего выбрать. Для указанного выше класса функций этот вопрос был рассмотрен Гельфандом и Шиловым. Они пока- зали, что для каждой функции из этого класса можно выбрать каноническую регуляризацию з), облада!ощую следующими свойст- вами: (1) регуляризация суммы /(х)+д(х) есть сумма регуля- ризаций /(х) и я(х); (2) регуляризация обычной производной от /(х) есть производная в смысле распределений от регуляризацин /(х) и (3) если а(х) — любая функция из С" на Гс, то регуляри- зация а(х)/(х) есть произведение а(х) на регуляризацию /(х), УПРАЖНЕНИЕ 2.
Пусть фуниция ( ~х прн х)0, 0 прн х~О очождсствлсна с распределением /. Найдите /' и /' и сравните их с рсгулярнзацнямн функций /' (х) н /'(х), получающимися согласно (2.10.2). ') Они показали таиже, что каноническая рсгуляризацня определяется единственным образом. — Прим, перев.
Гл. 2. Распределения и их оби(пе швобгшва Лрииожеимв и главе йь РАЗРЫЛНЫЯ ЛИНЕЯНЫЯ ФУНКЦИОНАЛ Здесь на пространстве Са =Се (Л) пробных функций ~р (х) на Я будет построен линейный функционал, который не является непрерывным в смысле л 2«4 и тем самым не является распределением в смысле Шварца. Возьмем некоторую функцию р(х) нз Са и зафиксируем ее для всех дальнейших построений, предполагая лишь, что воситель функции р содержится в некотором интервале (а, Ь).
Положим Х=(лр(х): йш ~ Со, ф(х)=р(х)ш(х)»; (2.А. 1) Х вЂ” это линейное пространство. Сначала определим разрыввый линейный функ. ционал на пространстве Х. В Х, как и во всяком линейном пространстве, можно выбрать базис Хамеля (см. книгу Данфорда и Шварца (!Обй)), т. е. множество В= (фа: а Е А) элементов из Х, где Л вЂ несчетн множество индексов, так что любой элемент ф из Х имеет единственное представление ф=ефа+с фа'+.- ° +с фана! (2.А.2) в виде конечной линейной комбинации элементов базиса В (ш зависит от л!). Можно определить <у, ф ) произвольно для каждого элемента ф ' базиса В, после чего для элемента ф, имеюшего внд (2.А.2), <г", ф> определитсн как <А ф>=с<), л!а>+с'<А лйаа>+...+с' л<У, ф ( л) (2,А 3) Произвольно выберем счетную последовательность (ф )» л различных элемен.
'» гов базиса В. Для каждого Ь выберем такую функцию <р» ц С„, что (!) ч (х) = а р(х) ~р»(х) и (2) носитель ~р»г:(а, Ь). Ясно, что зто всегда возможно, потому что носитель функции р — это замкнутое ллножество внутри (а, Ь), а условие (!) фиксирует значения ф» только на носителе р. Положим Ь)а=вор ~~ ф(В (х) ~, ~ ~р»ыл (х) ~: х Е й, (= 1... „Ь) . а„ Определим теперь функционал <(, > на элементах базиса В следующим образом: <г', л! )=Ьг(» (»=1, 2, ...), <Д ф,>=О при ф,(й(ф 1 - 1 ф» = ~Ь)у фа л лр» л)у и»' когда Оц» — «О и лра — «О прн Ь са в смысле сходимости пробных функций (сходимости в ~9).
Но <Г ф»>=1 прн всех и=1, 2, ... и поэтому функционал <), .) не является непрерывным. Наконец, определим функционал я на Са" кзк <й лр> = <). рф> Чф 6 С" » Так как <й«йла)=<('«лра>=1, функционал л также разрывеи, Прилож. к гл.
2. разрывный линейный фцнкг(ионна б( Пояснение. Понятие базиса Хал~еля в бесконечномерном пространстве мно. гие считают слишком абстрактвым, потому что оно опирается на несчетную аксиому выбора и пока еще не найден способ построения такого бааиса. Однако зта аксиома в ее несчетной форне входит в классическую систему аксиом Цермело †Френке, на которой основывается созреиенная математика, и ока. аалась очень полезной во многих разделах математики. х(а тех пор пока мы исходим из этов системы аксиом, непрерывность различных линейных функционалов, вводиыых в качестве распределений, не может считаться заранее верной, а должна доказываться, еслв мы собираемся опираться иа эту непрерывность (а часто это совершенно необходима).
Недавно была предложена другая система аксиол~ как возможное альтернативное логическое основание математики. Она обсуждается в деталях у Соловая [!970) и в других работах. В ее основе лежит модель теории множеств, которая содержит среди прочего систему Цермело †Френке, модифицированную путем включения только счетной аксиомы выбора, т. е. аксиомы, применяемой лишь к счетному набору множеств. В втой модели отсутствуют многие из так называемых патологических особенностей, присущих принятым в настоящее время основаниям теории: каждое множество в и" измеримо го Лебегу; линейный оператор, определенный на всем гильбертозои пространстве, всегда ограничен и т.
д. Йз теоремы Райта [1973[ следует, что в этой модели каждый линейный функционал па пространстве С, (В") илн еу'(Еч) пробных функций (и на других пространствах тоже) автоматически будет непрерывным в смысле й 2А. В модели Соловая используются сложные методы современной теории множеств, и она не может быть здесь рассмотрена.
Пока еще неизвестно, н чему приведет в различных приложениях замена несчетности на счетность в аксиоме выбора, и поэтому в настоящее время не следует спешить с окончательными выводами относительно модели Соловэя. Глава 3 ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Топология открытых в взмкнутых множеств в евклидовом пространстве; покрытия; теоремы Больцвно — Вейерпзтрвссв и Гейне — Бореля; принцип стягивания; разбиения единицы; сравнение распределений нв произвольном открытом множестве; принцип составления из частей; носитель распределения; производная квк локальное свойство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
