Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Кардинальное число этого множества называется мощноппью континуума н обозначается через с. (Кардинальное число множества иногда называется его мощностью.) Отображение х- з/е(1+15 х) показывает, что мощность тс всей вещественной осн также равна с. При помощи кривой Пеано, которая отображает 10, 11 на весь единичный квадрат (О ха-1! ДХ Кардинальные чисел. Еепарабельпосаь. Размерность 93 О<у '1), и аналогичных кривых в пространстве можно покаэать, что все множества !Ка, Еь и т. д.
имеют ту же самую мощ. йость с. Следующая процедура дает бесконечную последовательность кардинальных чисел. Пусть А и  — некоторые множества, а С— множество всех отображений В в А; если А и  — кардинальные числа А и В, то обозначим мощность множества С через Яв, т. е, С= Ав, [Читателю следует проверить, что это обозначение корректно для конечных множеств А и В и что Аэ определяется однозначно в том смысле, что если имеются взаимно однозначные соответствия А ч-» А; и В+-» В,, то имеется и взаимно рднозначиое соответствие между двумя множествами отображений В в А и В, в Ат.) Например, если мы представим каждое вещественное число из [О, 1) в виде его десятичного представлении х=О.агата,..., то соответствие 1- ау, взЯтое длЯ данного числа х, представляет собой отображение ьгйожества В всех положительных целых чисел ! = 1, 2, ...
в множество А=(0, 1, ..., 9) десяти цифр; следовательно, каждое такое число х соответствует элементу множества всех таких отображений. Это соответствие взаимно однозначно, за исключением случая представлений типа О.!999... и 0,2000..., порождающих одно и то же х; пренебрегая этим несущественным усложнением вопроса, мы приходим в выводу, что с, мощность континуума, равна 1Ок~.
Если взять двоичное или и-ичное представление числа х, то получим, что с=2" = п"', если же взять разложение числа на непрерывные дроби, то увидим, что с=тек,'. При сравнении кардинальных чисел говорят, что А < В, если есть взаимно однозначное отображение А в В, но отобразить В в А взаимно однозначно нельзя. Например, несчетность континуума выражают так: с) Ж,. Можно показать (используя лемму Цорна в соответствующей форме' )), что для произвольных множеств А и В либо А отображается взаимно однозначно в В, либо В в А, либо каждое из них в другое. Если имеются взаимно однозначные отображения каждого нз двух множеств в другое, то, согласно так называемой теореме Бернштейна (нли Шредера— Бернштейна), существует взаимно однозначное соответствие между элементамн этих множеств.
Отсюда следует, что в любом случае либо А < В, либо А = В, либо А > В. Можно показать, что если А имеет по меньшей мере два элемента (А)2) и В ие ь) то есть в форме теоремы Переело: любое множество может быть вполне .упорядочено. Локачательство сравннмостн вполне упорядоченных множеств см, в книге Колмогорова н Фомина [19721,— Прим.
перев. Гв. 1. Гильберпввы Врвсп~равппва пусто (В) 1), то Аа>В. Следовательно, трансфинятных кардинальных чисел бесконечно много. Любая вещественнозначная функция вешественного аргумента. является отображением й в й, следовательно, множество всех таких функций (на которые не накладывается никаких ограни. чений типа непрерывности, нзмернмости и т. п.) имеет мощность с', т.
е. больше с; иначе говоря, таких функций больше, чем точек на прямой. С другой стороны, множество всех непрерывных функций вещественного аргумента имеет мощность всегб лишь с", которая равна с. Чтобы убедиться в этом, выстроим вначале все рациональные числа в последовательность х,, х„ х„..., затем поставим в соответствие каждой непрерывной функции Г(х) последовательность 1(х,), Г" (х,), ... вещественных чисел. Каждой такой последовательности соответствует только одна непрерывная функция, поэтому мощность множества непрерывных функций не больше мошности всех таких последовательностей, равной, очевидно, си~. Чтобы показать, что си =.с, возьмем последовательность (а, р, у, ...) вещественных чисеЛ и запишем их десятичные разложения: а = О.а,а,а,..., Р = О.Ь,Ь,Ь,..., (1.5.2) 0 с1свсв и т.
д. (Предполагается, что О ( ~(х) ( ! для всех х; в общем случае используется отображение Г (х) +~ у (х) = 1У, (1+111 Г (х)).1 Такую последовательность можно тогда поставить в соответствие всего лишь одному числу в, имеющему вид а=-О.а,авЬ,а,Ь,с,а,Ьвс,4 ... (1 .5.3) и получающемуся по шаблону (1.5.1); зто соответствие последовательностей (сс, (), у, ...) вещественным числам ы взаимно однозначно, за исключением чисел вида 0.1999... и 0.2000... н т. д., равных друг другу; данная трудность легко преодолевается предположением, что (1.5.3) является, например, двенадцатеричиым представлением (при неизменности интерпретации (!.5.2)): тогда 0.1999... и 0.2000...
становятся разными числами и множество всех последовательностей (а, р, у, ...) отображается в (О, 1) взаимно однозначно, Поэтому непрерывных функций не больше, чем вещественных чисел. Но их по крайней мере столько же (а значит, в точности столько), потому что кардинальное число множества функций-констант уже равно с, 25 Еб. Кардинальные числа.
