Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Такая сходимость называется сильной. Обобщая это понятие, скажем, что (иь) сходится к и слабо, если (о, иь) †. (о, и) для всех о Е Н. (Если говорится просто «сходямость», то обычно подразумевается сильная сходимость.| Мы приведем здесь без доказательства две теоремы (их доказательство использует принцип равномерной ограниченности).
Теорема 1, Слабо сходящаяся последовательность ограничена, Теорема 2. Н слабо полно в том слпясле, что если (и„) такмнц чгпо (иь — и„о) — О при )г, 1- оо для всех о, то найдется таьоау элемент и, что (и„— и, о) — О при и- оо для всех о. УПРАЖНЕНИЯ П Из сильной сходимости следует слабая. 2. В конечномерном пространстве слабея сходимость зявизэлентнэ сильной. 3. Любая бесконечная ортонормировзннэя последовэгельиость слабо схо. днтся. 4.
Любая ограниченная последоввтельность в гильбеьтовом прострзнсзве содержит слабо сходящуюся подпоследовзтельность (г. е. гильбертово пространство слэбо локально компактно). Указание. Если (н») -ограниченазв по. зз у. 11. )Толяризоция следы ятельность, то в ней найдется такая подпоследовательвость (и,„), что (иг, и„,) сходится, в в (и,я) найдется тзкня подпоследовательность (и„Д, что сходится (и„яз„), и т.д. Возьмите диагональную подпоследоввтельность (ия„). Пусть ЛТ вЂ” линейное многообразие, порожденное (и„), т. е. множество всея конечных линейных комбинаций элементов (ия). Покажите, что ((и„„, о))— сходяшаяся числовая последовательность, причем сначала доквжите, что зто верно для всех обМ, чатем — для всех о из М (зямыкзния М), наконец— для всех г6М"..
После етого используйте приведенную теорему 2. 5. Если я„и слабо н )ия( 1и)~. то и„и сильно. 1ла. ТильаеРтОвы ЛРОстРАнствд АИАлитических ФУНКЦИЙ Хотя все сепарабельные гильбертовы пространства структурно совпадают, существует много различных конкретных их реализаций. В некоторых приложениях появляются пространства, элегненты которых представляют собой функции, аналитические в области ь) комплексной плоскости. Пусть ь) — единичный круг; определим гнльбертово пространство гт' так: я-Пи -----.г. ~ ~сп .р 1 пмг~ <-). )з) О ((, д) = 1нп ~ ((г) д(г) г(з.
ят! Легко видеть, что если с„(п=О, 1, ...) — коэффициенты раз. ложения ((г) и степенной ряд, то 1())=сопя( ~ )с„)з, так что нзоморфность этого пространства пространству )з очевидна. Приложения подобных пространств к теории функций для случая, когда 11 — полуплоскость, приведены в гл. 19 книги Хилле 119621. 1.Ы.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ Во многих вычислениях (см. гл. 9) полезно следующее обобщение равенства (1.3.6). Пусть ((и, а) — палугпоралинейная форма (иногда менее аккуратно называемая билинейной), т. е. функция с числовыми значениями, определенная для всех и и и из гт, линейная по о и полулинейная по и. (Из теоремы Рисса — Фреше следует, что любую такую форму можно представить в виде (Аи, и) нли (и, Вп), где А и  — линейные операторы; здесь этот факт бесполезен.) Пустыу(и) — соответствующая квадратичная форма, а(и)=((и, и).
Тогда ((и, о) можно вычислить по зиачениям д(и) прн помощи.4юрмулы поляризации: ((и, и) =(1(4) ~ сзд(ген+о). (1.1!.,и Ги 1. Гильбераоая проппраниява Чтобы проверить эту формулу, заметим, что ад(аи+о)=аГ(аи+о, аи+о)= =а) . 'ГГ(и, и)+1а!'Г(и, о)+а7(о, и)+аГ(о, о); (1.11.2) после подстановки (1.11.2) в (1.11.1) справа получается шестнадцать членов, которые попарно уничтожаются, за исключением члена 1 (и, о), повторяющегося четыре раза с коэффициентом (а 1'= 1. Для д(и) часто имеется оценка типа 14(и)~(М1ир для всех и. В этом случае поляризацию можно объединить со следующим приемом получения оценок ) (и, о) типа неравенства Шварца.
Сначала получим при ~а~=1 (ао(аи+о) ! =: М1!аи+о 1" "М Ци1+1оф'. Затем заменим в 1(и, о) и и о на ()и и р"'о, где р=~/1о)у!)и(; это не меняет значения ~(и, о), но заменяет 1и1-(-'1о( на 2 Ди)~Щ; следовательно, ~ 1 (и, о) ~ 4М ( и !) ~ о (!. Глава 2 йзАСТЕТЕДЕЛЕИИЕ И ИЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА Линейные функционалы; пробные функции на пространствах К и Ка; билинейные формы; сходимость пробных функций; непрерывные функционалы; веще.
огненные н комплексные распределения; дифференцирование и интегрирование; наивна независимых переменных; сходнмость распределений; операторы сглаживания; регуляризацня особенностей. Предварив«взныв сведения: математический анализ, Для функциональнбго анализа и его приложений к физике желательно обобщить классическое понятие функции так, как вто было сделано Дираком и обосновано Лораном Шварцем в его теории «распределений» (в советской литературе распределения обычно называются обобщенными функциями). При написании втой и нескольких последующих глав автор придерживался той точки зрения, что теория распределений в основе своей элементарна и вытекает из классического математического анализа. Полное представление о распределениях можно получить при помощи интеграла Римана — такой подход хорошо подчеркивает тесную связь между распределениями и обычными функциями.
