Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Более того, В(Н) оказывается полным линейным нормированным пространством (т. е, банаховым пространством — см. гл. 15 и замечание в Е 1.2) с нормой А, определенной выше, поскольку она обладает обычными свойствами нормы, включая неравенство треугольника ')А+В):'1А1+1В1, и, кроме того, удовлетворяет неравенству )с»Л!)-'(В)1Л). Такая алгебра называется банаховой алгеброй. Более подробное описание ограниченных операторов приводится в гл. 9 и 5 14.6. Хотя многие наблюдаемые квантовой механики являются неограниченными операторами, ту же самую информацию можно в принципе получить и при помощи ограниченных операторов (ограниченных наблюдаемых, т. е.
таких наблюдаемых, возможные измеренные значения которых составляют ограниченные множества вещественных чисел), и это имеет смысл делать для некоторых целей; см. Е 14.6 и 14.6. Замечание, Ранее такие алгебры называли «операторными кольцами», а в советской литературе часто называли «нормированными кольцами». Тлм СОПРЯЖЕННОСТЬ. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Наблюдаемые представляются в квантовой механике самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве Н. Эти операторы аналогичны эрмитовым матрицам, однако бесконечномерпость Н приводит к одному существенному отличию.
Если А— матрица размера пхп, такая, что (Ац, т) =(в, Ач) для всех в, т из Рп (в этом случае А называется зрмипювойз)), то А имеет полную ортонормированную систему собственных векторов. Это же верно (в некотором смысле) и для ограниченного оператора А в Н; именно, если (Ав, ч) =(ц, Ач) для всех в, у из Н, то А имеет полную систему собственных векторов в смысле теоремы о спектральном разложении из гл.
9. Однако многие из операторов квантовой механики неограниченны, следовательно, опре- з) Иногда такую матрицу называют само«впряженной.— Прим, пере«. Гл. 7. Линейные операаюрм а гнльбертовом прогглрансглзе делены не на всем Н, а лишь на некоторой своей области определения Р(А). Если (Ап, ч) =(и, Ач) для всех и, ч из Р(А), которая плотна в Н (в атом случае физики называют А зрмитовым, а математики — симметрическим), то А может иметь, а может и не иметь полную систему собственных векторов (в указанном выше смысле); если А имеет полную систему собственных векторов, то физики его называют наблюдаемой, а математики— самосопряженным оператором (точное определение дается ниже). Иногда возникают недоразумения, поскольку в некоторых книгах по квантовой механике и обыкновенным дифференциальным уравнениям с операторами, являющимися всего лишь симметрическими, обращаются как с самосопряженными.
Сущность самосопряженности симметрического оператора— в наличии соответствующей области определения Р(А) (которая, конечно, обычно имеется в .нашем распоряжении, когда определяется А). Если область определения максимальна в определенном смысле и А симметричен иа атой области, то А самосопряжен. Однако имеются симметрические операторы, такие, как операторы радиального импульса, описываемые ниже в ч 7.8, которые не могут быть сделаны самосопряженными ни при каком выборе области определения.
С другой стороны, имеются операторы (иекоторые даже с плотной в Н областью определения), которые могут иметь много самосопряженных расширений при должных расширениях области определения; пример дается в $ 7.5, см. также й 8.5 об индексах дефекта. Доказательство самосопряженности обычно считается математически слишком сложным для изложения в книгах по квантовой механике (см., например, Мессиа 1!958, с. 188]). Однако, по моему мнению, дело обстоит не таи.
Обсуждаемые операторы в основном являются дифференциальными операторами; если использовать теорию распределений, то большинство трудностей исчезнет, а остающиеся окажутся связанными в основном с граничными условиями, следовательно имеют физическую природу, Теорема.
Если А — ограниченный оператор, определенный на всем Н (т. е. Р(А)=Н), то имеется единственный ограниченный линейный оператор А', сопряженный к А, т. е. такой, что Р(А*) =Н и (А'и, о)=(и, Ао) для всех и, оЕ Н; кроме того, ((А'~(=!А(~; более того, если А и В удовлетворяют условиям теоремы, то (АВ)'= В'А* и (А')' (обычно записывается просто как А'*) совпадает с А. Докдздтвльство.
При любом фиксировзнном и скалярное произведение (и, Ао) является ограниченным линейным фуикционзлом ((о); возьмем в качес1ве Ачи единственный элемент, сущсствовзние которого гарантируется тсорс мой Рисса — Фрешс о предстзвлснии линевного функциоизлз (см. й (.З), такой, что ((о)=(А"и, о) для всех о; А"и линсйно зависит от и, значит А* — линей- 7.2 Салосоаряжеляые и цлишарные олерашорм 157 ный оператор в Н. Чтобы найти норму А', сначала выпишем следующие неравенства: )(А'и, о) )=) (и, Ао) )~а(иПАо)~~1и1$А1)о1, а затем положим о=А*и, что даст ()Аеи))з~~)и)(А)П Лен!), т, е. ))А п1~))А1(и)! зги; позтому )~ А*~)м (Л!). Помсняч местами А и Ае, из тех же рассуждений получим, что ,')А ~)~)(Ае(; следовательно, 1Ле!)=1А Р Доказательства остальных утверждений теоремы предоставляются читателю в качестве упражнения.
