Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 19
Текст из файла (страница 19)
б. Пространслзва (.а вольтметра, (На практике к источнику необходимо подсоединять осциллятор для обеспечения синхронизации.) Поскольку идеальный вольтметр переменного тока показывает значения корня квадратного из усредненного напряжения, приложенного к нему Рнс. В.!. Принципиальная схема среднекгадратнчпого фурье-аналнза. 1 — нсточпнк неизвестного периодического сигнала; у — вольтметр; а — генератор гарно.
ннк; 4 — регуляторы амплнтуды; б — регуляторы фазы; б — осцнллятор. (равиого здесь ) (1) — я(1)), указанная настройка такова, что минимизируется интеграл ~ ~ ~ (1) — а (1) ~' (1, в котором интегрирование осуществляется на интервале, равном периоду, т. е, 1(1) аппроксимируется в среднем функцией (5.2.!). Аппроксимация и сходимость в среднем уместны для многих физических приложений, потому что (как и в данном примере) энергия или мощность являются квадратичными выражениями от некоторых функций, выражающих основные переменные.
$.3 ПРОСТРАНСТВА уз (Ил) И Ее (()) Определим на пространстве всех пробных функций Св" (мл) скалярное произведение (<р, тр) = ~ ... ~ ф(х)ф(х) Ыхт...г(хл (5.3.1) и норму )гр'1=(зр, гр)'1', называемую (.з-норлгой. Для дальнейшего заметвм, что интеграл (5.3.1) сходится, если гр и ф — произвольные квадратично интегрируемые непрерывные функции (потому что в этом случае выполняется неравенство 1Цварца), и что так определенное выражение (чз, ф) обладает всеьщ свойствами скалярного произведении, В.З.
Пространства ЕЛ(ц") и й'(й) С этим скалярным произведением и с этой нормой С," является так называемым пространством со скалярным произведением или предгильбертовым пространством, и мы хотим добавить к нему достаточное количество функций и других распределений с тем, чтобы сделать его полным, а значит, гильбертовым пространством.
Мы увидим (см. ниже теорему 2), что в результате получится пространство, содержащее, в частности, все квадратично интегрируемые непрерывные функции и потому подходящее для квантовой механики в качестве гильбертова пространства волновых функций. Замечание о пополнении метрических пространств. Пространство С," с определенной на нем Р-нормой ~ ! служит примером линейного нормированного пространства, а любое линейное нормированное пространство представляет собой пример метрического пространства. В метрическом пространстве имеется определенная на нем функция расстояния или метрика с((х, у), такая, что для всех точек х, у, г (!) с((х, у)=с((у, х); (2) с((х, г) ( в.'с((х, у)+с((у, г); (3) й(х, у) > 0 для хару; (4) й(х, х)=-0.
В нормированном линейном пространстве й(х, у)=(х — у!. Последовательность (хг) точек метрического пространства называется последовательностью Коши, если й (х, у„) — 0 прн независимом стремлении ! и й к о; она называется сходяи)ейся, если найдется такая точка у (предел последовательности), что с((х, у) — 0 при (- оо.
Пространство полно, если любая последовательность Коши сходится, т. е. имеет предел. Одна очень общая теорема утверждает, что любое метрическое пространство 5 можно сделать полным путем добавления к нему некоторых так называемых идеальных элементов или точек (в точности так, как иррациональные чнсла добавляются к рациональным для получения системы вещественных чисел). Каждая идеальная точка определяется как класс эквивалентности последовательностей Коши точек из 5, в результате же получается полное пространство 5,, в которое 5 вложено плотно.
Более того, такое пополнение единственно в том смысле, что если 5,— другое полное пространство, в которое плотно вложено 5, то 5, и 5о изоморфны. Аналогичным образом могут быть пополнены некоторые более общие топологические пространства, так называемые равномерные прострзнства (см. Трон [!9661), В рассматриваемой нами ситуации нет необходимости для пополнения С„" строить идеальные элементы, потому что нужные обьекты уже имеются — это распределения.
Однако некоторые приемы, связанные с обычной теоремой о пополнении, все же используются в доказательстве теоремы ! этого параграфа. [В этой главе все функции комплекснозначны. Соответствующая модификация теории на случай вещественнозначных фуик- вв Гл. В. Просшраяанва Ев ций, при помощи которой получаются пространства Ья вещественных распределений, очевидна.1 Как и в любом нормированном пространстве (не обязательно полном), из неравенства треугольника, записанного в виде !", ф») †/$ф,»/я </ф» — ф,»!, следует, что если (ф»» †последовательность Коши, то (!!ф»)!» — числовая последовательность Коши, а значит, имеет предел, несмотря на то, что (ф»» может н не иметь предела в данном пространстве по (.я-норме, если пространство пе является полным.
