Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ции: (1) "=> (2) =.> (3) => (4) => (Ц. (1) =-> (2). для любого )ЕН элемент 7 —,~'.~(срн 7) срс ортогонален любому ф, а значит, ракен нулю по условию (1). жч (2) =-> (3). Подставляя л,(срс, 1) фс вместо 7 в(БЕ) и используя непрерыв- ность скалярного произведения (неравенство Шварца) для доказательства сходимости ряда, убеждаемся в справедливости (3), (3) > (4). возьмем е=) в (3).
(4) > (1). Если какой-либо / ортогонален всем срм то 11111=0 по (4), а значит, 7=0, сР,= — ф стбУдем писать — ) . 1 1ф1 Нф(1 Теорема 2. Гссльбертово пространство Н сепарабельно в том и только в том случае, когда оно содержит полную ортонормированную последовательность. Доклзлтвльство. Если Н сепарабельно, то оно содержит счетное мно. жество (фс) (1=1„2, ...), плотное в Н, Иэзтого множества можно построить полную ортонормировзнную последовательность при помощи процедуры ГранаШлндта: 1. Пусть ф-первый ненулевой элемент (фс)1 положим Гл.
Р. Гильбертова, лросшрв)кшва 2. Пусть )Р' — первый элемент (ф!), который не является произведением ф! аа число; положим Ф' — (ф! 'ч)') ф) Н ф' — Рры ф') ф)Н и+1. Пусть ф)п) — первый элемент (ф!), который не является линейной Иембинацней фо )Рэ, ...) РЫ положим и ф)п) фп+т= феи ~,' )=1 (фе ф )'РЕ ф)п)) ф. Очевидно, что (фд — ортоворл)ированпое мнонсество (о)ю может быть конечным, поскольку возможно, что на некотором шаге процедуры все ф! окажутся линейными комбинациями фт, ..., фь, в этом случае РГ коиечномерно).
Для доказательства полноты (ф!) предположим, что Н вЂ” такой элемент РР, что ь ( )Р; для всех !'; покажем, что тогда (=о. Для данного в > О можно найти такой элемент ф нз (ф!), что~))Р— Н))< в. Из построений Грэма — Шмидта ясно, что ф — конечная сумма ~, спрн Поскольку Н ( ф! для всех,!', ( орто. гонален и ф; поэтому') (ф — ь, ф — 4)=(ф1'+К)р < ' )К Н) < ез для любого в > О ° '. НН))=о, :. (=о.
Обратно, если О содержит полну)о ортонормированяую последовательность (ф!), то множество всех линейных конечных комбинаций ф! с рациональнь)ми коэффициентами является счетным плотным мнои)сстсом! следовательно, РР сепарабельно. !) Используемый ниже символ ... означает полслова)ельиож — Прим. персе, Следствие. Сепарабельное гильбертово пространство изоморфно либо конечномерному евклидову пространству г)п, либо гильбертову пространству )э (все пространства рассматриваются над одним полем скаляров — )и или С).
Под нзомор)рнзмом здесь понимается не только взаимно одповначное соответствие с сохранением операций сложения н умноження на скаляр, но н нзометрня (сохраненне нормы), так что свойства нзоморфных пространств полностью совпадакьт. (Сохраненне нормы подразумевает непрерывность н самого отображения, н его обратного в топологиях Н( н )з, так что это отображение (помнмо всего прочего) является гомеоморфнзмом, если пользоваться терминологией топология.1 1.7. Подлрострпнствп. Теорема о проекции 29 Доклзлтельство (для бесконечномерного случая). пусть (фд — полная ортонормнрованная последовательность в Н.
Зля любого ЯН последовательность чисел ((фь 1)) (коэффициентов Фурье) является, согласно неравенству Бесселя, элементом П, Обратно, если (хг)Е)з, то ~Ч~', хгфг~.Н. По теореме 1 С=! отображение Н- Р, задаваемое соответствнел~ à — + ((фн /)), н обратное отображение 11 — + и, определяемое соответствием (хг) — + ~ч~, 'хррь явля|отса е 1 изометрическими изоморфными отображениями. Если (хг) — любая последовательность вещественных или комп- лексных чисел, таких, что ряд ~ ~ х, 1з сходится, т. е.
