Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Надеюсь, нет нужды говорить о том, что я не пытался принизить значение математической физики, этого великолепно~о предмета с громадными задачами, где можно дать полную волю самому изощренному воображению (с. 135). Второе следствие отличия математических построений от физических касается слова «строгость», которое неправилыю трактуют как математики, так и физики и которое, наверное, нужно изгнать из нашего лексикона. Физики уверены, что математики тратят уйму времени на то, чтобы расставить все точки над 1, а математики, покачивая головами, поражаются, как эти небрежные физики все-таки получают правильные результаты. И то, и другое отношение возникает из-за недостаточного понимания методологических различий между этими двумя дисциплинами. Ситуация немного проясняется, когда начинаешь обучать физиков математике, поскольку оказывается, что физики, не боясь привычных и успешных путей исследования физического мира, от математики, тем не менее, требуют строгости.

физики хотят точно знать, что верно, а что неверно и почему именно (хотя стремятся обсуждать дополнительные факты без доказательств); они желают иметь множество примеров и контрпримеров, чтобы очертить область применения предлагаемых им теорем. В одной нз областей физики, а именно в квантовой теории поля, методологическое различие, о котором мы говорили, почти исчезло из-за несостоятельности традиционных методов.

В,1900 г. Макс Планк предложил: «Давайте прокваптуем электромагнитное поле», и показал, что в таком случае получаются замечательные вещи; еще большее показал Эйнштейн. До некоторой степени вся современная физика базируется на этом предложении, но задача оказалась гораздо труднее, чем первоначально представлялось. В течение первой половины вашего века во многих попытках, основанных на использовании интуитивных методов, столь плодотворных в других областях квантовой механики, успешно вычислялись интенсивность испускания и поглощения, ») На»ау С, Н, А та!аева11«1«п'а аро1оиу, Предисловие а также ширина спектральных линий. Однако это оказалось возможным лишь благодаря произвольному устранению бесконеч.

иостей и несоответствий и большей частью относилось к случаям, в которых искомые результаты уже были известны из экспериментов или из более грубых теорий. В пятидесятые годы группа физиков более серьезно занялась устранением бесконечностей, использовав совершенно ноные аксиомы («техника перенормировока), н хлынул целый поток новых захватывающих результатов (сдвиг Лзмба, точные магнитные моменты и т. д.). Однако мы еще не имеем вполне обоснованной теории, и каждая новая попытка преодолеть возникающие трудности сопровождается введением все более точных и более мощных математических средств.

Теперь создается впечатление, что в квантовой теории поля интуитивные методы так же ненадежны, как и в чистой математике, и современной теории поля присущи многие черты чистой математики: здесь так н чувствуется — определение, лемма, доказательство, теорема, доказательство н т. д., даже если эти слова и не упоминаются. По-видимому, окончательный успех в этой области будет достигнут в результате взаимодействия физической интуиции н вновь обретенной математической строгости. В результате в математической физике все возрастает потребность глубокого изучения операторов, распределений, банаховых алгебр, функций нескольких комплексных переменных, представлений пекомпактных групп и т.

д. Неспециалисты обычно плохо представляют себе, насколько широко используется в физике математика. Им кажется, что физики интересуются лишь математическим анализом и в особенности той его частью, которая соответствует физике девятнадцатого века и изложена в книге Куранта и Гильберта. Большинство книг (включая и вышедшие сравнительно недавно), посвященных вматематическнм методам для физиков» и т. п., не содержит теорию групп, которая играет существенную роль в физике с середины двадцатых годов, и их авторы даже не упоминают, что когда-либо слышали о математических принципах и концептуальной основе современной квантовой механики, теории относительности, космологии, теории рассеяния, квантовой теории поля, статистической механики, теории топологнческих динами.

ческих систем и т, д, Не говорится там ничего и о тех концепциях и принципах, которые еще не вошли в обиход физики, но, ве. роягно, войдут в ближайшем будущем и, по всей видимости, бу. дут заимствованы из таких областей, как алгебра, логика, теория множеств и топология. Нет, пожалуй, такого раздела математики, который не представлял бы потенциального интереса для физики. Для наших целей математические концепции и принципы более важны, чем методы, поскольку основным назначением кур.

Пред«ем«и« сов по математической физике, по моему мнению, является такое объяснение этих концепций и принципов, чтобы была вндна их приемлемость для физики. Приведем конкретный пример. Мпогообразия в релятивистской теорпи поля, В 1916 г. Карл Шварцшильд получил статическое сферическое решение уравнений Эйнштейна для поля в виде, который носит теперь его имя, Сначала казалось, что эта формула дает некоторую особенность при радиусе, получившем название «радиуса Шварцшильда».

Прошло сорок четыре года замешательства по поводу этой «особенности Шварцшильда», и стало постепенно выясняться, что формула Шварцшильда описывает только часть соответствующей физической пространственно-временнбй области. В 1960 г. Мартин Крускал дал описание геодезически полного многообразия, часть которого определяет формула Шварцшильда, и было установлено, что хотя некоторые интересные явления связаны с радиусом Шварцшильда, никакой особенности там пет. Тс, кто занимается релятивистской теорией поля, знают теперь, что под решением уравнений Эйнштейна следует понимать не формулу для элемента дуги е)з»=..., а полное многообразие и что глобальная топология этого многообразия может иметь космологическую значимость.

Введение в релятивистскую теорию поля геометрического понятия многообразия дает превосходный пример математической физики. Теория многообразий будет изложена во втором томе. Другой, более ранний пример †введен в квантовую механику теории абстрактных гильбертовых пространств, что было сделано главным образом фон Нейманом и дало возможность построить серьезную теорию на основе мощных интуитивных идей Дирака и других физиков. Не менее важным событием было применение групп и представлений групп (это заслуга в основном Вигнера и Вейля).

Наконец, свежий пример †Рюэ и Такеис использовали топологическую теорию дифференцируемых динамических систем в исследовании возникновения турбулентности, Эти идеи, вероятно, должны играть определенную роль и в других разделах физики, где появляются нелинейные дифференциальные уравнения. Основные математические вопросы физики входят в курсы физики. Надлежащая формулировка граничных задач, асимптотические разложения, следствия симметрии и т. п.

†в это дело физики. Хотя эти представления шлифуются и анализируются в курсах математической физики, первоначально они должны появляться как часть физики. Преподаватель физики никогда не должен говорить студентам, что они научатся применять эти представления, когда прослушают математические курсы. Физику н математику так разделять нельзя, и курсы математической физики не снимают с преподавателей физики ответственности Предиелоеие ва объяснение сваего предмета. Однако практически даже в лучших курсах физики не удается изложить на высоком уровне все затронутые там вопросы.

Например, в большинстве книг по квантовой механике много неясностей, связанных с гильбертовыми пространствами и операторами, и студентам нужно изучать эти понятия лишь после изучения квантовой механики на интуитивном уровне. И это не только вопрос «строгости». Имеет ли данный симметрический оператор самосапряженные расширения, а если имеет, та сколько,— эта вопрос физики, ибо сама- сопряженные операторы соответствуют наблюдаемым. Вероятностная интерпретация спектрального семейства самосопряженных операторов дает физическую интерпретацию наблюдаемой даже для состояний, не принадлежащих области определения оператора, и т.

Характеристики

Список файлов книги