Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 36
Текст из файла (страница 36)
4. Оператор — ОИх)'+х' с выбранной должным образом областью определения в (.л (к) имеет чисто точечный спектр, состоящий из положительных целых нечетных чисел, каждое нз которых является простым собственным значением. Указание. Собственные функции (полиномы Эрмита) образуют полное семейство. 5. Пусть М вЂ” заданная (пхп)-ллатрица, и пусть А -оператор в Н== Р, который представляется бесконечной матрицей Л р+~, р+л=Мтм (1 й=1, ..., п, Р=О, 1, 2, ...) А„,=О для остальных г, з (см, рис. 8,1).
А имеет чисто точечный спектр, состоящий из конечного числа собственных значений, каждое из которых имеет бесконечную кратность. 6. Пусть А — самосопряженный оператор в Н=(л, матрица которого имеет вид (см. рис. 8.2) 1 при )=й+1, А = 1 при 1=й — 1, О при )ФЬЮ-~1. 'еуу 8.2. Примера н уираиеиении Отрезок — 2 (Х(2 является непрерывным спектром этого оператора, остальная часть вещественной оси лежит в резольвентном множестве.
Рис. 8Л. Ьесионечнаи матрице. Рис. 8.2, Другая бесконечная матрица. 7. Рассмотрим в Н=(е унитарный оператор А, описанный в $7.3 и отображающий $=(хо х„х„..., х,„, х,„+о ...) в Ае=(х„х,, хп х„х„..„х,„+„х,„о..,). Этот оператор не имеет точечного спектра, а его непрерывный- спектр совпадает с единичной окружностью на плоскости Х, 8. Операторы уничтожения и рождения в Н=(е, обозначаемые через а и а*, определяются следующим образом. Они имеют общую область определения Эе=ер(а) = еу(ач) =($=(х„хп х„...): ~чр~п~ х„~' < оо).
(82.1) Значения аее и а*$ определяются так: а(х„хо х„...)=(хо 1/2хм )/Зх„...), а'(х„хо х„...)=(0, х„~Г 2х,, УЗх„...). Физическая интерпретация в простейшем случае состоит в том, что вектор грч=(0,0, ..., х„=1,0,0, ...) представляет состояние физической системы из п частиц; в частности, гр, дает состояние вакуума. Действие операторов а и а* на эти состояния выглядит так: тр.=1 «Ч„» а'р.=-'и'и+1Ч„+о = l! Ге. 8.
Спектр и резоллеекта 178 Покажите, что а' — сопряженный а в соответствии с определением 3 7.2 (см. уравнение (7.2.!)). Покажите, что а'а — аа' = — 1 в том смысле, что для всех 5 в некоторой области определения Ре(~Р,) (которую следует найти) а'а$ — аа" с = — $. Оператор )т'=а*а с областью определения Р, называется оператором числа частиц. Его действие на состояние ер„оказывается таким: Ж~р„= п~р„. Докажите, что точечный спектр оператора а совпадает со всей комплексной плоскостью. Для этого найдите решение $л уравнения а$л = Л$л при любом ЛЕС и проверьте, что ЕлЕР.
Проверьте также, что точечный спектр а' пуст, показав, что для любого ЛЕС из уравнения а'5=Ц следует 5=0. Наконец, покажите (пользуясь соотношением (7.7,2) между нуль-пространством и областью значений оператора), что остаточным спектром а' является вся комплексная плоскость. а.з. спектР симметрическОГО, самОсОпряженнОГО И УНИТАРНОГО ОПЕРАТОРОВ Сначала предположим, что А симметричен, т. е. что Р (Л) плотна в Н и (и, Ало)=-(Ли, ло) для всех и,лоЕР(А) (тогда (и, Аи) всегда вещественно), н рассмотрим уравнение Ли — Ли=о. (8.3.1) Мнимая часть уравнения (и, Аи) — Л(и, и) =(и, о) есть — 1шЛ)1и1"=1гп(и, о).