если г=! (х,) Е (е, то ряд ~я~ хггр, сходится к некоторому элементу из Н. Это утверждение — один из вариантов теоремы Рисса — Фишера. Теорему 2 и ее следствие можно следующим образогн обобщить на несепарабельные гильбертовы пространства (см. Халмош 119511). Назовем множество векторов В=(гр,: аЕ А) гильбертова пространства Н ортонормированным, если 1 1 при а=Ь, ( О при а~Ь (А — так называемое множество индексов, не обязательно счетное, элементы которого помечают векторы 3 для того, чтобы отли- чать их один от другого), Если утверждение (ф„ф) О для всех аЕ А означает, что ф= О, то Я вЂ” полное ортонормированное множество, или базис в Н.
Можно показать, что если (гр,: а Е А) и (фь: Ь Е В)— два любых базиса вН, то множества индексов А и В равномощны: А = В; их кардинальное число называешься размерностью Н. Если Н сепарабельно, тоего размерностьлибо конечна, либо равна (Те. Размерность гильбертова пространства, определенногов примере предыдущего параграфа, равна с, мощности континуума. Обобщение следствия теоремы 2 состоит в том, что два гильбертовых пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают. ТЛЧ ПОДПРОСТРАНСТВА. ТЕОРЕМА О ПРОЕКЦИИ Замкнртое линег)ное многообразие или подпространствв М в Н— вто замкнутое линейное множество элементов Н; М само является гильбертовым пространством. (Пусть Я вЂ” произвольное подмножество Н (или вообще любого метрического пространства).
80 Гл. 1. Гильбзрновы проел!ранги!ва Если (и;)!" — любая сходящаяся последовательность точек 5, то ее предел !цп и, (не обязательно принадлежащий 5) называется предельной точкой 5; если 5 содержит все свои предельные точки, то оно замкнуто.1 Упражнения Выясните, какие нз следующих линейных многообразий в Р замкнуты. 1. Множество всех таких точек $ =(хв),", что х„= О для л > 1О. 2. Множество всех таких с, что х„=о при л > лз, где лз может зависеть ог С.
3. Маожество всех $, у ноторых х„=о при четных л, 4. Множество всех таких $, что ~', и ! х„!т < из, л=! 6. Множество всех таких в, что ~ (1гл) х„=о, и=! 8. Множество всех в, для которых ~Ч~ х„=о. л=! 11усть М вЂ” подпростраиство Н; его ортогональное дополнение М» определяется как М»=(гусН: (ч!, <Р)=0 чг!1 сМ); (1,7,1) М» — замкнутое линейное множество и, значит, тоже надпространство Н. Линейность М» следует из линейности скалярного произведения (, ) по второму сомножителю: если Ц, гр,) = 0 и (!Р, гР,)=0 дла всех !РАЙ М, то (зу, агр,+1зггз)=0 длЯ всех зР~ М.
Замкнутость М» вытекает из непрерывности (, ); если !рг Е М» и грг — граН, то (зр, ср)= 1нп (зр, грг) =О для всех!);ЕМ; следова! тельно, !р~ М». Теорема о проекции. Если М вЂ” лоднространстео лространстаа Н, гло любой элемент ь пространства Н можно единственным образом представить как ь=гр+зР, где грЕМ, а з)АМ». Замечании. (1) Отсюда следует, что (М»)»= М. (2) Если М в определении (1.7.1) заменить иа произвольное подмножество5, то 5» по-прежнему останется замкнутым линейным многообразием, а (5»)» будет иаимгныцим замкнутым линейным многообравием, содержащим 5; оно называется замкнутой линейной оболочкой множества 5. В следующем параграфе приводится одно важное применение теоремы о проекции.
Доказательство. Кан н в нонечномерном случае, т является тем ьчементом из Лу, для ноюрого расстояние !Ь вЂ” гр,'! минимально, динан!ем сначала, что минимум действительно еушествуег. Обозначим 1п1(11 т(~, ткЩ У.8, Лпнеаные Функционалы Пусть (>рд — последовательность элементов М, такая, что [В-фг[ — >4.
