Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пгимвг г В 4 2.! отмечалось, что непрерывная функция Г' (л) имеет обобщенные произаодяые всех порядков. Частичное обращение »того результата было доказано Шварцем: дли любого распределения л иа Й и любого конечного интер' вала (а, ь) существуют такие непрерывная функция г'(х) я целое Ф "-О, что л равно Р») (л) на (а, й»,, т. е. <я, ~р> = <Га~, ф> для любой пробной функции ф с лежащим а (а, Ь) носителем. Для спразедлиаостн зтого рйзультата необходима непрерыаность функционала <л, >. 2.б. Примеры расяредк«еннй Следуюп(ие два упражнения содержат основной результат относительно интегрирования и дифференцирования по параметру.
]з обоих случаях непрерывность функционала <), > необходима. Упплжнение 1, Предположим, что для каждого у, принадлежащего конечаому отреаку [а, Ь], гр (х, у) как функция от х является пробной (т. е. принадлежит Се" (И)) и тем самым при каждом у все производные д««р (»=О, 1, 2, ...) непрерывны ь н обращаются в нуль вне некоторого интервала [х[ < с=с(у). Предположим и тому же, что зависимость ат параметра у «разумназ в том смысле, что о е может быть выбрано не зависящим от у, а производные дадхгр также непрерывны при всех х нз И и всех у из [а, Ь) и также обращаются в нуль вие интервала [ х ] < с. Покажите, что если Г' — любое распределение на И, то ь ь ~ </, ф>ру=ч, ~ тбу).
а а (2хй2) аег Указание. Покажите, что ф (х) = ) гр (х, у) г[у — пробная фупиция, а сумма а ь Римана для ) «рагу сходится к «р(х) в смысле сходнмости в я. а Замечания. 1) Этот результат остается верным при несколько более слабых предположениях, которые читатель при желании может установить сам. 2) Если <1, гр> записать символически как интеграл (2.3.6), то вместо (2.4.2) будем иметь ь ь ) ~ ) (х) гр (х, у) г(х г[у = ) ) (х) ) гр (х, у) г(у г(х.
(2.4.3) а » Уп жнснне 2. Предположим дополнительно, что производные дад,ф (а=о, 1, 2, ...) непрерывны и обращаютсн в нуль вне интервала ]х] < с. Покажите, что ба<У, Р>=<), аач>. Это утверждение верно также при более слабни предтюложенняя. Мы егце вернемся к этим результатам в $ 2.6 в связи с рассмотрением операторов сглаживания. 2.5. ПРИМЕРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Пример г Пример функционала (2,1.5) можно обобщить на и-мерный случай. Если 1 (к) — любая непрерывная на К» функция, то ее можно отождествить с распре.
делением, определенным кж« <) Е> = ~ ) (к) ф (к) б"к «ГРЕ Са (И") 11» Гв. 2. Риеиредевении и их общие еввбееива 44 Легко доказатьнепрерывностьфункционала <~, >. Пусть(ее,)— последовательность пробных функций и ч~е- ф в смысле определения предыдущего параграфа. Пусть УС вЂ” достаточно большой п-мерный куб, в котором содержатся носители ф и всех ере, тогда <~, ~р~> — <~, ф>= ) ~(х) [ер (х) — з! (х)1е!"х.
Равномерная сходимость «ре(х) к ф(х) озяачает, что д е! М =шах !еру(х) — ф(х)(- О при ! — оо. Так как (<~, ер > — <~, ф>)(~ )~(х) )е("хМеи мы имеем <1. Чг>-<~, 1>, что и требовалось установить. Непрерывность функции ~(х) в действительности не является необходимой. Приведенные выше рассуждения остаются верными, если р(х) — любая интегрируемая функция, для которой интеграл от () (х) ( по каждому ограниченному кубу зс конечен. (Такие функции образуют класс Ц„(Ев) — см. также приведенное ниже замечание.) Функция р (х) может иметь разрывы первого рода, а также может обладать интегрируемыми особенностями. Например, при и- 2 равенство <~, <р> = ~ (!!/!х)) ср(х) Рх (2.5,2) Не определяет распределение !, которое может быть отождествлено с функцией р(х)= Цх(~.
Если функция ~(х) не является непрерывной, то соответствие между такими функциями и распределениями нельзя считать совершенно однозначным, так как изменение значения !" (х) в точке разрыва не меняет соответствующего распределения. Если )-(х) имеет неинтегрируемые особенности, это соответствие также становится неоднозначным, но уже в другом смысле: только что приведенное соображение представляется совершеннонесущественным по сравнению с тем, что такие функции, как ((х)=(/х в одномерном случае, могут соответствовать многим различным распределениям, порождаемым различными регуляризациями, как это будет объяснено ниже в ~ 2.!О. Замечание.
Ниже в ч 2.9 будет разъяснено, почему мы предпочли ограничить определение (2.5.!) функциями, интегрируемыми в смысле Римана: при использовании интеграла Лебега могут возникнуть некоторые несоответствия. 2.5. Примеры распределений 45 Следующие три примера относятся к теории потенциала, в которой р (х) обычно обозначает пространственную плотность заряда. Для так называемого объемного распределения заряда р(х)— обычная и, как правило, кусочно непрерывная функция, но для поверхностного, линейного или точечного распределения заряда пространственная плотность бесконечна, и р(х) следует рассматривать как обобщенную функцию, т.
