Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Аналогичное замечание справедливо н по отношению к новой норме, определенной формулой (5,3.4). 4$ 100 Гл. 5. Просшрансшза !.з Теорема П Пространство 1.а = 1.э (К") полно (т. е. гильбертово). Замечание. Если / определяется последовательностью Коши (ф»), то / — ф для любого т определяется последовательностью Коши (ф» — гр„: й= !, 2, ...). Тогда'в силу (5.3.4) (! / — ф„! — О п ри т со, т. е. последовательность Коши (гр„) имеет предел в Е'(равный /). Теперь нужно показать, что любая последовательность Коши (1») из Ез, не обязательно из С,", также имеет предел в Аз.
Доила»тнльство. Предположим, что (/»)-последовательность', Коши элементов пространства С'. Найдем (фаатнческн построим) такой элемент что ~,'/» — е!! — е 0 прн » — ~ се. Возьмем сначала Ве1 бу — — зпр !!/» — /у) (/=1, 2, ...) (5.3.5) » > у н ааметим, что бу — ~ 0 прн у се. Каждое /у — распределение, определяемое последовательностью Коши (фд ~.' 1=1. 2, ...) фуннпий нз Сз. Пусть У(у) для каждого / заково, что !! фу, г — фу,,„!! < бу если 1, гл ~ У Ц), (5.3.6) в, кроме того, У (/+1) ) У (у).
Из (5.3.6) следует, что в пределе прн м — ео !!фу,! — /у!!~ бу, если 1~ У (/), (5.3.7) потому что фу м — /у по приведенному выше замечанию. Теперь покажем, что если положйть фу=фу Удуь то (фу) — последовательность Коши (элемен- тов сз), определяющая искомый элемент еЕсз. В самом деле, для» > 1 !!ф» — фу!!~!!ф»,ла>-фу,ыа1!!+!!фу.наь — фу,ней (536) второе слагаемое справа меньше бу в силу (5.3.6), тах нан У(й))У(/), а первое слагаемое не превышает величины !!ф», У~в — /»!!+Ъ!фУ, У~»1 — Ь~ !!+!! /У-/» $ меньшей б»+бу+бу по дважды примененному условию (5.3.7) и по (5.3.5).
Поэтому !! 1р» — фу !! ~ збу+6» — ~ 0 при /, й — со, тах что рф») — последовательность Коши в С,",. Если и — элемент простран- ства Сз, определяемый втой последовательностью, то !!/» — и!!~)!/» — ф», уаь$+!!ф»-6$ (потому что ф» у<»>— - ф»); при й- со псрвый член в'правой части этого неравенства стремится н нулю по (5.3.7), а второй член стремится н нулю согласно замечанию.
Поэтому /» — и, что и требовалось доказать; следова- тельно, Е'(Ил) †полн пространство. Теорема 2. Любая квадратично инупегрируемая непрерывная функция на гса принадлежит 1з(!ка). Док»злтнльство. Предположим, что /(х) непрерывна и ~ !/(х) !'г/ах < со, й(в 6.3. //рогшрлнсшво Ез(йв) и Еа((э) 1О1 Этот интеграл мы, как обычно, обозначим через ()/ 1'. Согласно замечанию (после теоремы 1) и определению Е', распределение / принадлежит пространству Еа, если оно определяется последовательностью Коши (фа) функций нз Св", а в атом случае фа / по Е'-норме. Значит, чтобы показать, что /(х)ЕЕа, нужно найти такую последовательность (фа), что ((/ — фа( — «О прн й ае (см.
замечание 2 ниже), т. е. нужно показать, что для любого в > 0 найдется такая функция фЕС,, что (1/ — ф(< . (5.3.10) Г(усть функция /я(х)=/(х) при (х)~)г и /я(х)=0 при (х( > )г. Если /с достаточно велико, то(/ — /а) < т/зв, потому что) / — /яр означает вклад области (х( > )1 в сходящийся интеграл (5.3.9). Обозначим' через / б результат сглаживания функции /Л операторолг сглаи иванна вб ширины 6 (см, й 2.5).