Селарабельнссгаэ. Размзрносл~ь Гильбертово пространство называется селарабелвльси (термин неудачен)„если оно содержит счетное плотное') подмножество. (Тогда, как будет показано в 2 ).б, оно содержит полную ортонормированну1о последовательность, при помощи которой любой элемент лт может быть представлен в виде обобщенного ряда Фурье.| Пространство (з сепарабельно, потому что оно содержит в качестве плотного подмножества множество всех ЭЛЕМЕНТОВ $ = (Хы Х„... ), таКИХ, Чта (а) Хт РаЦИОНаЛЬНЫ, И (б) лишь конечное число х, отлично от нуля. Пространство Г,з(а, Ь) сепарабельно по той причине, что любую непрерывную функцию можно сколь угодно точно аппроксимировать на (а, Ь1 полнномом с рациональными коэффициентами, а любой элемент Гз можно сколь угодно точно аппроксимировать непрерывной функцией (см.
гл. 5). Таким образом, множество всех полиномов с рациональными коэффициентами, очевидно счетное, плотно в Гз(а, Ь). Аналогичным образом доказывается сепарабельность Г.з(й) и Ез(Гт"), только в этом случае полиномы нужно изменять при больших значениях аргументов для того, чтобы сделать аппроксимирующие функции квадратично интегрируемыми. Несепарабельные гильбертовы пространства появляются в теории почти периодических функций, но, насколько мне известно, не встречаются в обычных физических приложениях. В следующем параграфе будет показано, что все бесконечномерные сепарабельные вещественные гильбертовы пространства (равно как и все комплексные) совпадают в смысле изоморфизма, Пример Пусть Н состоит из всех таких функций 1(х), определенных нз И, котоые равны нулю всюду, зз исключением счетного числа точек х, причем ) Г (х) ('.
< се; если Г и а — две любыс такие функции, положим (/, Р)=~и',1(х) а(х); где суммнровзнне осуществляется по всем тем значениям х, для которых слзгземые отличны от нуля. Это гильбертово пространство Н несепзрзбельно. Если И заменить нз множество большей мощности (т > с, то размерность такого гильбертова пространства оказывается еще больше н т. д. Рззмерность гильбертова пространства определяется в ионце следующего параграфа. Уппзжнения 1.
Докзжите, что прострзнство )т, определенное в нредыдущем примере, является гильбертовым и несепзрзбельным. 2, Пусть для каждого л=о, 1, 2, ... <р„(, ..., ) означает элемент (распределение) нз (."(Кл), для л=о ф, можно интерпретиронвть просто изи ') Множество А иззывзется плотным (в И), если любой элемент О яв. ляется пределом последовзтельности элементов из А, — Прим. перса, Гл. У. Гальбертомя «ростралстаа одно комплексное число; пусть Ф обозначает бесконечный вектор-столбец: тл( ° ° ! ') ! 3 Пусть й — множество всех такнх векто ов-етолб Р цов, для которых ) !Гз(!+ Х Цбь(!з < т л=! цз «.м члене суммы ц ° ц обозначает норму в Г.з(кл))! определим в я' скаляр.
пое произведение (бз, Ч.') = МЪ+ Х (Ет зул). л=! Покажнте, по Р— сенарабельвое гильбертово проетранс!во. (В квавтовок механнке подобные пространства называнпсв «растра«анвама чьаса.) т.б. ОртОАОРмиРОВднные пОснедОВдтельностн Два элемента у и д гильбертова пространства Н называются ортогональными (что записывается как у ( д), если (Г, и) =О). Последовательность «!р!) называется оррзонорл!ирсеанной, если (!рь !р,) = Ьы. Такими последовательностями в пространствах й* являются, йапример, системы ортогональных функций.
Если «!р!) — ортонормироваиная последовательность, а с,, с„ такие числа, что ~ «с!(з < оо, то частные суммы ряда ~ с!!у! 1=! 1=! образуют последовательность Коши и ряд сходится к некоторому элементу из Н. Для ('ЕН числа (!рз, )) называются (обобщеннылщ) коз4фиииенлиши Фурье у относительно ортонормированной последовательности «!р!!!. Поскольку л л О( 1 — Х (чз, )')р,, 1 — Х (рз, ))р! Г= ! з=! л л Р«' — 2Х «(йн ~)«'+ Х И . Л(чу, 1)(ро чу)= л =(«('Р—,лх', «(йо 1)(' 27 7.В. Ортонормнроввнные последовательности мы имеем ~ч,'„)(фс, ))(з(~~((а длЯ всех и, следовательно, ~~ 1(фс, ))(з())~)1 (неРавенство БесселЯ).
Отсюда также следует, что ряд ~, (ф„Г) ср, всегда сходится с=с (хотя и не обязательно к 7). Ортонормированная последовательность (фс) называется пол ной, если в Н пет ненулевых элементов, ортогональных всем фс, (1.6.1) Теорема 1. Если (фс) — ортонормированная последовательность, то следусосс(ие утверждения эквивалентны; (1) (срс) полна„ (2) ~ = ~, (срн )) срс для любого ~ Е Н, с с (3) (~, у) = ~~ (~, фс) (срс, д) для любых ~ и д из Н, с=с (4) (),Г',)з = ~", 1(фс, 7) (з для любого 1" еН. [Два последних сос=с отногиепия называются равенствами Нарсеваля.) До«лзлтельство. Мы докажем последовательно следующие имплика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