е. как распределение в при. пятом здесь смысле. Ппимег з. Заряд простого слон Пусть 8 — замкнутая гладкая поверхность в Рз и о (х) — непрерывная на 3 функция. Тогда распределение р(х) определяется на Нз равенством (р, фу= ~ о(х) е(х) г(„й тЧЕСз (Нз), (2.5.3) н гяе а,ч — элемент площади на 8. Это распределение напоминает 6-функцию Йнрака в каждой точке поверхности 3. Ппимеп з. Заряд двойного слоя Возьмем те же самые $ и о(х) и обозначим через п(х) единичный вектор внещней нормали к поверхности $ в точке х. Тогдз распределение р (х) определяется равенствам чР, ~Р>=~ о (х) Уе(х) п(х) гЫ Чп(ЕСз" (Нз). (2.5.4) $ Это распределение напоминает производную от 6-функцин в каждой точке по. верхности $.
Ппнмне ч, монопольный н мультипольный точечные заряды Распределение р (х) на Нз, задаваемое равенством <р, <ру=м (О) для любой ф из С," (Нз), представляет плотность точечного заряда в нуле. Согласно нзлагаюшнмся ниже соображениям, ояо может быть записано нак р (х) = 6 (х) 6(д) 6 (а), хотя такое выражение и не отражает явным образом сферической симметрий р(х) — см. $ 2.8.
Точно так же распределение <р, ф>-Юча~т (х)!.= Чар (2.5.5) представляет плотность мультиполя порядка 2Г+чег в нуле. Это распределение можно записать также в виде ( — 1)г+ а ее бцн (х) 6 ч> (д) 6< > (з), (2.5,6) Ппигнвп з. Одна из ннвариантных относительно преобразований Лоренца б-функций, применяемая в квантовой злектродниамнке и определсннаяДнраком [1947[ каи 6((4 — ( Р), (2 5.7) или, что то же самое, как — [6 (1 — [ х[~)+6 (1+[к[5) 1 2[[х[ (2.5,8) (здесь х †трехмерн вектор, а скорость света считается равной единице), представляет собой распределение на К4, Обозначаемое через Т) илн Т)((э ху Гл. 2.
Распределения и их общие соодсюаа Уш лжненнн 1. Покажите, что (2.5.9) можво формально получить либо нз (2.5.7), либо из (2.5.8), записав с(), 9»у симнолнчесхи как интеграл ) 1)»рдйрх и выполнив я» интегрирование по Е Пянмвп а. Меры Если функция о (х) вещественной переменной х нмеет ограниченную вариацию на каждом кенешом интервале, то определяемый интегралом Стнлтьесз функционал О сг, »ру = ~ ф (х) »(о (х) » (2.5Л О) является распределением; распределения такого типа называют мерами — см. гл.
13. Примни т. Произведение И общем случае нельзя определить произведение двух распределений (хотя в 9 6.5 определяется так называемое прямое произведение распределений ) (х) н Е(у), имеющих различные независимые переменные). Однако если ) — л»обое распределение на Ка, а и(х) — любая функция класса С на и" (не обязательно с ограниченным носителем), то обозначаемое через )а или а1 распределение определяется как ле1 (га, 90 = СД а»рр.
(2.5Л 1) Отметим, что если»р(х) — любая пробная функция, то а(х)»р(х) — также пробная фуннция, так что определение (2.5,1!) корректно. 2.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАК ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ. СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Распределение 6(х) можно рассматривать как предел последовательности «)„(х)) функций, где (х) = (н/~/и) л-и'х* (2.6.1) потому что если ~р(х) — любая пробная (нли даже любая огра. ниченная непрерывная) функция, то )(ит ~ („(х) ф (х) г(х = гр(0). (2.б.2) аы и задаваемое равенством <)7, »р>= ( —,, (9»()х«, х)+ю( — ((х)!, х))»Г»к У»р(Д х) ~Са" (К'), (259) ,) 2(,'х) ц' Это распределение сосредоточено на световом конусе )1) =)) хь т.
е. СП, »ТУ=О для любой функции ф(Д х), носитель которойнепересекается с этим конусом. Инвариантность 0 (Д х) относительно преобразований Лоренца рассматривается в 9 2.8. 2.6. Рпсвредекелнл как пределы последоеа»ыльнсслыа Это записывается как (п( р/и) г-л«кз — «б (х) (2.6.3) Обобщая этот факт, последовательность ()'„(х)) функций, для которой существует предел интегралов ) )'„(к) гу(х) с(х при каждой пробной функции гр(х), назовем сходящейся к распределе« нню ~, определяемому как <)', ~р>= )нп ~ )л(х) ф(х) г(х Угу л -« (2.6,4) (см. замечание, приведенное несколько ниже). Наконец, если ()'„) — любая последовательность распределений, например на Р.", и ) — такое распрсдсленнс нв м.", что <)„, ф>- <), гр> для каждой пробной функции гр, то будем говорить, что распределения ~л сходится к распределению ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