Так как /(х) непрерывна на компактном множестве (х(вК/г, величина Мб — знр (1 / [х) — / (к+ у) ): ( х ( /( — 6, ( у ( ч:. 6) стрематся и нулю при 6 — О. Поэте«~у , (Х) — /я(Х) (~ Мб Прн (Х ~ ч= Д« — 6, / б(х) =/л(х)=0 при ) х( > )(«+6. Поскольку, кроме того, / б и /я обе ограничены на тонкой сферической оболочке Л вЂ” 6 < (х( < Я+6, ясно, что дли достаточно малого 6 получим 1/л б — /л( < ~/а в.
Если взЯть ф (х) /д, б (х) то (53.!0) будет выполнено, т. е. /ЕЕа, как и утверждалось. Замечание 1. Скалярное произведение квадратично интегрируемых функций / и д как элементов пространства Еа было определено при помощи аппроксимирующих пробных функций формулой (5.3.3), однако ясно, что оно может быть задано также и при помощи знакомого выражения (/, ег) = 3 /(х)ег(х) г(чх, Еа потому что нз (5.3.1) и неравенства Шварца (примененного к функциям) следует, что (гра, ф ) сходится к этому интегралу при й — оо. Замечание 2. Если (тра) — последовательность непрерывных функций, сходящаяся в Е' к непрерывной функции /, то она является последовательностью Коши, потому что для интегралов от непрерывных функций на вс««выполняются неравенство Шварца н неРавенство тРеУголы1нка, и, слеДовательно, ~~фа — гР,,'~~ < 1! фа — /)+)фг — й.
Если обозначить через С'ю пространство непрерывных квадратично интегрируемых функций, то доказанное можно выразить так: Са" с Сга' с/.аа юсг Ги з. г«р««стр««нг«««в««Е» причем оба-вложення плотны, потому что любое Г нз Е' можно сколь угодно точно аппроксимировать (в Е') пробными функ. цнямн. Замечание 3. Нетрудно убедиться в том, что если бы элементы последовательности Коши («р»««, определяющей распределение Г из Е', принадлежали только У', а не обязательно С„", то в результате получилось бы то же самое пространство Е', вообще в качестве «р» можно было бы взять любые квадратнчно интегрируемые непрерывные функции.
Следовательно, Е* можно рассматривать как пополнение относительна Е'-нормы любого нз пространств С,", У, С"', т. е. как наименьшее полное пространство, содержащее С,", д' нли С'»'. Замечание 4. Если квадратично интегрируемые непрерывные функция )»(х) сходятся в Е' при й о«, а также сходятся равномерно, то оба предела совпадают, т. е.
предел в Е' — это такое распределение, которое отождествляется с непрерывной функцией !(ш (» (х). [В Е' есть и другие функции, такие, например, как !х~- ы е-!" ! в одномерном случае. Воли, как и во многих книгах, используется интеграл Лебега, то Е' содержит все измеримые и квадратично интегрируемые по Лебегу функции, однако взаимно однозначное соответствие мея«ду функциями н элементами Е' теряется, и каждый элемент нз Е* является бесконечным классом эквивалентности таких функцнй, любые две нз которых (из одного класса) различаются только на произвольном множестве меры нуль.
Тем не менее элементы пространства Е' обычно называют просто функциями, хотя, с нашей точки зрения, они являются в действительности распределениями.] Во многих приложениях появляются функции илн распределения, квадратично ннтегрируемые на области И«:В". Пусть С,"(И) — множество функций «р(х) класса С" с лежащим в И носителем. Тогда распределение на И определяется как линейный непрерывный в смысле 3 2.4 функционал на С," (И). Теория пространства Е'(И) совпадает с теорией пространства Е'(«с"), только В" всюду заменяется на И.
