Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Зто означает, что функция ф нз С" принадлежит У, если существуют такие постоянные Крь, что )кргр'ь') < К,„при р, А=О, 1, ... и при всех х. (4.!.1) Другими словами, при любых р и й зн р ) хрг лго (х) ) < оо, к 4,2, Распределения медленного роеога Для распределений медленного роста на Й» пространство у'(ия) определяется аналогично: последнее неравенство должно быть заменено на следующее: 1 да + ° ° ° +ал зцр~ '~,х(г1,, ф(х) (оо (4.1.3) при всех р н )с.
(В обоих случаях супремум в действительности является максимумом: из ограниченности функции хи+'4»' следует, что хрф'а>- О при х- + оо.) адь РАслРеделення медленнОГО РОстА Теперь определим распределения медленного роста на ас (обобщение на случай гс» будет очевидным). Определение 1 (сходимость в т). Если ф и фл (1 = 1, 2, ...)— пробные функции (из С„" ила из т"), то фу- ф, если для всех р и й зцр(хл (ф)ло (х) — фв'(х))~ — О при 1- оо.
(4.2,1) Нетрудно видеть, что это эквивалентно следующим двум условиям: (1) существуют такие постоянные К',», что (хмф,' '(х)~ < Кеа при р, й=О, 1, ... и при всех.х, (4.2.2) причем К'„не зависит от 1, и (2) при /- оо функции ф11 '(х) сходятся к т)да'(х) равномерно по х на Й для каждого й. УПРАЖНЕНИЕ 1. Покажите, вто вти условия вквивалеитиы (4.2.1). Замечание, Легко проверить, что при любых р и й функция дее )1 ф (! = зцр ) кецба" (х) ( (4,2,3) обладает всеми свойствами нормы.
Такие нормы определяюттопологию в пространстве Р', н (4.2.1) показывает, что сходимость— является сходимостью относительно этой топологии, т. е. (4.2.1) эквивалентно тому, что 1фу — ф)ра О при 1- оо для всех р, й. (4.2.4) Пространство С," плотно в и, т.е. для фЕ 2' найдется такая последовательность «ф,) нз С,",, что ф Гл. 4. Раснрсделенпя медленноео роста Определение 2. Распределение медленного роста ) на К является линейным функционалом на К = у' ((с), непрерывным относительно только что указанной сходимости: это означает, что (~, гр >- <~, ф>, если фу — ф. Ю ~Р Из сходимости фу — ф для функций из С," следует, что фг ф, и поэтому если 1 — распределение медленного роста, то ограничение <у, > на С," представляет собой распределение в смысле гл.
2. Приведенное ниже упражнение показывает, что если два распределения медленного роста совпадают на С,", то они совпадают и на всем к'. Поэтому распределение медленного роста у можно идентифицировать с его ограничением на С,", а распределение у в смысле гл.
2 можно назвать «медленно растущим», если функционал <у, > допускает расширение на К, непрерывное относительно сходимости в У. Уполжнвнив 1. Пусть ф — любая фуннцня нз 'ет«, а ф — такая функция на С,", чло и ф(0)=1, н пусть ф (х)=ф(к) ф(ех), Тогда ф,СС»". Покажите, что ф ф прн е — » О, н тем самым покажите, что сслк 1 — распределенне медленного роста, то Гр, ф>= 1(т Сг, Ее>, е-о 4.3. РОСТ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ Распределения медленного роста характеризуются тем, что они имеют медленный рост на бесконечности. Говорят, что вещественная функция 1(х) имеет медленный рост, если существуют такие положительные постоянные Х и Р, что — (х(е-- )(х)<)х!» при х< — Х и при х> Х, Это утверждение (в котором говорится только, что (((х) (()х(е при (х):» Х) сформулировано так, чтобы его обобщение для распределений было вполне понятным, хотя пока в этом утверждении и нет ничего такого, что ассоциировалось бы с распределениями медленного роста.
