Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Это записывается или как („- )"., или как ~„( ) )( ), или даже как („(х) — ~(х), но при использовании последней формы записи не следует забывать, что при этом вовсе не имеется в виду поточечная сходимость, Достаточно простой иллюстрацией введенного понятия является равномерная сходимость непрерывных функций )„(х) к ~(х)— тогда они сходятся к )'(х) и как распределения, одной лишь поточечной сходимости для этого оказывается недостаточно.
Замечание, Шварц показал, что если )„— распределения (т. е. непргрывныг линейные функционалы) и для каждой пробной фуякцин ф существует предел последовательности <~„, гр>, то этот предел, являющийся, очевидно, линейным функционалом на пространстве пробных функций, всегда непрерывен в смысле 2 2.4 и поэтому представляет собой распределение.
Упвлжненив 1. Проверьте (2.6.3), т. е. (2.6,2), если (» заданы в виде (2,6.!). 2, Аналогично проверьте, что — «6(к) прн л — «со, (2.6.5) лякз 3 '(сравните с упражнением 2 из 6 2.4). Пусть Г" — распределение на и» и ы(х, у) — функция из Сз (Кзл).
Будем рассматривать компоненты векторау как параметры и писать ф (х, у) =ф„(х), Покажите, что <г, ф„> — функция класса С„но переменным рь ...-, у,„Покажите, что если нт(х) =ф(х — у), где фЕСз (кл), то <Г, фт> — функция класса С" по ре, ..., у„. Этот результат можно применить к задаче о сглаживании.
Пусть р (х) — сферически симметричная неотрицательная функ- Гл. 2, Распределения и их оби(ие своасглва 4В цпя из Сэ" (Д') с прннадлежагциаг единичному шару носителем и нормированная так, что ~ р(х)с(ах=1. Лля любого 6> 0 пои» ложим Тогда функция называется результатом сглаживания распределения 7 усреднением по радиусу 6. Будем записывать зто как уа = л"ау; оператор /а называется оператором сглаживания или сглаживателем. Упрлжнгния 4, Покажите, что при 6 О функции уа сходятся к ( в смысле сходимостя распределений, т.
е. Уа| 6 (2.6.6) Более того, если () — любая частная производная д/дкр то 0 з'о ) = з'а ()6 (2.6.7) Следовательно, производные от 76 сходятся к производным от й Указание. Сначала покажите, что <М, ф> = <7, уаф>, [2.6.6) используя результат упражнения ) иэ й 2.4 об интегрировании по параметру. Затем покажите, что еслв ф — любая пробная фуннция из С„, то заф ф в смысле сходимости пробных функций.
Для этой цели лучше всего доказатьч что уасгф=-:)>/еф, откуда н будет следовать (2.6.7). Заметим также, что если Ь, ~ О и бэ > О, то уа,за,= загаси 5 Покажите, что- если )Г / в смысле сходимости ргасйределений, го Щу lа| в том же смысле. Эти упражнения показывают, что лгобое распределение можно приближать функциями из класса С", Примерами таких приближений для 6-функции являются соотношения (2.6.3) и (2.6.5). Результат сглаживания можно рассматривать как свертку распределения с пробной функцией р(х/6) (1,'6)", поскольку символически его можно записать как 7 (х) = ) ~ (у) р ( —,, У) (6) 1"у. и» Свертка двух распределений определяется и изучается в гл.
6; 2.7, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ Если 7 — любое распределение на эс, то распределение 7', называемое производной от 7, определяется как лег <7', гр>ге — <7, гр'> для всех грЕС;., (2.7. 1-) гЛ. диг(х))еренцироеание и интегрироооние Если ~р = ег (х) — любая пробная функция, то гр' = гр' (х) — также пробная функция, так что (2.7.1) представляет собой определение функционала <7', ° >.
Если 7' и 7' — обычные функции, то (2.7,1) есть в точности интегрирование по частям (гр(х) тождественно обращается в нуль для тех положительных и отрицательнык х, которые лежат вне носителя ер). Производные высших порядков определяются аналогично путем дальнейшего формального интегрирования по частям. Таким же образом определяются и частные производные: например, если 7'=Г(х, у) — любое распределение на гсо, то распределение д„доГ определяется как <д„д,/, ~>=<Г, д„д,~р> для всех рЕС,".
(2,7,2) Замечания о непрерывности функционалов. (1) Прежде всего, если 7 (х) — обычная дифференцируемая функция на Й, то „ [7 (х +л) †7 (х)) Г (х) при 6 О. (2,7 3) Это верно и для любого распределения ( на Р (распределение 7о определяется при помощи (2.7,1), а не (2.7.3)), но для доказательства этого факта необходима непрерывность функционала <Г, > в смысле 3 2.4. А именно, определим распределение 7 (х+ й) как <7 (х + й), гр (х)> = <( (х), гр (х †)>; (2,7 4) следовательно, (2.7.3) будет иметь место, если нам удастся показать, что ~р (х — О) — и (х)х ! ..
~р (х — й) — ~р (х)х йп 17, ) = (7", 1)ш ~. (2.7,5) о о о о Это соотношение будет следовать из непрерывности функционала <7, ° >, если мы сможем показать, что ~р (х — й) — и (х) Ж вЂ” ер (х) при Ь вЂ” О (см, упражнение 1 этого параграфа).