Дадим теперь более общее определение сопряженности, при котором от А уже не требуется, чтобы он был ограниченным или был определен на всем Н, и требуется только, чтобы он был линейным оператором с плотиной в Н областью определения Р (А). Определим сначала линейное подмножество Р'~:Н: пЕР' тогда и только тогда, когда имеется гпЕН, такой, что (гп, и)=(о, Аи) для всех иЕР(А). Это гн= ги(о) единственно для любого заданного п.
Доказагпелоство. Если гпт и ыг, †д элемента с таким свойством, то мы получаем, что (гпт — рю и) =О для всех и ЕР(А) и тем самым для всех и Е Н (поскольку скалярное произведение непрерывно, а Р(А) плотна в Н); это нерио, в частности, для и=гпг — гпю так что )тот — тп,(я=О, т. е. Нгт=тпз. Ясно, что ги линейно зависит от о, поэтому мы полагаем Р(А')=Р', Аеп=гп(п) для любого. ЕЕ Р'. Следовательно, чтобы получить А', нужно найти все пары (и, гп), которые удовлетворяют (7.2.1). Предупреждение.
Оператор А" может не существовать, так как Р(А*) может быть неплотным в Н, но даже если А ' существует, то он может не совпадать с А. УпРАжнение (. Покажите, что если А"" существует, то А ~ Аз. Сдлгма А + В двух операторов определяется равенством (А+В) и= Ап+Вп для всех о из области определения де1 Р (А + В) =.Р (А) П Р (В). УпРАжнение 2. Предположим, что Л+В определен на плотном в О множестве, тан что А*, В' и (А+В)* существуют.
Покажите, что (Л+В)е.:зАе+Ве. На ппимере покажите, что (А+В)* может быть собственным расширением А*-)-Ве, т. е. (А+В)'Ф А'+В'. докажите, однако, что если  — ограниченный оператор, определенный на всем гг, то'всегда (А-)-В)е=А'-(-В'. укизлнпе. Согласно общему определеникь для того чтобы определить (А+В)', нужно найти ьсе пары (о, ш), такие, что (о, (А+В) и)=(ш, и) длн всех и из Ю(А)ПР(В).
!58 Гл. 7. Линейные операторы о еиеобертоаам пространстве Следует отметить, что операторное сложение, как оно определено выше, имеет ряд несомненных недостатков. Область определения А+В может быть пустой (за исключением нуля). Более того, сложение в общем случае не ассоциативно, и в частности (А+В) — В не обязательно равен А, В некоторых работах сложение определяется только для операторов, имеющих одну и ту же область определения, например в качестве области определения берут С," или К, когда имеют дело с операторами в 7.е. При любом определении сопряженности А называется само- сопряженным, если А*=А.
Если А*=А, то (Аи, о) =(и, Ао) для всех и, о Е О(А), однако этого условия недостаточно для само. сопряженности А. Если просто (Аи, о) = (и, Ао) для всех и,оЕН(А) и еслибы(А) плотна в Н, т. е. если Ае:А*, то А называется симметрическим (или эрмитовым) оператором; В(А*) может быть больше Х)(А) — в этом случае А* является собственным расширением А. Если А* в свою очередь симметричен (что необязательно), то А' самосопряжен, т. е. А'*=А*; но вообще говоря, А'* может не существовать или может быть только А**~ А' (см. примеры ниже, в ~ 7.5).
Другое определение самосопряженности дается в 5 8.6. Если А имеет единственное самосопряженпое расширение А, то А называют существенно самосопряженным. На практике чаще имеют дело с А, чем с А: часто А легче описать, чем А. В гл. 11 рассматривается лапласиан; сначала определяется оператор, который обозначается А„область определения которого есть С," (Ин), и котоРый заДаетсЯ Равенством Аеео= Рея~ ДлЯ всех ег из этой области определения. Это гарантирует существенную самосопряженность А,. Область определения А, состоит из определенных распределений из Ге(кн), но ее нелегко описать.
Если У вЂ” линейный обратимый оператор и Н (У) = й (У ') = Н, то следующие условия эквивалентны: (Уо, Уо) =(о, о) для всех оЕН, (7.2. 2) (Уо, Уео)=(о, ео) для всех о, еоЕН, (7.2.3) (7.2А) (условие (7.2.3) получается из условия (7.2.2) по формуле поляризации (1.11.1), все же остальное очевидно). Оператор, удовлетворяющий этим условиям, называется унитарным; ясно, что '1У1=1. ~Заметим, что здесь нет необходимости использовать более общее определение сопряженности, так как (7 и У " ограничены и определены на всем Н,| 7.4. Интегральные енервтеры е Ее (и, Ь) Гас ПРИМЕРЫ В Гз (См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
