Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 3
Текст из файла (страница 3)
д. На мой взгляд, математическая физика должна содержать объяснение подобных вопросов. Многие хорошие идеи оказываются простыми, и я полага>о, что их так и надо представлять — без излишних отступлений. По моему мнению, теорию распределений, например, следует основывать (вполне строго, конечно) на понятии интеграла римана и современном анализе, а теория пространств Е» и теория дифференциальных операторов должны базироваться на теории распределений. О теории меры и топологических векторных пространствах студенты смогут узнать позднее. В своей книге я стремился представить фундаментальные идеи на максимально возможном «заземленном» уровне.
Но в то же время я решился изложить и некоторые идеи и представления, имеющие самостоя. тельный интерес, например понятие кардинального числа в главе о гильбертовам пространстве. Роберт Д. Риктмайер Боулдер Декабр» И78». Гпава 1 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА Связь с конечиомерными пространствамн; аксиомы гильбертова пространствьп неравенство Шварца и неравенство треугольника; правило параллелограмма и связь с общими банаховыми пространствами; полнота Н; трансфинитные кардинальные числа; аквивалентность сепарабельных гильбертовых пространств; гильбертовы пространства больших размерностей; сепарабельность пространств Фока; критерий полноты ортонормированных последовательностей; линейные функционалы; теоремы Рисса — Фишера н Рисса — Фреше; сильная и слабая сходимостгп поляризация квадратичных функционалов.
гтредвпртпеяьнае сведения: линейная алгебра, В этой главе рассматривается в основном геометрии гильбертовых пространств (главным образом абстрактных). В гл. 5 теория гнльбертовых пространств совместно с теорией распределений используется для построения теории пространств Т.а, на которой в значительной мере основывается современный функциональный анализ. 1.1. ОБЗОР НЕОБХОДИМЫХ СВЕДЕНИЙ О МАТРИЦАХ И КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Предполагается, что читатель знаком со следующим материалом. Вещественная или комплексная матрица А размера и х а определяет линейное преобразование а-мерного вещественного или комплексного пространства )гп: х — х' = Ах, в координатной и записи х',= ~~' Ауаха. Если х рассматривать как вектор-столбец, а 1 т. е.
как (и уя 1)-матрицу (и в этом случае опускать индекс столбца), то Ах оказывается просто произведением матриц. Транспоиировапиая и эрмитово сопряженная матрицы для матрицы М (не обязательно квадратной) обозначаются через Мт и М', т, е. (Мг)у» = Мау, (М') „= Маг, в частности, хг и х" — иектоРы-стРоки. Если х и у — л|обые векторы из 1'", то их эрмптово скалярное произведение является матрицей размера 1 х 1, т, е. числом к'у = ~ х,уу, обозначаемым также через (х, у), В вещественном слуг'=1 Гл.
Д Гильсмрлгввм лроеырвнгтва чае полУчаем пРосто хтУ= Яхурп а этУ величинУ обозначают часто и через х у. (Заагети»г, что ху* — не число, а (пхп)-матрица (ранга 1); возможно, зто объясняет, почему в (х, у) второй сомножитель взят линейным, первый же полулипейным '), как обычно делается в физике, а не наоборот, как обычно принято в мате. матике, т. е. (х, ау) = а(х, у), тогда как (ах, у)= а(х, у).1 Говорят, что векторы х и у ортоганалоны, если (х, у) = О. Длина вектора х — число (х(= (х, х)гга, которое иногда обозначают просто )х). Основные геометрические понятия рв связаны, во-первых, слинейиой зависимостью и, во-вторых, с ортогональностыо.
Векторы х', ..., х» линейно зависимы, если найдутся такие числа а„..., а„, не все равные нулю, что ~,ауху — нулевой вектор (при в.ьггвек! торы всегда линейно зависимы). Множество всех линейных комбинаций ~аунг в данных векторов называется (лннейным) подпространством пространства )га, порожденным векторами х', ..., х" (~ли линейной оболочкой этих векторов), Если эти векторы линейно независимы, то порожденное ими подпространство й-мерно; в линейной алгебре доказывается, что если у',..., у» — другие линейно независимые векторы, лежащие в этом подпространстве, то нх линейная оболочка оказывается тем же самым подпространством. Для вещественного пространства (г" числа ап а„... — произвол ьные вещественные, для комплексного (г» эти числа — комплексные. Множество вещественных илн комплексных чисел (обозначаемое соответственно 1' или С) называется полем скаляров; никакие другие поля использоваться не будут.