Кроме того, если (ф»» — последовательность Коши в С,",, то 1пп(ф, ф») суптествует для нсех » пробных функпий ф (независнмо от того, имеет ли последовательность (ф»» предел в С," илн пег), потому что прн любой заданной ф »(ф, ср») — (тР, ср )»= !(ф, ф» — ср )»~ ,'/ф/!)/ф» — ф,( — О, когда и, Е- оо; следовательно, ((тр, ср )» — числовая послЕдовательность Коши. Очевидно, что ее предел полулинееп по тр и поэтому определяет распределение 1 уравнением ((, тр)=!!ш(ф, ф,) для всех тр из С,". (5.3.2) Лемма.
Две последовательности Коши (ф»» и (ф»» определяют одно и то эке распределение тогда и только тогда, когда они эквивалентна. »Последовательности называются эквивалентными, если !ф„— ф„»- О при и- со.) Доклзлтильство. Для эквивалентных последовательностей !И, р,) — (ф, р„)1~(ф1!!ф» — р,!! о нри» ы, и поэтому сан оирсделяютодно и то же распределение. Обратно, если (ф Х»)- 0 для люботс ф н Х» =ф» — ф», то и 1х»р=вш(х х»)=иш(х» — ф хя)~иш)х» — р11х»1. Последовательность (!!Х»1) — имеет предел, потому что (Х») — иослсдавательиесть Копи, (х» — ф) — также последовательность Коши, так что и ()х» — чр)) имеет нредел. Поэтому (иш)х» !р ~(!!ш!)х» — "рй (иш(х»)) и, следовательно, йш1х» !! ~ иш)х» — 'т). Однако правую часть этого неравенства можно сделать сколь угодно малой,. ваяв ф=Х» с достаточно большим ла.
Поэтому Х» — О по норме, т. е, эти две последовательности эквивалентны. Определение. Пространство Ея(тся) есть множество всех распределений, определяемых последовательностями Коши из С,", со скалярным произведением К и)= 1)ш (ф„, р»), а,з. просараяслма п(пл! и !.~(п) где (~рь) и (4„) — последовательности Коши, определяющие распределения ~ и д соответственно. Из непрерывности скалярного произведения (неравенства Шварца) с очевидностью следует, что этот предел всегда существует и не меняется при замене последовательностей Коши эквивалентными им последовательностями.
Как следствие (5.3,3) получается (1) (= !(т ()сг„(. (5.3,4) Очевидно, что так определенное скалярное произведение (7,д) линейно по и, эрмитово симметрично и положительно определенно, т. е. 1.'(Е") — пространство со скалярным произведением, Так как элементы этого пространства являются распределениями, они имеют интегралы, производные и те локальные свойства, которые описаны в гл.
и и 3. Ясно, что если (ЕР и св — пробная функция, то (~, Ч~>=К ч). Тогда нз непрерывности скалярного произведения следует, что если ~~- ) по (.'-норме, то )~- ! и в смысле сходимости распределений. Интуитивно ясно, что элементы !.'(Е") являются распределениями медленного роста, потому что их рост на бесконечности в некотором смысле ограничен квадратичной интегрируемостькь Чтобы доказать это, заметим прежде всего, что для (~й' определение распределения <Г, р> можно распространить на все ~рЕ У', просто полагая его равным (г, ф.
Следовательно, мы должны показать, что если ч~ сходится к ф в смысле сходимостн в У, то (~, р )- К 1)~), но это очевидно, потому что хи р ! х !' ! ~рз (х) — ф (х) ! — 0 при л- оо для любого '(, а значит, ) ! Чь(х) — ф(х) !'сРх — О, т. е. сгз сходится к чр в (.2; следовательно, (!', ~рь) — Ц, 1р), поскольку скалярное произведение непрерывно в (.'. Таким образом, Г является распределением медленного роста. Замечания. Если ~ и д оба оказались элементами исходного пространства С,", то новое скалярное произведение, определенное равенством (5.3.3), совпадает со старым скалярным произведением в С,", потому что в этом случае можно взять (ч~ь) = ...) и (4з) = (д, д, я, ...), так что величина (~рь, 1ъ) равна старому скалярному произведению для всех й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
