Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если / и д — пределы последовательностей (~рв» и (тЦ из С,", (ас»), то выкладки (5.5.4) все еще справедливы с заменой интегрирования на интервале выполвнется длн любых элементов / и л из Е' (если /= Мпт<ра, то / 1ппйа и ) /)1 =//), а также что ( — оо, х) интегрированием по области Я~=К".
Отсюда следует, что ) "Ь(у)'ь(у) "у ~(у (5.5.9) имеет предел при А- оо для любой области 11; этот предел обозначается как ) а(у)1(у) Ф у.. (5.5.10) у(х) 1(х) = (5.5.11) а зто — обобщение одномерного результата (5 5.5), который можно переписать как д(х)1'(х)=36(х)Ях. Распространение формулы (5.5.11), полученной для положительного квадранта, на другие квадранты в Й" получаетсн яугем очевидного переопределения прямоугольной ячейки и соответствующих изменений анака. Если н(х) =1(х), то легко видеть, что 6(х) ие убывает в смысле теории вероятностей (см.
З 13.3); следовательно, ) (1(х) ~' г(хт... г(х„можно ннтеРпРетЯРовать как веРоатность. С другой стороны, ннтеграл от 11(х)1' обладает очевидными свойствами = ) +) для непересекающихся Я, и ь1м (5,5,12) о,поз и, о~ ~ <) для Й,сй„ (5.5.13) необходимыми для такой вероятностной интерпретации. Если распределения 1 н у являются непрерывными функциями, а область 11 ограничена, то выражение (5.5.10) оказывается обычным интегралом Римана; если Я не ограничена, то зто выражение представляет собой несобственный интеграл Римана, Который, однако, сходится для любых ( н,д нз Е','В любом Если Й вЂ” прямоугольная ячейка, задаваемая неравенствами и < у, < х; (1= 1, ..., и), то сходнмость (5.5.9) к (5.5.10) равномерна по х из любой ограниченной области квадранта х, ) 0 (1=-1, ..., и); следовательно, пределом служит непрерывная функция, скажем 6 (х). Для распределений дифференцирование н интегрирование всегда являются взаимно обратнымн операциями, поэтому Ь;б.
Об обрпи(елям и яйьла яа б«енияечносл«п. 1 )Ф случае обобщение результата, полученного и упражнении ь, дает для распределений из Езф ) ((, а) = ) ~'~х~д (х)дхг...дх„, (5.5.!4) а для распределений из Е.х (ьу)— Ц, й) =- ) )'(х) д (х) дхт...дх„. (5.5.15) Следующее утверждение является простым следствием неотрицательиости интеграла )»)»ад"и: Лемма.
Если ( Е ь",з, а йт и Ь; — такие непрерывные оераняченные функ«(ии, что»Ь, (х)» ~ »Ьь (х) ( для всех х то (йЛ~»й«Р( еде норма берется в ь'.з ((ь) или в Е.з(ьс"). й.б. оа оапдпййнии а нхль нд айсконачности. ь Иногда говорят„что квадратично интегрируемая функция у (х) должна стремиться к нулю при х- ~ оо.
То, что это неверно, показывают примеры функций )(х)=ехр( — х«з(пзх» и»(х) = =х'ехр( — хзз1пзх», во втором из которых»(х) даже не огра- ничена. Однако если и (, и ее производная»' принадлежат (.з(ьс) в этом случае ) оказывается непрерывной функцией), то (х) - О при х- ~ос. Доклзятпльство.
Согласно (5.5.6), дла распределений из йд выжав няегса неравенство Шварца; следовательно, ! ь 1« ь ь )г'(УР()е 1 )1г()(ье )1Г()1'еж а е е Если и н Ь стремится независимо к+ее (обратите внимание на знак «+з), то величина а правой части этого неравенства стремится к вулю, потому чзо соотаетствуюгцне ньггегралы по всему К сходатса. Согласие (5,5.8), величяна в левой части неравенстаа равна )е( У (а)й — Р йз)' й поэтому Г(х)й при х — ь+ се стремится к некоторой постозппой, однако эта иеетоаааак должна быть нулем, нбо в прон«виоы случае Г не иривадлежалв бы Га(й); с помощью аналогичных рассуждений мы иелуюем, чю ар«дел у(х) иуи х — — «о такаю равен нулю. Обращеняе в нуль на бесконечности для функций нз ьз(иа) обсуждаетсн и й 5.ГЗ; там требуется, чтобы йй пйинадлакали также и производные болев высокого порядка.
Уппажнении н найдите такую фующию г" (л, р, е), что г, ьтййн«, «туййь и б(/дх прикиде лежат «.з (Из) и тем не менее (уьо при )л)-е «о, 1!2 Гл. В. Лрааврангмва й» З.Т. ПРОСТРАНСТВА ТИПА Е>, ЕЕ, Д Хотя для физики, несомненно, наиболее важен случай р=2, представляется целесообразным кратко изложить и свойства общихх пространств 7 е.
Пусть р — любое вещественное число, 1 «р ( оо, Линейное пространство, состоящее нз элементов класса С," и наделенное нормой х 1л» ~«р( )!! =( ) !«а(х)!»г(х) (5.7.1) оказывается неполным нормированным пространством, которое можно пополнить путем добавления 'определенных «слабых> распределений, в большей части лнтературы снова называемых просто «функциями». За исключением случая р=-2, указанную' норму нельзя получить из какого-либо скалярного произведения, потому что для нее не выполняется правило параллелограмма (1.3.5).
