Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 13
Текст из файла (страница 13)
з)редваринзельные сведения: гл. 2, Хотя распределение не имеет определенного значенпя при конкретном значении х своего аргумента, можно рассматривать свойства распределения в любой произвольно малой окрестности х. Такие локальные свойства и обсуждаются в этой главе. ал. кРАткое ОписАние ОткРытых и ВАмкнутых мнОжестВ В и" Точка х88 называется анутреннсй точкой множества 8, если при некотором достаточно малом е) 0 шар В = (у: )~у — х) ( е) с центром в точке х и радиусом е лежит в 8 (т.
е. если каждая точка у шзра В принадлежит 8). Множество 8 называется открытым, если оио состоит из внутренних точек. Например, сам шар В является открытым множеством, потому что если у — любая ~очка В и е'=е — )у — х(~, то шар Вг=(х: )х — у) (е') лежит в В (см. рнс. 3.1). Рис. Зд, Открытые множества (см, текст). Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Замкнутый шар В=(у: 1у — х)(е) является замкнутым множеством (в него включены и точки поверхности). Множество 8 замкнуто, если его дополнение К" — 8 открыто, 8.1.
Оыкрмныгв и юамкнупы»в мнем»сима в»с» и наоборот. Множество 8 вместе со всеми своими предельными точками образует замкнутое множество, которое называется за мыканием 8 и обозначается через 8. Если 8 само замкнуто, то 8 = 8. Упражнения 1. Понажнте, что если /(х) — непрерывная вещественная функция на Наа то множества (х: /(х) > О), [х: /(х) ж О), (х: а </(х) < Ь) являются открытыми, тогда как ыножества (х: /(х) ~ О), (х: / (х) = О), (х: а ~ / (х) ~ Ь) замкнуты. Объедняение произвольной совокупности открытых множеств открыто, там же как и пересечение конечного числа открьгп»х множеств. В соответствующни утв рждениях о вамннутых множествах слова епроизвольная» н аконечное» дол кпы быть переставлены. 2, /(окажите предыдущие утверждения и рассмотрите объединения и пересе чсния следуюпщх совокупностей ивтервалов на и (в каждом случае Ь= 1, 2, „.)» ( Ц ) х ! < 1 — 1/Ь, (2) ! х [ ~ 1 — 1/д (3) ) х ! < ! + 1//г, (4) ! х ! ~ 1 + 1/Ь.
Для любой функции / замыкание множества (х: /(х)чь0) называется носителем / и обозначается через зцрр/. Согласно теореме Больцано — Вейерштрасса, из любой последовательности (х ),", принадлежащей ограниченному множеству 8 из »с",можно выбрать сходящуюся подпоследовательиость; если 8 к тому же замкнуто, то предел этой подпоследовательности принадлежит 8. Для любого множества 8 совокупность открытых множеств «(), (2', ()", ...) (она может быть бесконечной или даже несчетйойс) называется открытым покрыл!ием 8, если каждая точка я из 8 принадлежит хотя бы одному из множеств этой совокупности. Далее, если 8 — замкнутое ограниченное множество в Р*, го, согласно теореме Гейне — Бореля, из каждого покрытия можно выделить конечную совокупность, которая также покроет 8 и которую мы обозначим как «Йг: 1=1, ..., /»/); это означает, что каждая точка из 8 принадлежит хотя бы одному из множеств ()1 (1=1, ..., й/).
(Число 1!/ в общем случае зависит для данного множества 8 от выбранного открытого покрытия.) [)о поводу сказанного выше см. книгу Натансона (!950«, где, однако, последняя теорема называется теоремой Бореля о покрытиях. [В любом топологическом пространстве множество К называется компактным, если оно обладает указанным выше свойством, а именно если из каждого открытого покрытия К можно выделить конечное его покрытие; множество К называется секвенци алька компактным, если каждая последовательность из К содержит сходящуюся подпоследовательность, предел которой принад- Гл, А Локальные свойства Песин«о«лений лежит К. Для любого метрического пространства оба эти понятия эквивалентны.
В Д" множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.] Лемма 1. Если К вЂ” замкнутое ограниченное множество в Е», входящее в открьипое множество й, пго расспгояние д от К до дополнения й положительно, т. е. в й вокруг К имеется окайм гение, ширина которого нигде не меньше с(. Доказательство. Расстояние В определяется так! В=!п! ((х — у(г х Е К, у(0». !3.!.!! Предположим, что в=о. Тогда найдется такая последовательность (хд из К, для которой расстояние между К и дополнением и гг стрчмится к нули» Согласно теореме Больдагго — Бейарштрасса, из (хг) можно выделить сходяшуюгя подпоследоватсльность, предел которой принадлежит К и тем самым О, ио пс является внутренней точкой для гг, однако зто противоречит прсдположеиню о том, что Л вЂ открыт множество, Лемма 2. Если ограниченное замкнутое множество К лежит в открытом множестве й, то всегда нийдется тикое пролгежуточное открытое множество й', которое пгокже содеряит К и замыкание ()' которого содержится в О.
доказательство. Множество и'=(х: расстояние (х, К! < г/»гг)р где в определено согласно (3,1.!), обладает нужным свойством. за. ОпРеделение ПОндльных свОйсте Если Г и д — обычные функции на Е" и 8 — произвольное мно1кество в !К", то утверждение «Г=д на 8», очевидно,.означает, что»(х) =д(х) для каждого х из 8.