Чтобы сделать такое обобщение, введем )о — результат сглаживания распределения ) на расстоянии 6 под действием оператора сглаживания, как было объяснено в й 2.6. Тогда результат Шварца состоит в токи, что ( будет распределением медленного роста тогда н только тогда, когда функция уо(х) имеет медленный рост на ~ оо при каждом положительном б. 4,4.
!)реобралавание Фурье на ете Далее (Шварц, с. 95), ) будет распределением медленного роста тогда и только тогда, когда найдутся такие целые положительные р и й, что р является производной порядка р от непрерывной функции д(х), которая есть 0((х~а) при х- .+ оо. ПРИМЕР ! Функция е" ве является распределением медленного роста, потому что она слишком быстро аозраетаег на +го и сглаживание не может подавить зтот рост. Однако ел соз (ез) — распределение медленного роста.
Хотя ага функция и не имеет медленного роста, но ее сглаживание (пусть сколь угодно малое), путем усреднения уменьшает порядок роста из.за взаимного уничтожения поло жительных и отрицательных вариаций функции при больших положительных «! отметим, что зта функция является производной от ограниченной функции шп (ел).' 4 Е ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ НА еУ Пусть функция ф принадлежит множеству У= 'г" (к). 13десь также будет ясно, как получается обобщение для пробных функций иа зт".1 Так как ф(х) О при х- ~оо быстрее любой отрицательной степени х, ясно, что пзеобразованне Фурье ! ф (и) = = ( ф (х) е-'а" т(х Р 2к,) (4.4.1) существует для всех вещественных у.
Аналогично для любого целого д ) О интеграл г гете = ( — йх)еф(х)е-!а*а(х= ~ — у! ф(у) (4.4.2) )Гйп ~еуу 1(гу)г ф(у)! = — ~ ф!Рг(х)е-гк г(х ( Р'2п (= ( (ф'Р'(х) )дх < оо, )ггйп,) существует для всех вещественных д. (Указанное дифференцирова« ние функции (4.4.!) Может быть выполнено под знаком интеграла, потому что получающаяся при этом подынтегральная функция, которая стоит в (4.4.2), непрерывна и быстро стремится к нулю на бесконечности.1 Поэтому функция ф(у) принадлежит С" по у.
Точно так же для любого целого р) О Гл. д. Распределение агдленного реглан т. е. гр(у)- О при у- ~оо быстрее любой отрицательной степени у. Наконец, ( рл гре (у) ) — ( ) хегр'л' (х) ( г(х оо; )гхя .! следовательно, преобразование Фурье любой функции из Р является функцией из т". Теперь обоснуем известную формулу обращения (4.4.1), а именно р()== " р(р) '"" Ь =) хл. (4.4.3) путем модификации метода Фейера (1904 г.) для рядов Фурье. Правая часть последнего равенства равна и г1цп = 3! гр (у) егг' (1 — ~ ~! г(у = и рли л / -л и — '-К ) *"'""'~"" ( — ' ) л 2~т,~ т л г лл 1х — х')3 -л Согласно (2.6.5), эти функции сходятся к 6(х — х') при л- оо, откуда и следует (4.4.3).
Итак, преобразование Фурье функций гр, рассматриваемое как оператор, отображает пространство г" пробных функций на себя. Это отображение непрерывно: 9' а Теорема. Если <р,— ф, то ср„- ф. ДохлэлтвЛЬСтВО. Без потери общности можно положить й=Ч.=О.
Тогда доказательство сводится к следующему: Утверждение 1. Если последовательность (т„) такова, что у„0, то зцр)у„(у)( О. Здесь можно изменить порядок интегрирования, потому что модуль подынтегрального выражения интегрируем на указанных интервалах и результат такого интегрирования конечен. Далее Еоп Преобранованае Фурье распределения кьедкенноео росьла Для доказательства этого вспомним, что, согласно определению сходимости в У, зпр(хна'(х))- О. Положив й=О, а у=О к и 2, получим, что а„= зпр) (1+х') )(„(х) ~ — О; к поэтому 1 и 1)(, (у) ) = — ~ е-век)(„(х) ь)х (= ~ —" е(х О. Третий член этой цепочки не зависит от у, откуда и следует утверждение 1.