Основные результаты для пространств ье будут представлены без доказательства. Большинство из них можно найти у Рисса и Сскефальви-Надя ! !9531, где эти результаты выражаются в терминах теории Лебега. Эти и другие результаты были получены и прн помощи методов теории распределений (Вернер [!959!). Пусть р и д †так вещественные числа, что ! в-.р, о ( оо и — + — =1; (5.7.2) Р Ч тогда„взяв один элемент из Ее, а другой — из 7«, для них можно определить аналог скалярного произведения. Неравенс пво Гельдера (5.7.3) где гр и >р принадлежат С,", является обобщением неравенства Шварца; воспользовавшись им, можно получить неравенство треугольника )Ч+Ф!! --=64'Ф +!!Ф)л„ (5.7.4) которое, будучи примененным к функциям, называется иногда неравенапвом Минковского.
Из неравенства Гельдера непосредственно следует, что если Ь. ~р, ) — последовательность Коши функций из С,'" относительно .нормы, то существует 1пп ) гр; (х) ф(х) «(х У ф Е С,"; (5.7.5) ! -> В.г. Прогырвнаявв типа Ег, Ее, Е" этот предел порождает линейный функционал на С,", т. е. распределение, обозначаемое далее через г; таким образом, этот предел представляет собой <г, 4>. Согласно терминологии теории распределений, ф; — !. Как и в случае р=2, имеет место следующая лемма: Лемма.
Две последовательности Коши (ф;) и (фг) из С," (относительно ! е-нормы) определяют одно и пю же распределение тогда и только тогда, когда они эквивалентны, т. е. когда !!фг — ф;! — 0 при ! — оо. Автор не знает простого доказательства этой леммы, подобного соответствующему доказательству в $ 5.3 для случая р = 2; изящное, но слишком длинное доказательство сообщил автору Норман Репер, позднее же аналогичное доказательство появилось в обширной статье Вернера !19891, уже упоминавшейся выше. В любом нормированном пространстве (не обязательно полном) (!,'ф,!!) имеет предел при ! — оо, если (р,) — последовательность Коши.
Это следует из неравенства треугольника, записанного в виде !',!фг!! — !;'ф~!!! ~)ф.— фс!! (5.7.6) поскольку оно показывает, что (!!ф,/!) †последовательнос Коши вещественных чисел. Если ф, Е С," и ! = 11ш фо то норма распределения ! определяется как !Л,= 1 !Ю, (5.7.7) Пространство Ее=Ее(Е) — это множество всех таких распределений: Ее = (! = 11ш ф,: (ф,) †последовательнос Коши по Е"-норме).
(5.7.8) Теорема 1. Лространство Ее с нормой !! ) является полным и, значит, банаховым пространством, а С," — плотным в Ее мноэкеством (доказательство опускается). Если 7 — предел в Ее последовательности Коши (ф;), а ив предел в Еч последовательности Коши (49) (здесь и далее в этом параграфе предполагается, что (1!р)+(1п)) =!), то неравенство Гельдера показывает, что дм 1пп ~ ф, (х) 4., (х) дх = <), д> (5;7.9) существует и что )<г" Е'>)~!)г'! 1йФ, Гм о. Проаорпнгогоо Ео Эта неравенство представляет собой общее неравенство Гельдера. Тем самым область определения линейнага фупкпнонала <, й> расширена с С," да Е . Для данного АТЕЕ» <, д> — ограниченный линейный функционал на Ег.
Следующая теорема Ф. Рисса (1910 г.) обобщает теорему Рисса — Фреше (1907 г.): Теорема 2. Для любого ограниченного линейного функционала Р( ) на Ег найдется единственногй элемент дЕ Е», такой, чта Г(1)=<!", д> для всех ~ЕЕг; кроме пюго, норма функционала с ( ), определяемая как ) р( я= зцр(! Р(~) я~ц, (5.7,11) ! ~ о равна (я',)„.
Множество всех ограниченных линейных функционалов на банаховом пространстве образует сопряженное (двойственное) пространство, которое такгке является банаховым. Теорема Рисса показывает, что сопряженное к Ег пространства изаморфно пространству Е». В предельном случае р = 1 норма в С," берется равной 1»р1» = ) )ф(х)(ах; прн этом пространство Е'определяется в точности так же, как Е; при р > 1, хотя для доказательства приведенных выше леммы и теоремы 1 необходимы друтие средства; см. Вернер 11969).
При любом р-»1 имеет место аналог теоремы 2 из $ 5.3: любая непрерывная функция ) (х), для которой ~ !1(х) (гах ко- иечен, принадлежит Ег. В другом предельном случае, р=-оо, тот факт, что Ег сопряжено к' Е» и р- оо при у- 1 по (5.7.2), наводит на мысль о соответствующем методе определения Е". Действительно, пространство Ег мон.но охарактеризовать иначе (как это сделал Вер.
иер): распределение 1 принадлежит Ег тогда и только тогда, когда существует такая постоянная М, что 1<7, чг>((М)»р)» для всех <рбС,", (5.7.12) Определенне. Е" — пространство всех таких распределений Е, чта для некоторой постоянной М=М (!) )<г, ~р>)(М1цг)ц для всех ~р~С,"; (5.7.13) норма 11(1„— это наименьшее из возможных значений М ф, обла~ дамвиее, очевидно, всеми свойствами нормы, !)Б Е.й. !Треоораэование Чтррье в !.Я С такой нормой Е" оказывается полным и, значит, банахо. вым пространством (Вернер).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
