Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 8
Текст из файла (страница 8)
КЛАССЫ ПРОБНЫХ ФУНКЦИЙ. ФУНКЦИИ КЛАССА Со екр ( — 1/(1 — хо)), — 1 с х с 1, ы(х) = О, )х)~1 (2.2.1) нрападлежвт Со. (К) ° Упражнения 1. покажите, что все производные функплн (2,2.1) непрерывны прн поо. боп х. Различные классы пробных функций порождают различные классы распределений. Чтобы охватить все примеры предыдущего параграфа (б(х) и все ее производные и все обобщенные производные произвольной непрерывной функции ((х)), пробные функции ор(х) должны быть бесконечно дифференцируемыми и каждая из ннх должна тождественно обращаться в нуль вне некоторого конечного интервала. Все такие функции образуют класс С," или С„" (В); соответствующие функции <р(х) =тр(х„..., хо) от и нева* висимых переменных образуют класс С,"(ос"); при желании различать пробные функции с вещественными и комплексными значениями пишут ""С„" и ои'С," (независимые переменные х„..., х„всегда вещественны).
Обычно через С" обозначают класс нейрерывных функций с непрерывными производными порядка )т (включая смешанные частные производные для случая п ) 1). Носителем функции ор (х) называется замыкание множества тех точек х, для которых ор(х) ФО; нижний индекс О у С," или Со показывает, что каждая функция из такого класса имеет ограниченный носитель. Часто используются векторнозначные пробные функпии. ПРИМЕР Функция 2.3. Обозначения дяя рагнр«д«я«ннж Балин«алая форма 39 2.
Постройте в С» функцию, которая равна ! нри )л)~1 и рзвнв нулю при )я 1) 2, йгказалиа. Рвссмотрнте свойства иктегрвлв ) ф (у) «!у, где функ- ция ф задана в виде (2.2.!). 3. Постройте сферическн симметричную пробную функцию ф(лп ..., х„) нз класса Се (ца), положительную при х=й. Любой линейный функционал, который определен для всех <р из С»" (Д") и удовлетворяет так называемому условию непрерывности, сформулированному ниже в 3 2.4, является распределением на (или в) Гса. В гл.
4 рассматривается более п)ирокий класс К или г" (к") пробных функций (так называемый класс Шварца). Функция ф(х) из д'(Д") не обязательно является тождественным нулем вне ограниченной области или «носителя», но должна очень быстро стремиться к нулю и ри ~ х ~ — со; соответствующие функционалы назььваются распределениями медленного роста. Ясно, что любая пробная функция из С," автоматически принадлежит У' (т. е. С,"~К), так что любое распределение медленного роста является распределением. Гельфанд и др.
([19591 и следующие выпуски) рассмотрели подкласс Л класса у', состоящий из некоторых целых аналитических функций. Подкласс 2 не содержит С," и не содержится в последнем, поскольку аналитическая функция не может иметь компактный носитель, еслн она отлична от тождественного нуля.
Определенные на 2 функционалы являются обобщенными функциями, включающими в себя распределения медленного роста, но мы не будем в дальнейшем рассматривать эти функционалы (исключением является кратное замечание в $ 4.5). 2.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ. БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА Напомним, что линейный функционал г на функциональном пространстве, например иа С,"=С,"(йя), представляет собой соответствие, по которому для каждой функции ф(х) из С," указывается число, обозначаемое через г (ф1, причем г'(а,фг+ аяф»1 = п»г'(ф»1+ а,г' (ф,1 (2.3.1) для любых фт и «р, из С," и любых констант п, и пя. Распределение на Гс является таким линейным функционалом. В то же время выражения вида(() ) (х) ф(х) «Кх)) в равенствах (2.1 1) —.
(2.1.4) очевидным образом линейны относительно тех обобщенных функций Г, которые определяются при их помощи, и поэтому мы можем использовать принятые для бллинейиых форм обозна- Гл. с. Расиределеиил и их общие свойства чения. Линейный функционал, который определяет конкретное распределение Р, обозначим через <Г, ° >, а через <~, ~р> будем обозначать значение функционала, примененного к конкретной пробной функции ср. Здесь Р можно считать произвольным спмв~лом, используемым для обозначения распределения (функционала). Будем считать в дальнейшем, что если Г и д †д таких символа, а а н Ь вЂ чис, то выражение а~ +Ьд обозначает распределение, определенное как <а(+Ьй, ср>с а<Г, ср>+Ь<й, ср>.
(2.3.2) Например, если 6 и 6' суть «функция» Дирака и ее «первая производная», то <6, р> =,р(0), <6, ср> = — ср (О) (2.3.3) (2.3.4) В комплексном случае, когда Се" ='о"С,, комплексно сопряженное к Р распределение ~ представляет собой линейный функционал, для которого дее— <г, ср> = <~, ср> при любой ср ЕС«". (2.3.5) Интерпретация этого определения такова: если ср (х) — пробная функция, то ср(х) — также пробная функция, так что <г", ср> является прн заданном ~ точно известным комплексным числом, а <Р, ср> — его комплексно сопряженное, которое, очевидно, зависит линейно от йч тем самым значение <~, ер> определено для каждой <р. Распределение Г" вещеспевенно, если Г'=( (т.
