Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

2.К ЗАМЕНА НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. СИММЕТРИИ Выражениям вида р (а (х)) можно придать смысл только при выполнении определенных условий. Если а — вещественная функция из С" на зс и уравнение у=а(х) имеет единственное решение х=~(у), также принадлежащее С", то для любой непрерывной функции ((т) ) ) (а (х)) гр (х) е(х = ~ г" (у) гр (р( (у)) ~ (5е (у) ) е(у. (2.8,1) Замечание. Функция йг (у) не может изменить знака, так что )р' (у) ) при всех у равен либо (з' (у), либо — р' (у).

Это равенство верно и для любого распределения Г(х) на зс, если определить распределение д(х) =) (а(х)) на Й как <а> Ч>= <1 Ф> зргр (2.8,2) где ф (у) = р Ф (у)) Р' (у) ! (2.8.3) (ф(у) является пробной функцией, если таковой является гр(х)).

Простейшим примером является распределение 6 (ах) =6 (х)А и (, где а(х)=ах, р(у)=у/а (а7ьО). Замечание. Если х — а (х) — взаимно однозначное отображение и на себя класса С", то обратное ему отображение у- (1(у) не обязательно принадлежит С", как показывает пример а (х) =х'. Обратимые преобразования переменных класса С" могут быть точно так же применены к распределениям, заданным па К», Вместо ((У ) в (2.8.3) появляется (l ), где У вЂ” якобиан обратного преобразования.

Если преобразованйе линейно, т. е. а (х) = =-Ах+х„н матрица А невырожденная, то <р" (а(х)), гр(х)>=(г(е1А /-'<((у), гр(А '(у — х,))>. (284) Для нас важны два следующих случая. (1) и=2 или 3, х,=О, а А является матрнцей вращения (следовательно, с(е1А=1). Тогда <)(Ах), гр(х)>=<р'(у), чз(А 'х)>. (2.8.5) Распределение р(Ак) получается из р(х) путем вращения в пространстве.

если р" (х) = р (х); где р (х) — плотность точечного заряда 2.9. Ограничению и предостережения в нуле, определенная в примере 4 пз 2 2.5, а именно р(х, у, г)=6(х) 6(у) 6(г), <р, р>= р(О, О, О), (2.8.5) то, как видно из последнего равенства, р(Ах) =р(х), т. е. это распределение сферически симметрично относительно нуля. Но нельзя утверждать, что любое сосредоточенное в нуле распределение обладает такой симметрией: ее нет, например, у мульти- польного распределения (2.5.5).

(2) и = 4, х, = О, а А — матрица преобразования Лоренца (снова т(е1А=!). В этом случае 7(Ах) получается из )(х) при помощи однородного преобразования Лоренца. Упражнение !. Поважатс, что распределение Р (А а), опрелеленвое в (2гкэ), ннварнантво отвос:пелена преоарааованна Лоренца. Если подстановка х и(х) не взаимно однозначна, или не определена на всем тс, или не отображает на все (й., то часто оказывается возможным дать специальные определения таким образом, чтобы при этом сохранились формальные правила действий. Например, Дирак определяет 6(х' — и') при а~О как ае! 1 6(х' — а')= 2(„! (6(х+а)+6(х — аЦ. (2.8.7) Если учесть, что при изменении х от — оо до оо величина у= = х* — иа изменяется от оо до — а' и затем проходит обратный путь до оо, то формальная подстановка у в ) 6(х' — ав)тр(х)дх дает 6 (ха — а') ср (х) с(х = 6(р) (тр (3/у+й)+~р( — )'у+а )) с ", (2.8.8) -а* что согласуется с (2.8.7).

2.Ъ. ОГРАНИЧЕНИЯ И ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЯ Распределения во многих отношениях напоминают обычные функции и подчиняются многим из обычных правил выполнения операций. В действительности для распределений многие огра- Гв. 2. РасиреЗееение и ие общие сеойсава ничения на эти правила отпадают. Например, каждое распределение можно дифференцировать и интегрировать, а интегрирование всегда есть обращение дифференцирования (обратное также верно) — в этом заключается основная теорема анализа распределений. Для распределений на Ее илв Е" операторы д„и д всегда перестановочны (см. пример ниже).

Как мы увидим чуть позже, для каждого распределения медленного роста существует преобразование Фурье, а для любых распределений 7 и и, одно из которых имеет компактный носитель, всегда существует свертка (ей; преобразования Фурье и свертки удовлетворяют всем обычным правилам. Уравнение Пуассона Уесс = — йпр на Ее пли в ограниченной области (е всегда может быть решено при помощи функции Грина для любого распределения р с компактным носителем и т. д. Еще более важно то, что теория распределений представляет собой очень естественный аппарат для изучения используемых в физике дифференциальных операторов, как мы увидим в гл.

10 и 11. В то же время теория распределений имеет определенные ограничения. Некоторые из них обсуждаются в этом параграфе. Необдуманная. манипуляция формулами здесь не менее опасна, чем в любом другом разделе математики или физики. Ограничения на <~, й> Если à — распределение, то значение <7, д> не всегда определяется: его можно определить как для пробной функции и, так и для некоторых функций или распределений и из более широких классов, чем С,".