Утверждение 2, Из предположения ьр, — О вытекает, что при любых р н 1г также и херов (х) — О. Чтобы показать это, продифференцируем 1 раз функцию хньр'ь'(х) и умиожнм результат на х', считая при этом 1 и е любыми; тогда получится конечная линейная комбинация членов, равномерно стремяшихся к пулю, что и доказывает наше утверждение. Теперь заметим, что уььр'„о'(у) представляет собой (за исключением множителя 1 в некоторой степени) преобразование Фурье ее1 функции Х„(х)=хрьрм'(х), а последовательность этих функций всегда сходится к нулю в г' согласно утверждению 2.
Тогда в силу утверждения 1зпр)уьер'„о'(у) )- О, т. е. ьр„- О, что и требовалось доказать. 4.$. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ МЕДЛЕННОГО РОСТА Пусть сначала 1(х) будет непрерывной функцией, преобразование Фурье 1(у) которой существует в обычном смысле и непрерывно (например, 1 можно взять нз т). Рассматриваемые как распределения 1 н 1 являются функционалами <1, ьр> н <1, ьр> соответственно; связь между ними устанавливается с помощью равенства Парсеваля, одна из форм которого имеет вид <1, ьр> = ( 1(х) ср(х)ь)х = ( 1(х) = ( ьр(у) е'в' с(ус(х = р' ел .) ~ 1(х) е'оке(хьр(у)с(у = ~ 1(у) ьр(у)е(у= = <1', р>. (4.5,1) Гл.
4. Распределения медленнаса раста По аналогии с этим определим и преобразование Фурье рас- пределения медленного роста: Определение. Если à — любое распределение медленного роста, то его преобразование Фурье 1 представляет собой распределение (функционал), определяемое как <~, ср>=-<~, сс> для всех ср из К. ну' Если ср„(п=1, 2, ...) и ф — пробные функции и срн ф, ну*- то ср„- ф, и наоборот согласно теореме из предыдущего параграфа. Но тогда <~, сс„>- <~, ф>, поскольку ~ — распределение медленного роста, и поэтому <Г, ссн> — <~, ф>, откуда следует, что преобразование Фурье распределения медленного роста является распределением медленного роста. Если преобразование Фурье применить к распределению медленного роста Г дважды, то в результате получится распределение ~, для которого !т(х)=Г'( — х), так как ясно, что р(х) = = ср( — х), и поэтому <г, ср) =<!, ср) = <!, ср) =<1(х), <р( — х)), а последнее выражение равно <1( — х), сс(х)> согласно правилу замены независимой переменной в распредсллении — см, 2 2,8.
Из приведенного выше определения следует, что если г„:- в смысле сходимости распределений, то ~„- )з в том же смысле. Иначе говоря, преобразование Фурье является непрерывным отображением в К'. Полная картина для п-мерного случая получается путем очевидного,обобщения, начиная с пространства У'(Вн) пробных функций, описанного в конце 5 4.!. Функция ~(х) имеет медленный рост, если она ограничена постоянной плюс ~~х)н при некотором р.
Приведенные в ~ 4.3 результаты Шварца обобщаются следующим образом: 1. Распределение ~ на Ен будет медленно растущим тогда и только тогда, когда льà — функция медленного роста при каждом б)0. 2. Распределение ~ будет медленно растущим тогда и только тогда, когда оно является частной производной (чнстой или смешанной) от некоторой непрерывной функции медленного роста. Следствие, Если 0н) — любая производная от распределения Г', то Е!и!' будеп1 распределением медленного роста тогда и только тогда, когда втил~ свойсспвом обладает !".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