Если ) и д — распределении, то для произвольного множества 8 такое утверждение сделать нельзя (в частности, нельзя, когда 8 состоит всего из одной точки), но для открытого множества этому утверждению можно придать вполне определенный смысл. Определение 1. Если ( и д — распределения на Е» и й — любое открытое множество в Еч, то утверждение «~=Квай'» означает, что <Г, гр> = <д, гр> для каждой пробной функции гр, носитель которой лежит в й.
Определение 2, Если Г и у — вегдественные распределения, то утверждение «~)д на Й» означает, что <1, гр>=э<у, гр> для каждой неотрицательной пробной функции р, носитель которой лежит в О. 8.2. Определенна локальных гаоесюа ' Заметим, что так как носитель любой такой заданной функции ф является замкнутым множеством, а Й вЂ” открытое множество, то, согласно лемме 1 из предыдущего параграфа, в ь) всегда имеется окаймление, отделяющее носитель ф от границы Й.
В предьщущих утверждениях ничего не говорится об / и д на окаймлении, однако каждая точка окаймления принадлежит носителю некоторой другой пробной функции ф, лежащему в Й. Уместность приведенных выше определений будет ясна нз теорем этой главы; в частности, их согласовайность с привычными представлениями об обычных функциях видна нз теорем 1 и 2 (см. ниже).
Теорема 1. Если / и й — нспрерывньш функции /(х) и д(х), рассматриваемые как распределения, то /=у на й в смысле опрепсления 1 тогда и только тогда, когда /(х) = д(х) при всех х ив (1. Доклзлтнльстно. Достаточность очевидна. Для доказательства необходимости предположим противное, а именно что /(ха) ~ л(ха) при некотором хэ нз П; тогда либо Не /(ха) ~ йе г(ха), либо 1ш/(ха) Ф 1ш д(ха); мы будем считать, что верно .первое.
В этом случае в некоторой окрестности Яа точки ха разность йе/(х) — йег(х) не меняет знака; пусть ф(х) — пробная функция, которая неотрицательна при всех х, больше нуля при х=ха и имеет носитель, лежащи6 в Иа; тогда величина Ке(ф, / — «)= ~ ... ) ф(х) Ке(/(х) — а(х))вхг..Ах» отлична от нуля, но это противоречит предположению о том, что /=й на П. Теорема 2 (ее доказательство теперь очевидно). Если / и д— непрерывные веи(ественные функции, то /~д на Й в смысле определения 2 тогда и только тогда, когда / (х) ) д (х) для всех х из ь1.
Примвны Распределение 6(х — хэ) (а также 6' (х — г,), 6'(х — ха) и т. д,) на и равно нулю на любом открытом интервале, не содержащем точну хэ. Далее, 6 (к — ха) гн О на любом интервале, тогда как 6' (х — ха), 6'(х — ха) и т, д. не обладают этим свойством на интервале, содержащем точку х,. Чтобы показать, что этн определения имеют действительно локальный характср, нужно доказать, что если Й вЂ” объединение двух или более открытых множеств ь)м ()а, ..., то / =й на ь) (или /)д на ЬГ) тогда и только тогда, когда /=д (или /)д) на каждом Яг в отдельности, То, что это не совсем тривиально, видно из рассмотрения двух перекрывающихся множеств Пг и я, Если ф — пробная функция, носитель которой лежит в Я,()йз, но не лежит целиком только в одном из множеств 1)г (см.
рис. 3.2), то для получения равенства С/, ф) =сй, ф) из предположения о том, что /=й иа каждом Яь необходимо представить ф как ф=фг+фе, где ф, и фэ — пробные функции, носители которых целиком лежат соответствеяно в Ра, и в ()а. Тогда равенство с/, ф) = <д, ф) будет следовать нз того, что ч/, фг)=(д, ф;) (1=1, 2), в силу ли- Гл. 3.
Локальные свойсжва распределений нейностн функцноналов сй ) н (й, ). такие разложения пробных функций н связанные с этны обстоятельства рассматриваются в следуюшнх двух пара. графах. носиогель функщ р ~я Рнс. Злд Поврытне компактного ьгножества двумя открыплмя множествами. 3.3. ТЕОРЕМА ОБ ОТКРЫТЫХ ПОКРЫТИЯХ Очевидно, если два открытых множества перекрываются, то онн перекрываются краями и эти края всегда можно слегка стянуть без изменения объединения этих множеств: см. рис.
З.З. Это утверждение, обобщенное подходящим образом, будет сейчас доказано. Ряс. 3.3. Уменьшение перекрытия. Слева — исходные маожества, спраьа — мно. жества после уменьшения перекрытия. Теорема 1 (принцип стягивания). Пусть 7 — замкнутое множество в гск (возможно, все Нл). Пусть 1ье,.'1 — счетная 1т. е. конечная или счетно бгсконечная) совокупность открытых ограниченных множеств, которая покрьсвает 2, т. е. токая, чпго 7 ~ ~ 0 йс 1'см.
рис. 3.4). Тогда можно слегка стянуть все множества с без того, чтобы получившаяся при этом совокупность перестала бить покрытием с. Точнее, найдется такая совокупность 1ьс;1 открытых множеств, чпю замыкание ьл множества Й; содержится в соответствующем й, при каждом 1, и при атом 7. с: 11 ьс,ь 8лц Теоремы о пробных»пункция». Разбиения границы. бу Докдздтальство. Сначала заметим, что пересечение 3 с дополнением множества () й» (здесь отброшено й,) представляет собой ограниченное заик. г=з нутое множество Кь лежашее в й». (з!ножество К» — вто та часть и, которач покрывается множеством й» и только им из всех йб см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