Здесь в некотором смысле предельным является тот случай, когда Г и д принадлежат одному из пространств е.е, рассматриваемых в гл. 5: тогда <7, д> определено, а <1, д> †скалярн произведение, которое превращает й' в гильбертово пространство. Ограничения иа произведение г" (х) д(х) Если à — распределение, а д — функция класса С", то произведение ф(= ф) было определено в й 2.5: см. там пример 7. Для распределений 7" из некоторых классов произведение Гй имеет смысл, если функции или распределения д принадлежат более широкому классу, чем С". Здесь в некотором смысле предельным является тот случай, когда ) и д принадлежат пространству Ее: тогда произведение Я вполне определено как распределение (в общем случае оно принадлежит е.', а не Ее).

Если 7, и, Г' н р' все принадлежат 1Р (Е), то верна формула интегрирования по частям — см. гл, 5. Выражение (5(х))е не имеет смысла. г.й. Ограничения и нредаетереягения (Уграничения на /'(и (х)) Мы определили в Э 2.5 /(д(х)) в том случае, когда функция д(х) и обратная ей принадлежат классу С". Обобщения в этом направлении почти невозможны, за исключением тех случаев, когда д и / — обычные функции нлн / линейна.

Такие выражения, как 6(хг) и еы"', не имеют смысла. Нелинейные задачи В силу указанных выше ограничений распределения используются главным образом в линейном анализе, например при исследовании линейных дифференциальных уравнений нли линейных аспектов квантовой механики; их применение к нелинейным задачам может приводить к некоторой неопределенности.

Дифференциальное уравнение д,и+ид„и = О (2.9.1) для функции и(1, я) часто изучается как простейший прототип уравнений гндродинамики. Его решение за конечное время может стать из гладкого разрывным при образовании ударной волны. Для изучения таких решений уравнение (2.9.1) сначала персии. сывается в так называемой форме закона сохранения дги + д, ('/,и') = О; (2.9.2) назовем теперь функцию и(/, и) слабым решением этого уравнения, если ~ ~ (ид, р+ '/,и'д„гр) Л г(х = О (2.9.3) для всех пробных функций ер(1, х), (Тогда и(/, х) — такая функцвя, что обобщенная производная от и по / и обобщенная производная от и' по х удовлетворяют (2.9.2).) Известно, что слабые решения записанных в виде соответствующих законов сохранения уравнений гидродинамики отражают физическую реальность: в частности„в точках разрыва эти решения удовлетворяют так называемым условиям Ренкина — Гюгонио на фронте ударной волны.

Однако правильная форма закона сохранения определяется физическими соображениями: действительно, (2,9.1) можно записать также в виде д, ('/ги') + д„('/гп') = О, (2.9.4) но слабые решения этого уравнения не совпадают со слабыми решениями уравнения «2.9.2). Нет никаких, математических аргументов в пользу того, слабые решения какого из этих двух уравнений следует называть обобщенными решениями исходного Гл. 2. Распределения и ик общие свобства уравнения (2.9.1). Слабое решение уравнения (2.9.2) может совпадать со слабым решением уравнения (2.9.4) до появления разрывов (т.

е. до тех пор, пока они остаются обычными решениями) и отличаться от него после этого. Смешанные частные производные Следующий пример иллюстрирует то положение, согласно которому в общем случае не следует стреми~ься придать распределению значение в отдельной точке: Рассмотрим непрерывную функцию на кв, определенную следующим образом: ква — кив ~(х, у) =,, при х +у'ФО, 1 (О, 0) = О. Первые и вторые частные производные существуют в обычном смысле для всех х и всех у. В частности, д„1'= — у при х=О и всех у, д„~=+ х при у=О и всех х и поэтому двд ~= — 1 при х=у=О, д„д„1=+1 при х=у=О, тогда как распределения двд„Г' и дЩ равны (они являются одним и тем же распределением просто потому, что д„д„ср = д„д„со в обычном смысле для любой пробной Функции).

Распределению д„д„~ нельзя приписать никакого значения (ни +1, ни — 1) при х= = у=О, и это оказывается разумным для большинства приложений, потому что поведение функции д д г крайне сингулярно при стремлении точки (х, у) к точке (О, О) по любой прямой; отличной от координатных осей х и у. Идентификация функций с распределениями В ~~ 2.5 функция ~(х) отождествлялась с распределением ~, определенным как <г' ~>= ~ г'(х) г(х)дх Чср~С,", только тогда, когда существует интеграл в смысле Римана. Пусть теперь((х) — функция Кантора, которая будет описана в гл.!3: 1(х) непрерывна и возрастает от Г(0)=0 до Г(!)=1 таким образом, что ее производная Г' (х) существует почти ири всех х хЗ.

Ограничении и нредоегиереиеенин (т. е. везде, кроме множества меры нуль) и равна нулю там, где она существует. Положим ~ (х) = О при х < О и ~ (х) = 1 при х.,р 1. Тогда функция ~' (х) будет интегрируемой по Лебегу и $ !'(х)ер(х)е!х=О УерЕСе". Следовательно, если использовать интегралы Лебега, то распределение, отождествленное с )'(х), не будет совпадать с производной от распределения, отождествленного с ~(х). Не впадайте в мистику (1) В книге Дирака есть формула е! 1 Нх — „! и х = — — елб (х), которую он использует в теории столкновений. Эта формула, несомненно, должна рассматриваться при некоторых специальным ограничениях — иначе непонятен выбор коэффициента при 6 (х).

Характеристики

Список файлов книги