Возьмем в > О и столь большие > и Л что [ — >рг[[з пч+з, [В-фу[а.- си+в, По правилу параллелограмма 2 [  — >р4 [4+ 2 [  — фг [4 = ~ 2 ~ — — ~ ~ + > 'рг — фг Вт л [а Левая часть этого равенства ~ 4>4[+ 4зт первый член правой части ~ 4аз> потому что т>з(фг+фг)см; поэтому [фг — ф>[>э~ 4е, тэк что (>рд — последовательность Коши, Пусть ф=цш фг н ф=г — ф, Ясно, что ф~М, поскольку М замкнуто; покажем таперь, что фйМл.
для этого воспользуемся тем, что ф минимизирует [ — ф[> значит, для любого ф'~м и любого положительного числа а (ф> ф) ~ (ф 4. афз> ф + аф')> Очс Ш 2а КВ (ВЧ ф )+аз(ф', ф)4 [ ке [ф> ф') [~ — (>р', >р'). или Устремив а н вужо> получим, что ке(>р» р')=О для всех ф'йМ. Заменив >рч нз пр', нз тех же выкладок получим, что и (т(ф> >р')=О для всех ф'СМз следовательно> ф~Мх> что н требовалось доказать. Единственность разло>ке ния получается легко; если фт-[-фг и >рз+фз — два разных представления Вз тс элемент фт — фз=фз — 4-4 принадлежит и М, и Мх, следовательно он ортогонзлен сал>ому себе, т. е. равен нулю. !.3. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ.
ТЕОРЕМА РИССА — ФРЕШЕ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ОГРАНИЧЕННОГО ФУНКЦИОНАЛА Теорема Рисса — Фреше о представлении. Для любого линей ного ограниченного функционала [(ф) на Н найдется единственный глглгент >р, Е Н, такой, что 1 (ф) = (>рз> ф) для всех ф ° Докнзлтвльство. Очевидно, чзо подмножества М=(Всрп г(В) О) линейно н блвгадвря ограниченности >'(.) замкнуто; иозтому оно являе>еи подпроетрэнвтвом. [Если В>СМн Вг-ьмсНэ то )((м) !(Вг)[ [((м ВйМ Линейный .функционал на Н вЂ э функция [(ф) со значениями в поле скаляров, определенная для всех ф Е Н и такая, что [(аф+[пр) =а[(ф)+р[(>[>) для всех гр, >[: ЕН и любых скаляров са и [). Линейный функционал ограничен, если найдется такая константа К, что [[(ф)[(>т>[ф[[ для всех ф~Н.
При фиксированном ф, (>[>е, ф) — линейный ограниченный функционал; оказывается, такой вид имеют все линейные ограниченные функционалы. Гж 1. Гильберяюэм прог»прачсюва м. К)ю — 41 — «О; поэтому !(ю)=0, т. е. юЕМ.) Предполэгэя, что М ы Н (если (Ор)=0, возьмем ф»=0), возьмем любой ненулевой элемент»)ЧЛГ~; тогда если»), — любой другой элемент М~", то 1(Π— а»)т) =0 для а=1 (»г)Л РИ): следовательно, элемент») — а»(ч принадлежит я М, и Мь, и поэтому он равен нулю, тзк что М вЂ” одномерное подпрострэнство, Теперь очевидно; что если г»с , ' ((Ег) »)'» = — »Ь 1ХМ' то 1(ч)=(»)», ч) для всех ч, что и требовалось докэзэть; это видно из рззлоигення элемента Ч иэ его ортогонэльные ссстзвляющие из М и М~, если применить 1( ) к каждой состэвляю~ней по отдельности; очевидно, что элемент Я, является единственным.
з.е. сильнАя и слАБАя сходимОсть В конечномерном векторном 'пространстве по теореме Больпано — Вейерштрасса любая ограниченная последовательность векторов (и„) ЦиэЦ(с для всех я) содержит сходяодуюся подпослсдовательность. Иначе говоря, замкнутый шар (и: (и)(с)— компактное множество. Фактически здесь компактно любое замкнутое ограниченное множество, а про такое пространство говорят, что оно локально компактно. Бесконечномерное гильбертово пространство не является локально компактным: например, бесконечная ортонормировьнная последовательность (и,) ограничена (",,иэ~)=1 для всех я), но не содержит сходящейся подпоследовательности. До сих поР сходимость (иь) к и означала, что (и †( — 0 при я- оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