В частности, скалярное произведение («р, ф) двух функций нз С,"(И) задается, как и ранее, ра. венством (5.3.!), где интеграл формально берется по всему К"« однако прн этом подынтегральная функцня равна нулю вне И. Элемент и из Е'(И) можно также рассматривать как элемент и, нз Е'(В"). Именно, если и определяется последователт постыл Коши («р») функций нз С,"(И), то и» задается равенствоМ <и„фу Вш ) «р»'$«!"х (3.3.Щ 4.+ е ю.з.
прпсвранапва А~(и~) и Р(й) 103 Тогда может получиться так, что 0и Е ('(11), тогда как 0и, ( Ь'(В"), потому что вклады, подобные Ь-функциям, сосредоточены на границе Я, например, когда и, равно ненулевой константе на Р и равно нулю вне й. Если 0и расширить, как описано выше, до распределения (0и), из Ь'(Р') с носителем в Й, то 0и, и (0а), совпадают на Й и на Е" — Й (где они оба равны нулю), однако в общем случае не совпадают на любом открытом множестве, пересекающемся с границей оР, [В связи с этим следует заметить, что если (фь) — последовательность Коши, представляющая и, то последовательность (0гр ) представляет 0и в смысле определения (5.3.11), однако в общем случае не является последовательностью Коши.1 Простейшим пространством такого рода является 0'(а, Ь), для которого п=1, а Й вЂ” открытый интервал (а, Ь) на В.
Любая непрерывная на ь1 функция Г(х), такая, что ~...) ))(х))'г(хг...с(х, ( оо, (5.3.12) определяет распределение и в Е'(Я) посредством обычной формулы <и, гр> = ~ ... $ 1 (х) ~р (х) дх,... дх„%р Е С,", (11). Ял для всех ф из СГ (В"), а не просто из С,"(11). Норма и в Ь'(Р) равна норме и, в Ь'(И"). Если зцррф целиком лежит впе 12, то (5.3.11) дает нуль, следовательно, зпрр и,<-й.
Обратно, можно показать (по крайней мере для областей ь1 с разумно выбранными границами), что если элемент и, принадлежит Ь'(й"), а его носитель лежит в й, то его можно рассматривать как элемент и из Л'(Й), т. е. найдется такая последовательность (ггь) функций из С," (11), для которой (5.3,11) выполняется для всех ф, Вообще любое распределение и, на В" имеет единственное ограничение и на Р, получаемое путем рассмотрения пробных функций только из С,"(Р). Если, кроме того, и, ЕЕ*(В"), то иЕУ'(Р) и 1и(()и,(. Фактически выше было показано, что отображение ограничения, обычно многозпачиое, оказывается взаимно однозначным для элементов 0' и является изоморфизмом подпрострапства 1.'(Й"), состояцего из распределений с носителями в 5Т.
В связи с дифференцированием между и и и, необходимо проводить различие. Если и Е 0'((2) и 0 обозначает д/дхм то 0и — распределение на 11, определяемое так: <0и, ~р>= — ,'<и, 0~р> УгрЕС,"(()). Гл. о. Проппрансмво Г.о 104 В большинстве случаев (например, если 11 — интервал, куб или шар) очевидно, что понимается под интегралом (Римана) (5.3.12) по й; с другой стороны, его можно было бы взять как зцр ~ ... ~ ф(х)1Г(х) Г4(хг...дх„ по всем непрерывным функциям ф(х) с носителем в Й и со значениями в [О, 11. Если область (4 ограничена, то (5.3.12) выполняется для любых непрерывных на 11 функций 1(х).
Для любой разумно выбранной и-мерной поверхности 5 в Р' (например, для сферы, цилиндра или тора) можно очевидным образом определить пространство Е'(5). Пусть, например, 5— двумерная сфера, т. е. поверхность х'+у'+г'=1 в Е'. Говорят, что функция Г на 5 является функцией класса С" (5), если функция ) бесконечно днфференцируема в окрестности любой точки на 5, где г~=О (т. е. любой точки не па экваторе) как функция от х и у, бесконечно дифференцируема как функция от х и е вблизи любой точки, где у~О, и бесконечно дифференцируема как функция ат у и е вблизи любой тачки, где х~О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