(8.3.2) Отсюда следует, что если Л невещественно, то обязательно оФО, если взять и~О; следовательно, такое Л не может быть собственным значением Л и оператор А — Л имеет обратный. В силу неравенства Шварца ( 1 ш Л ( ) и Г = ~ 1ш (и, о) ) -" ! (и, о) ( ~ (( и 1 ) о (, но поскольку и=(А — Л) 'о, мы получаем ~)(А — Л) 'о)~((1А1шЛ!)(о (~. (8.3.3) Следовательно, для любого симметрического оператора А любое невещественное Л принадлежит либо резольвентному множеству, либо остаточному спектру, В.З.
Спектр оператора Предположим теперь, что А самосопряжен. Напоминаем (см. $7.8), что если Т вЂ” оператор с плотной областью определения, то замыкание е((Т) его области значений совпадает с Н(Т )1-, ортогональным дополнением нуль-пространства Т'. Поэтому для невещественного Л лс(А — Л) = Ф(Л' — Л)л, но А*= А, а Л не является собственным значением; следовательно, нуль-пространство оказывается пустым (за исключением нулевого элемента), а его ортогональное дополнение совпадает с Н.
Это означает, что область значений Л вЂ” Л, которая совпадает с областью определения (А — Л) ', плотна в Н и что любое невещественное Л принадлежит резольвентному множеству р (А), поскольку из (8.3.3) следует, что (А — Л) л ограничен, Кроме того, оператор [А — Л) ' замкнут, поскольку А замкнут (н, следовательно, А — Л замкнут), а график (Л вЂ” Л) ' — повернутый график оператора — А+Л и, значит,— замкнутый график.
Поэтому для ЛЕр(Л) резольвента есл = (Л вЂ” Л) ' определена на всем Н. Действительно, при любом Л, нс являющимся собственным значением, (А — Л) ' существует и имеет плотную область определения, т. е. остаточного спектра нет. Суммируем эти результаты: Теорема 1. Пусть А самосопряжен.
Тогда спектр а(А) лежит на вещественной оси; верхняя и нижняя полуплоскости находятся в резольвентном множестве р(А); остаточный спектр пусту для любого ЛЕр(А) область определения )сл=йл(А) совпадает с Н; для невещественного Л '1есл))( Ц1ш Л(. (8.3А) Рассуждения, при помощи которых была получена эта теорема, можно почти без изменений перенести на случай унитарного оператора У. Если так что о= алев, то 1 о 1" = '1 (7о (~' = ( Л )' ) о )" + 2 лсе (Ло, ео) + 1ю 1е.
Остальные рассуждения оставляются в качестве упражнения. (Чтобы получить оценку для ~!оЩю), нужно решить квадратное уравнение.1 В результате получается следующая теорема: Теорема 2. Пусть (7 унитарен. Тогда спектр о(У) лежит на единичной окружности ~Л~ =-1; внутренность и внешность единичного круга находятся в резольвентном множестве р(А); остаточный спектр пуст; если Л Е р(У), то область определения Рл = = есл(Л) совпадает с Н; для (Л)~1 ~~)7л) ( Ц1 — (Л1!. (8.3.5) .ию ГА 8. Спектр и рееольеепта Неравенства (8.3А) и (8.3.5) превращаются в равенства при замене знаменателя расстоянием от точки Л до спектра; в таком виде эти оценки можно обобщить на случай нормального оператора.
Оператор Т называется нормальньем, если он коммутирует со своим сопряженным (в строгом смысле; необходимо, чтобы не толька Т'Тх=ТТ*х для всех х, для которых определены обе части равенства, но чтобы Т*Т и ТТ' имели одну и ту же область определения, так что если определено Т*Тх, то ТТ*х также определено, и обратно). Самосопряженные и унитарные операторы нормальны.
Для ЛЕ р(Т) положим с1(Л, а(Т)) = 1п1 ()Л вЂ” р(: НЕа(Т)) (вместо 1п( можно поставить ппп, потому что спектр а(Т) является замкнутым подмножеством комплексной плоскости; см. З 8.5 ниже). Теорема 3. Если Т вЂ” нормальный оператор и еек — его резольвента, то для Л Е р (Т) ) йек)= 1/й(Л, а(Т)). (8.3.6) Доказательство приводится, например, в книге Като [!9661. В $8.5 будет доказано, что для любого оператора Л вместе с ЛЕр(Л) в резольвентном множестве р(А) лежит и внутренность круга радиуса )Рк) ' с центром в Л, т.