С этой точки зрения пространства 1.я и их применение в теории дифференциальных операторов также элементарны, если основываться иа теории распределений, и именно в таком смысле оии будут рассматриваться в гл. 5, 6„7, 10 и !1. (( ~ 6(х) <р(х)г(х))= ~р(0), (2.1.1) а в более общем случае (( ~ 6(х — а) р(х) г(х)) = <~(а); (2.1.2) 1л.
происхождение пОнятия РАспРеделений Еще в период становления квантовой механики Дирак ввел «функцию> 6(х), положив ее равной нулю при х~О и равной -1-оо при х=О и приняв интеграл от нее равным единице; следовательно, предполагается, гго Гл.
е, Расиребеление и их общие саобсигеа 36 прн этом функция 6'(х) вводится таким образом, чтобы было возможно интегрирование по частям: (( ) 6' (х — а) чг(х) с(х)) = — ~р' (а) (2.1.3) для любой диффереицируемой функции ср (х). Производные более высокого порядка от 6(х) определяются аналогичным образом. Далее, если р(х) — любая, например кусочно непрерывная, функция (не обязательно дифференцируемая в обычном смысле), то ее производная в обобщенном смысле определяется как такая «функция» р'(х), что (( ~ ~' (х) Чг(х) дх))= — ~ ~(х) ср' (х) дх (2.1.4) по крайней мере для любой функции чг(х), которая непрерывно дифференцируема при всех х и тогкдественно обращается в нуль вне некоторого конечного интервала.
Дирак назвал 6(х), 6'(х) и р'(х) «несобственными» функциями, указав прн этом, что хотя иногда и нельзя говорить о значениях самой функции в отдельных точках, часто удается придать точный смысл интегралу, содержащему такую несобственную функцию в качестве множителя (Дирак ~1947, с. 591). Это замечание послужило основой для теории распределений Л. Шварца (19501. Объекты, обозначенные выше через 6(х), 6' (х), р'(х), определяются не заданием их значений для каждого значения аргумента х, а заданием значений взятых в кавычки интегралов для всех функций ср(х) нз некоторого класса. Поскольку каждое из этих выражений линейно зависит от ср(х), обобщенная функция или распределение тем самьгм представляет собой линейный функционал, определенный на выбранном надлежащим образом классе «пробных» функций ср (х).
Аналогия между распределением и функцией весьма наглядна. Если р(х) является обычной функцией, то каждому значению аргумента х соответствует некоторое число; если же р(х) является распределением, то каждой пробной функции ~р(х) соответствует некоторое число. Для распределения нельзя взять х в точности равным х„но можно взять пробную функцию, которая имеет очень резкий пик в точке х, и равна нулю всюду вне узкого интервала, содержащего х,. Для многих физических ситуаций это соответствует возможности знать х только с конечной точностью. Обычную непрерывную функцию р(х) можно рассматривать как'частный случай распределения; тогда линейный функционал Эй.
Проникновение понятии рионроделенин зт задается в виде интеграла ) Т (х)~р (х) с1х. (2.1.5) Этот и обычный способы задания такой функции эквивалентны согласно следующей теореме, доказательство которой мы предоставляем читателю: Теорема. Непрерывная функс(ия Г(х) с областью определения ( — оо, оо) полностью определена, если значение интеграла (2.1.5) известно длл каждой непрерывной функции гр(х), отличной от нуля толька на некоторол~ конечном интервале, своем для каждой гр (х). В дальнейшем и некоторые другие обычные функции (уже не являющиеся непрерывными) будут аналогичным образом идентифицированы с соответствующими им распределениями.
Многие операции, которые могут быть применены к обычным функциям (например, дифференцирование, интегрирование и преобразование Фурье), применимы и к распределениям, причем применимы при самых общих предположениях. Если 1 и д — два распределения, то хотя и нельзя сказать, что )(хо)=у(хо) или )(х,) у(х,) для конкретного х„, но можно придать смысл тому, что Г"=-у на (а, Ь) или ~)у на (а, Ь), где (а, Ь) — любой открытый интервал (см. гл.
3). Более того, такие утверждения можно сделать для любого открытого множества, но не для множества с лебеговой мерой нуль. Множества меры нуль обычно нефизичны, потому что для решения вопроса о принадлежности точки х такому множеству нужно знать х с беско-. нечным числом десятичных знаков.
Сущность теории распределений состоит в том, что, отказываясь от знания функций на множествах лебеговой меры нуль, мы получаем возможность определить широкий класс обобщенных функций, включая раз. личные 5-функции и их производные. В силу упомянутой выше наглядной аналогии распределение является в некотором смысле столь же конкретным объектом, как и функция.
Например, элементы пространств А' (см. гл. 5) представляют собой распределения. В ранних математических работах элемент такого пространства рассматривался как бесконечный класс эквивалентности функций, любые две из которых могут произвольным образом отличаться друг от друга на произвольном множестве меры нуль. Чтобы конкретно применить так определенный элемент пространства Ь' по крайней мере для некоторых целей, обычно достаточно вообразить себе какую-либо одну функцию из такого 'класса. На наш взгляд, любая такая функция неизбежно содержит элемейт недсюпределенности и произвола, тогда как распределение в эхом смысле определено вполне Гх.
2. Распредехенип и их общие свобспыа четко. Распределения такого рода, как и обычные функции, могут рассматриваться, например, в качестве волновых функций в квантовой механике. Во многих физических приложениях, особенно при наличии дифференциальных операторов, использование распределений позволяет избавиться от части выкладок, необходимых при обычном подходе, вероятно, потому, что пренебрежение множествами меры нуль делает распределения наиболее удобными для таких при. ложений. Вполне очевидно, что проведенные выше рассуждения могут быть без каких-либо существенных изменений применены для случая нескольких независимых переменных. 2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