(2) Все это обязывает нас доказать, что если ): †люб распределение на й, то линейный функционал 7', определенный в (2.7.1), непрерывен в смысле 3 2.4 и поэтому представляет собой распределение (см. упражнение 2 этого параграфа). (3)'Если распределение 7 инвариантно относительно сдвигов, т..е. распределение 7(х+Ь) совпадает с распределением 7" (х) при всех й, то из предыдущего следует, что Г' есть функция )' (х) = =И, так что à — тоже функция ("(х) =сопз1. Для справедливости этого рассунщення следует заранее.
предположить непрерывносте н(гунн; Гл, 2. Распределения и их ебеяие еводоиеи во ционала <Р, ° ). Однако в 1971 г. Майстере довольно сложным путем показал, что инвариантный относительно сдвигов линейный функционал на й обязательно непрерывен в смысле 2 2.4 н поэтому представляет собой распределение. (4) Аналогично для распределения 7 на Р' из его непрерывности следует, что если д,7'=О, то ) не зависит от х в том смысле, что7 (х+й, у)=7 (х, у) при любому, поскольку ф (х — Ь, у)— ф(х, у) всегда можно представить как д„ф для некоторой пробной функции ф, н поэтому 7" (х+й, у) и 7 (х, у) — это одно н то же распределение на й'. Интегрирование Теперь покажем, что для любого распределения д на й суще. ствует такое распределение 7", называемое переообразной от д нлн неопределенным интегралом от д, что 7' = д, Более того, определяется однозначно с точностью до адднтивной постоянной.
Для доказательства этого будем строить линейный функционал <7, > таким образом, что если Ф= — ф" для некоторой пробной функции ф, то было бы <7, ф>=<7, — ф'>=<у, ф>. Для любой функции ф нз С," положим ф (х) = — ) ф (х-') Их". Тогда ф всегда принадлежит С" и ф"= — ф. Ясно, что ф принадлежит также и С," тогда и только тогда, когда ) ф (х') дх' =О, и в этом случае положим <Р, ф>=<у, ф>, как это и требуется. Чтобы теперь определить <7, ф> для произвольной функции ф из С~, выберем такую пробную функцию фн для которой ) ф;(х) ах=1; произвольную постоянную с также зафиксируем и положим <7, ф,> равным с. Это полностью определяет функционал <7, ° >, потому что любая функция ф может быть представлена в виде ф= ф, +афо где ~ ф,(х)ах=О, а= ~ ф(т)дх; тогда <2, ф)= <7, ф,>+<7, аф,>= =<2, ф,>+а<7, ф,)=<7„ф,>+ ) ф(х)йх с <2, ф,>+ <с, ф>, 2,7.
3/иффгргняированнг и интегрирование где последний член представляет собой аддитнвную постоянную функцию с. УПРАЖНЕНИЯ 1. Докажите (2.7.6), проверив условия сходимости в !2), сформулировзнпые в й 2М. 2. Докажите непрерывность определенного в (2.7,!) функционала 4/', Р, м, и проверив, что если фэ — ~ф, то фа эф ° Если / — неопределенный интеграл от я, то символически это записывается как х х /:=) д или ) дг/х / (х) = ~ р (х) г(х, или даже как но, конечно, при этом не нужно забывать, что / и д являются распределениями. где а= ) ф(х) Мх.
(2.7.8) Замечание. Этот результат получается формально, если положить /(х, р) я(у) и затем выполнить интегрирование по х в правой части равенства 4/, фу = ~ ~ / (х, у) ф (х, у) бх бу. (2,7.9) УПРАЖНЕНИЯ 3, Пусть функция /(х) на й, а именно /(х)=(х(, рассматривается кан распределение. Найдите распределения /' и /, используя определение (2.7.!). 4. Пусть / — любое распределение на (с и функция и принадлежит С, а произведение а/ определяется равенством (2.5.11).
Покажите, что (а/)'= = а'/ + а/'. 5. Пусть /=/(х) — неубывающая функция (не обязательно дифференцируе. мзя илн даже непрерывнаэ). Тогда опа интегрируема по Риману на любом навечном интервале, н поэтому к ней применим результат примера 1 из 6 2.5. Покажите, что /' ~ О на всем й; это означает, согласно следующей главе, что (/', фг ) О для каждой пробной фУнкции ф (х), которая неотрицательна при всех х. Указание. Покажите, что ~ /ф' бх можно приблизить суммами Римана М вида ~»', /(хг) [ф(ху) — ф (ху !Ц. 1=! 6. Покажите, что если а=а(х, р) — любое распределение на нэ, то найдется таксе распределение /=/(х, у), что дх/=й.
Покажите, что / определяется однозначно с точностью до аддитивного распределения й, которое нв зависит от х в смысле замечания 4 этого параграфа. 7. Понажите, что если распределение /(х, д) на Нэ не зависит от х, то найдется такое распределение п(у) на И, что для любой пробной функции вида ф(х, у)=ф(х) )((р) С/, фг=аЩ ург (2.7.7) Гя. 2. Раелределвлия и их общие Еводсглва 8. Покажите, что если и=и(х, р] — любое рзспределение на Йз, то най дется такое распределение (=Г(х, р), что д„дк/=у; покажите, что Г" апреле ляется однозначно с точностью до адаитивйого распределения вида «з+Йвз где дт не зависит от х, а Ьт не зависит от у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