Иногда говорят, что комплексное пространство )г" имеет 2п вещественных измерений. Множество (тг)»г вектоРов из 1'в называетсЯ оРтоноРмиРвванным'), если (и', ту) =б, (ЬП=1, если г= г, и бы=О, если г Ф1). Ясно, что тогда и в гг. Если л = и, то любой вектор х можно в записать как ~а аунг, где а =(тг, х). »=1 Если 5 — некоторое подпространство пространства (гв, то 5ь обозначает ортогональное дополнение 5, ко~орое определяется как 5»=(х: (х, у) =О для всех у из 5); (1.1.!) иначе говоря, 5ь состоит из всех тех х, которые ортогональны всем у из 5; кроме того, (5»)а=5 и г(1гп5+д(гп5»=п.
Тео- г) По другой терминологии — сварен»ение линейным илн антнлинеяным.— Прим. перев. т) По другой терминологии — ортогональным нормированным илн оргоиормальным,— Прим. перев. Д1. Соеденаа о лаеприиае и канекноиерник нроеенранапааа 1 рема о проею1ин, доказываемая в линейной алгебре, утверждает, что для любого вектора х из $'а существует единственное разложение х=-у+в, где у и г принадлежат 5 и 5ь соответственно. В этой главе изложенные выше идеи обобщаются на случай определенных бесконечномерных пространств, называемых гцльбертоаььни. Бесконечномерность порождает несколько новых понятий. Например, в отличие от конечномерных пространств, где скалярное произведение всегда имеет смысл, в некоторых бесконечпомерных пространствах (см.
гл. 15) длина )х11 определена для всех х, однако скалярного произведения нет, причем его и нельзя определить никаким разумным образом Мы начнем с гильбертовых пространств, в которых скалярное произведение определено и которые поэтому являются естественным обобщением хорошо знакомых евклидовых пространств.
В главах 7 — 12 изучаются обобщения матриц, точнее соответствующих им линейных преобразований. Этими обобщениями являются линейные преобразования или операторы в гильбертовых пространствах. Необходимо обобщить несколько определе. ний и утверждений, а именно следующие. Если Л вЂ” матрица размера пхп, вектор ч-ьО в е — число, то Х называется собственным значением А, если Лч=Хч, причем ч называется соотвегствующим ему гобстаенныгя векепорол.
Преобразование х — х' = Ах имеет обратное преобразование х' х= А 'х' тогда и только тогда, когда нуль не является собственным значением А. [Поскольку собственные значения ). являются нулями многочлена бе1(е.е' — А) и матрица Л обратима тогда и только тогда, когда е(е1 А ~ О, Для теоретических целей обратная матрица получается при помощи алгебраических дополнений, для практических нужд— при помощи метода исключения Гаусса; эти методы не обобщаются.) Если А — эрмитова матрица, т.
е. А* = А, то все ее собственные значения вещественны и у нее есть полное ортонормированное множество собственных векторов ч'">, ..., ч". Если У вЂ” матрица размера и х и, имеющая эти векторы своими столбцами" (она уншпарна: (е'(е" = У'Р = 7), то У*АУ вЂ” диагональная матрица Р с собственными значениями матрицы А на главной диагонали и Л= ОРУ'. Для такой диагонализируемости матрицы А необходимо и достаточно, чтобы она была нормальной, т. е.
чтобы АА'=А*А. Коммутирующие нормальные матрицы А н В можно диагонализнровать одновременно одной н той же унитарной матри« цей У. Матрица Л называется положительно определенной (полу. определенной), если х'Ах ) 0 () О) для всех хчь О. В этом случае А обязательно эрмитова. [Тензор момента инерции — положительно определенная вещественная (и, следовательно, симметрическая) матрица.) Все эти представления можно перенести на гильбер. тоны пространства, хотя такие обобщения не всегда невпору. ственны и очевидны. 16 Гл.
й ' )гальберн!оаы лроппронез!аа !.й. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. НОРМИРОВАННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Хотя выше вектор был определен как набор и чисел, векторные пространства (иазываемые также лпнейнылга проетранетвалш) можно определить аксиоматически, как это обычно делается в кур- сах линейной алгебры. В бесконечиомерном случае такой подход предпочтительнее, поскольку имеется много конкретных как будто различных реализаций этих'пространств. Аксиомы линей- ного пространства У над полем Г (=(с или В) таковы: 1. Если и н ч принадлежат 1г, .то при любых а и Ь из Е н 'аи+Ьч принадлежит 1г; 2. и+ч=ч-г-и, и+(ч+тч) = (и+ч)+тч; 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
