Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Однако Р(А') является линейной оболочкой Р(А) и одномерного множества, содержащего, например, функции се ". Поэтому между Р(А) и Р(А*) нет места для Р(В), т. е. если бы Р(В) содержала хоть один элемент, не принадлежащий Р(А), то она содержала бы и всю Р (А'), значит, тогда бы В=А*, но А' несамосопряжен и даже несимметричен.
Дополнительные сведения по этому вопросу см. в 28,6 об индексах дефекта. Важным случаем расширения оператора является простая замена замыкаемого оператора А его замыканием А. В этом случае большинство стрелок в приведенной выше диаграмме исчезает.
Легко проверить, что в этом случае резольвентное множество не изменяется (однако область определения резольвенты Вм вообще говоря, увеличивается: нз плотного в Н множества она переходит во все Н) и что общая диаграмма сводится к следующей: Со(А)- Ро(А) — Ра(А). Если замыкание А замыкаемого оператора А является само- сопряженным, то А называют существенно салеосопряженным.
В этом случае А является единственным самосопряженным рас- 1вз ВХ Анаватинвокав оводотва резовьввнтм ширением А. Действительно, всегда если А ~ В, то А* =л В* (докажите!); поэтому другое самосопряженное расширение А„будучи замкнутым, является расширением оператора А (напоминаем, что А — минимальное замкнутое расширение А), но тогда из А ~ Ав следует А* ~ А;, а поскольку А," = А; и А'= А, то А ~ А;, т.
е. А = А;. Замена существенно самосопряжеиного оператора его замыканием оставляет все части спектра без изменения; единственное следствие этой замены состоит в том„что при 1л~ р(А) Р(1тл) увеличивается до всего Н. Вни АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОИСТВД РЕЗОЛЬВЕНТЫ Как и в конечномерном случае, резольвента Ял любого замкнутого оператора А удовлетворяет резольвентному уравнению Р— 17„)1(Л вЂ” (л)= г г (8.5.1) при )., )лир(А); это равенство можно проверить, умножив обе его части слева на (А — Х), что допустимо потому, что, во-первых, если любая часть применяется к произвольному и ~ Н, то результат принадлежит Р(А), и, во-вторых, оператор (А — )л) имеет обратный.
(Замечание. Для любого иЕ Р(А) 1тл(А — Ц и= и =— =(А — Х))7ли, однако 17л и (А — Х) не коммутируют в строгом смысле, потому что область определения (А — Х) Ял больше (а именно совпадает со всем Н), чем область определения 1тл(А — Х). Таким образом, Вл(А — Х) ~ (А — Х) Вл= 7. (8.5.2) Однако А — Х коммутирует с А — (л, а )тл — с )та.) Пусть теперь А — произвольный замкнутый оператор, а )л— произвольное фнксированное комплексное число из р(А). Мы покажем сейчас, что открытый круг радиуса )Вл) ' с центром в 1 также находится в р(А).
Это означает, что р(А) †открыт множество и неравенство (8.3.7) справедливо. Мы найдем также разложение )т„в ряд по 1л для 1л из этого круга. Именно, пусть )л таково, что ве! а = ! 1л — Х ! ~! 1тл ~ ч, 1. (8,5.3) Определим последовательность операторов В„=В„(1л) равенством В„= Рл+(1л — ~.) Йл+ ° ° ° +(1л — 2~)" Йл (8.5 4) и покажем, что В„1са при и- оо. Для любого иЕН и для и 1 '1' В„и — В,и ~ ~ (и'"'+ и'+'+...
+ав) ~) Яли '1 (8 5 5) Гл. 8. Спеюпр и резоллееняа 184 поэтому (В„и) является последовательностью имеет предел, который линейно зависит от оперзтор, который мы обозначим через В: Ви= 1пп В„а (ти~Н). л -~ Более того, поскольку выражение в скобках ляет собой сумму геометрической прогрессии, в том, что Коши и при и — оо и. Это определяет в (8.5.5) представ- нетрудно убедиться !!Ви ~=!пп !В„и !! — !!11х !!!! и!!, (8,5.6) так что В является ограниченным оператором. Если умножить левую часть (8.5.4) на А — р, правую часть (8.5.4) — на А-р, = — (А — Х) — (р — Х), а затем просуммировать правую часть, то в результате получится (А — р) В.
= 7 — (р — )~)" +' Ж+' ° Поэтому для любого иЕ Н (А — р)В и- и при и- оо, а мы видели, что В„и- Ви при и- ео, и поскольку (А — р) — замкнутый оператор, получаем, что Ви Е Е0(А), рддр(А) и В=(А — 1л) = В„, вто и требовалось доказать. Более того, из (8.5.5) и (8.5.3) сле- дует, что (и, Р„о) = ~л (р — Х)'(и, Дх~'о); е=о ' следовательно, (и, Лио) является аналитической функцией аргумента р. В частности, е((и, Л'ио)/Ф!и-х= (и, ВФ)' интересно, что резольвентное уравнение (8.5.1) дает тот же самый результат, потому что 1 11х1 !!ои!!~~ ~ 1, 111ох!~ ° (8.5.7) [Из (8.5.5) следует, что !!„— В,!/- О при п, 1- со; значит, !' — В,!~- О при 1- оо.