е. множество комплексных чисел р, таких, что (р — Л)(!)Як) '. Следовательно, ) Р, $) 1/е((Л, а(А)) (8.3.г) для любого оператора А вне зависимости от того, является он нормальным или нет. 8.4, ИЗМЕНЕНИЕ СПЕКТРА ПРИ РАСШИРЕНИИ ОПЕРАТОРА Если заменить линейный оператор А его расширением Л', то подмножества Ро(А), Са(А), Ра(А), р(А) комплексной плоскости изменятся. Например, хотя точечный спектр Ра(Л) пе может уменьшиться, он может увеличиться, потому что собственный вектор оператора А' может и не принадлежать Р(А).
Остаточный спектр /са(А) не может увеличиться (поскольку Э((Л вЂ” Л) ') содержится в .0((А' — Л) '), и если последняя область не плотна, то и первая не может быть плотной), но может уменьшиться. Различные возможности изменений указанных множеств изображены на рис. 8.3, что легко проверить. На этой диаграмме 5, — Яе означает, что данная точка Л комплексной плоскости, которая ранее была в Я„может оказаться принадлежащей множестгу Ее после того„как А заменено на А'. Действие стрелки внизу диаграммы можно проиллюстрировать на примере оператора Л радиального импульса квантовой меха- о.4.
Изменение сиектнра нри.расширении онеранатра 4з) ники (см. й 7.8). Именно, пусть Н=ьз(0, оо), и пусть А определяется следующим образом: О (А) = () ~ т'.и: ~' ~ Ле-, ~ (0) = О), А~ = — Ч'. (Поскольку 7'бра, функция ~ является непрерывной на (О, оо); значит, граничное условие ~(0) = 0 существенно.3 Сопряженный )т и (4) в(л р (4) Ро(л) Рис. З.З. Изменение спектра при расширении оператора. оператор А' является расширением А, его область определения включает элементы 1Р, которые не удовлетворяют граничному условию, а именно: 0(А')=(УЕ1.': ГЕ1.з), А'~ = — а)'. Легко видеть, что А симметричен, т.
е. что (А~, д) =()"., Ад) для всех ~, и~,(У(А). Он, однако, несамосопряжен, и не имеет само- сопряженного расширения; А*несимметричен, потому что(А'~, тт)— — (~, А'д)= — ()(0) п(0). Пусть ). принадлежит верхней полу- плоскости; если Х вЂ” собственное значение А или А', то собственная функция является решением уравнения — т~' (х) = Ц (х); следовательно, ~(х) =са1т", с=сонат. Эта функция является собственной функцией А' при (ш).) О, но не является таковой для А, поскольку она не принадлежит ,Р(А), если константа отлична от нуля, в противном же случае получаем ~(х) =О.
Однако ). принадлежит резольвентному множеству р(А) оператора А, в чем можно убедиться, решив уравнение — )'~' (х) — Х)' (х) = д (х) 182 Гл. 8. Спекеир и рееольеента при заданном дЕЖ Это решение есть к ~(х) =.1~ е'кое е'д(у) е(у; о оно единственно вследствие граничного условия ~(0)=0. Функция ) непрерывна", более того, если д имеет ограниченный носитель и 1шХ) О, то 1(х) экспоненциально убывает при х- оо и, следовательно, принадлежит 1Р(0, оо). Функции с ограниченным носителем плотны в 1.е, поэтому (А — ) ) ' существует и имеет всюду плотную область определения. Неравенство (8.3.3) здесь применимо, поскольку А симметричен; поэтому (А — Х) ' ограничен.
Отсюда следует вывод о том, что верхняя полуплоскость, с одной стороны, лежит в резольвентном множестве р(А) оператора А, а с другой стороны — в точечном спектре Ро(А') оператора А'. УПРАЖНЕНИЕ 1. Выясните, как связана остальная часть комплексной плоскости (1тпх~о) со спектрами операторов Л и А'. Замечание. Оператор А радиального импульса не имеет само- сопряженного расширения. Если бы оператор В был таким расширением, то А' был бы расширением В'=В, следовательно, были бы верны соотношения Р (А) с Р (В) = Р (В*) с Р (А'), где включения с являются собственными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