е. если ~ н à — это одно и то же распределение), или, что то же самое, если значения <(, р> вещественны для всех вещественных ер. Часто бывает удобно указывать независимое переменное х явным образом — тогда запись распределений будет такой же, как н запись обычных функций, например )(х), й(х), 6(х). Если известен смысл некоторого распределения, например 6 (х), то нетрудно придать смысл такому распределению при замене х другим аргументом (это будет сделано ниже в 5 2.8), так что, например, для 6(х — а) или 6(х'+х+1) не нужно вводить специальных обозначений. В некоторых математических рассуждениях представляется возможным обозначать функцию через г( ), а ее значение при выбранном значении к ее аргумента — через ~(х), Но на прак- для всех ср, а об+66' является распределением (функционалом), для которого <об+66', ср> = аср (О) — Ьер' (О), 2.4.
Фориольное онределение. Нелрерывноеть функционвлов 41 тике последовательное применение такого подхода быстро становится неприемлемым: обозначение функции х" как " или функции з!и'(х'+у') от двух переменных как зйп('+') приводит к путанице; следовательно, обозначения Т"(х), х", зги(х' +у') должны служить для обеих целей, Но если говорится о какой-то '(или о конкретной) функпии ((Х), то ясно, что допустимы всевозможные функциональные соотношения. Так, у,(г) в зависимости от контекста может обозначать число, функцию от г или йупкцию от двух переменных т и г. Поэтому мы считаем, что такне обозначения, как )(х) и б(х), являются вполне допустимыми для обобщенных функций или распределений, а наличие символа х не должно порождать мысль о значении обобщенной функции (и даже о его существовании) для конкретного значения х.
Для заданного распределения )(х) его значение (~, ер> на конкретной пробной функции <р можно символически записать как (2.3,6) ) )(х) ер(х)йх, опуская применявшиеся в ф 2.! кавычки, если из контекста вполне ясен смысл каждой величины. Это позволяет использовать такие равенства, как б(Зх — б) ф(х) дх='/ь~р(2), которое получается путем замены независимого переменного на новое, у=Зх — б, согласно 5 2.8. Но в основном в этой и в следующих двух главах используются билинейные обозначения, чтобы подчеркнуть, что распределение — это прежде всего линейный функционал: его применение к пробной функции дает число. глн ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУИИЦИОИАЛОВ Как уже отмечалось выше, определенный на классе пробных функций линейный функционал будет раснределениеле только в том случае, когда он удовлетворяет определенному условию непрерывности, которое мы теперь и собираемся рассмотреть.
В большей части элементарной теории условие непрерывности не играет никакой роли, однако в некоторых случаях оио является существенным. В конце этого параграфа и в нескольких следующих мы постараемся объяснить, когда это условие действительно необходимо, а когда его следует иметь в виду лишь для вовможного использования в дальнейшем, Гю 2.
Раслределелия и ил общие с«об«гизи 42 Начнем с того, что если определена сходимость фг- ф пробных функций, то функционал <1, ° > будет непрерывным относительно этой сходимости, если <'у, гр > <у, ф> при гру ф. Усиление сходимостн пробных функций расширяет класс непрерывных функционалов. Следующее определение сходимости, обо- Я вначаемой через —, является наиболее сильным. Определение.
Если функции ф и гр принадлежат С," ((к"), э то гру — ф, если (1) в кл найдется ограниченное множество, содержащее носители всех гру; (2) при 1 — оо функции фу(х) сходятся к ф(х) равномерно относительно х из (кл; (3) аналогично этому каждая частная производная от фу(х) (любого порядка, смешанная или иет) сходится равномерно йа Р" к соответствующей производной от ф(х).
Теперь (2А.1) †э условие, выделяющее распределения из множества всех линейных функционалов (), ). Опыт показывает, что это условие всегда выполняется в тех случаях, которые возникают на практике, однако пример разрывного линейного функционала на С," (Гс), приведенный в приложении к этой главе, показывает, что это условие ие лишнее. Заметим, что для построения такого примера приходится использовать аксиому выбора. Исходя из сформулированного выше определения сходимостн, Лоран Шварц рассматривал С," (Гсл) как топологическое пространство и обозначал его через Я. Пространство Ю', сопряженное к Ю, т.
е. множество всех распределений на кл, также можно различными способами превращать в топологическое пространство. Для ознакомления с топологнческим аспектом теории мы рекомендуем читателю книги Шварца или Гельфанда и др. Более слабая сходимость в С," порождает более ограниченные или более «слабые» классы распределений. Чуть более слабое определение сходимости, обсуждаемое в гл. 4, приводит к так называемым распределениям медленного роста. Наиболее слабой является среднеквадратичная сходимость в С,", которая порождает элементы пространств х.», рассматриваемые в гл. 5: элементы эти настолько «слабы», что часто их называют просто «функциями».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