Говорят, что В„сходится по норме к В. Различные типы сходимостн операторов будут рассматриваться в следующей главе.] Из (8.5.4) следует, что для ).Ер(А), !р — 1!(!!Вх!! ' и для любых и, о Е Н (и, Д„с) является суммой сходящегося степенного ряда, 18 8.6. Рассиирсиил симметрических операторов так что справа получается (и, 7с1о), если предположить, что (и, йги)с„о) непрерывно по р.
В 5 9.7 будет показано, что 17х(А) можно саму по себе рассматривать как операторнозначную аналитическую функцию от )ч и что, например, д)сггс1Л=)слг. Примеры явных выражений резольвенты ссг(А) для некоторых операторов А будут приведены в гл. 10 и 11. В.б. РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭПИ. ВТОРОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОСТИ В !929 г. фон Нейман разработал довольно полную теориго возможных симметрических расширений симметрического оператора (т. е.
оператора А, определенного на всюду плотном множестве, такого, что (Аи, о)=(и, Ао) для всех и, о~Е1(А)). Примеры, приведенные в гл. 7, показывают, что такие операторы мокнут не иметь самосопряженных расширений, могут быть самосопряженными или, более общо, могут иметь единственное самосопряженное расширение (в этом случае они называются существенно самосопряженными) илн много различных самосопряженных расширений. В этой связи важную роль играют индексы дефекта, которые мы сейчас определим. Прежде всего если М вЂ” какое- либо линейное многсюбразие, то его караэмерносто, обозначаемая сойш М, определяется как размерность его ортогонального дополнения Мх. Это либо неотрицательное целое число, либо трансфинитное кардинальное число — мощность (которая в сепарабельном гильбертовом пространстве может быть только д,).
Если А— симметрический оператор, то его индексами дефекта называют числа (т, п), где т =сод!швх(А+ с), а а=сод!шлг(А — г); ясно, что т и и описывают размеры того, чего нехватает областям значений операторов А ~ г (точнее, замыканиям этих областей) для пополнения до гильбертова пространства Н. В 9 8.3 было показано, что А — )ч имеет ограниченный обратный оператор при 1ш),~О; следовательно, число г (или — г) принадлежит резольвентному множеству р(А), если пг=О (или п=О), и остаточному спектру !со(А), если т > О (или гг > О).
Следующзя лемма показывает, что числа ~г в определении индексов дефекта взяты произвольно: их можно заменить любыми чнслами ).г и )чм из которых первое лежит в верхней полуплоскости, а второе — в нижней. Лемма. Если Т вЂ” любой линейный оператор, определенный на плотном в Н нножесгпве, гпо сойщ)7(Т вЂ” к) не зависит от )ч (т. е. является константой) в любой связной области гглоскости )ч, в которой Т вЂ” А имеегп ограниченный обратный оператор. Гл.
В. Спектр и реэолввенма 186 (Доказательство см. у Ахиезера и Глазмана 11950, Э 781.) Следствие. Если Т симметричен, то соц1ш й (Т вЂ” Х) имеет постоянные значения т и п в нижней и верхней полуплоскостяк. Более того, если Т вЂ” Х имеет ограниченный обратный оператор при некотором веи(ественнол~ Х, то т= и. Теперь допустим, что Т вЂ” симметрический оператор с индексами дефекта (т, п) и мы хотим найти все самосопряженные расширения А оператора Т, если таковые существуют. Если такие расширения существуют, то Т по меньшей мере замыкаем и без потери общности можно предположить, что он замкнут. (Доказательство.
Если оператор А — самосопряженное расширение Т (и, значит, замкнут) и если последовательности Коши (и„) и (Ти„) с и„ЕР(Т) имеют пределы о и ю, то и, ЕР(А) и Ти,= = Аи„(п = 1, 2, ...); следовательно, ш = Ао, та к что п редел 1ппТи„зависит только от 1!ши„, значит, Т замыкаем,! Кроме того, предположим пока, что т=п и даже что те и( . (Мы увидим потом, что Т не имеет самосопряженных расширений, если т=,ма.) Очевидно, что Т+1 — также замкнутый оператор, а это указывает на то, что область значений Т+1 является замкнутым линейным многообразием. Чтобы убедиться в этом, возьмем последовательность Коши (и„) элементов 77(Т+1); поскольку (Т+1) ' ограничен, элементы ш„=(7+ 1) 'и„образуют последовательность Коши и и„= (Т+ 1)ш„; оператор Т-(-1замкнут, следовательно, 1пп ю„Е 0 (Т+ 1), а 1цп и„Е 1с (Т+ 1), поэтому й(Т+ 1) замкнута.
Преобразование Кэли Р' симметрического оператора Т определяется аналогично преобразованию Кали эрмитовой матрицы, именно Р(~') =лс(Т+1), )то=(Т вЂ” 1)(Т+1) 'ш для всех гоЕР()'). Если (Т+1) 'ш= и, т. е. ш=(Т+() и, то )ав=-Ти — 1и; следовательно, ( йо )в = (Ти — (и, Ти — Си) = ( Ти Г+( и (' = (со(', потому что (Ти, и)= (и, Ти), т. е. (Ти, 1и)= — (1и, Ти). Таким образом, преобразование ги — 1Ъ является взаимно однозначным изометрическим отображением 1с (Т+() на лс(Т вЂ” 1) или просто (для краткости) — изометрией. (Заметим, что если ( 1~в( = ~, 'иэ( для всех шЕР($'), то (1~и, ЪЪ)=(и, ээ) для всех и, вЕР()7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
