Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Если Ч»(ш) не удовлетворяет неравенству типа (9.5.9), то ее граничные значения на окружности !ш(=1 являются не распределением, а аналитическим функционален. Пусть А — класс пробных функций ф(п»), аналитических на единичной окружности; точнее, пусть каждая ф(п») из А аналитична па некотором кольце 1 — е С !ц») к,, 1+ а, которое содержит единичную окружность. Последовательность («р„) из А сходится к ф если найдется такое кольцо 1 — е, < ~ и»! «.
! + з„на котором все ф,(а») аналнтичны и иа котором они сходятся равномерно к ф(щ). Аналитическим 4унк»4исналсм Г' на единичной окружности называют непрерывный линейный функционал <1, > на А; это обобщение понятия распределения на единичной окружности. Последовательность аналитических функционалов((„)сходил»ся к (, если <1'„«р;»- <1"., »ру для любой «РЕА.
Основной результат этой теории состоит в том, что если ~р(а») аналитична иа круге !и») к. 1, то найдется такой аналитический функционал ~, что »р,(0) - Г(0) при г- ! в смысле определенной выше сходимости аналитических функционалов.
Более подробное изложение теории см. у Джонсона !19601. В настоящее время неясно, в какой степени аналитические функционалы могут заменить распределения в задачах математического анализа и в физических приложениях. Теория локальных свойств является, по-виднмому, более трудной, потому что носитель пробной функции ф Е А обязательно содержит всю единичную окружность, есля только»р р'= О.
Гл. р. Саек<аральное равлоаоеаие оаераторов В связи с обращением утверждения, что граничные значения аналитической функции <р (<а) являются распределением или аналитическим функционалом р, мы должны учитывать, что вещественная и мнимая части р не независимы, поскольку, они являются следами на !и<~= 1 соответственно функций Ке<р и 1ш<р, которые при !<а~(1 удовлетворяют уравнениям Коши — Римана, т. е.
являются сопряженныл<и гармоническими функциями, В частном случае, когда <р (га) непрерывна при )<р((1, оказывается, что р(0) <р(а<в) <р,(0), и функция <р получается из ~ при помощи интеграла Пуассона: р„(0) - ~ Р„(0 — (У(1) М, о где Р За 0 — Зе сов <+ е9 ' ( ) 9.5.1! Выражение в правой части уравнения (9.5.10) представляет собой свертку, поэтому мы можем записать <р =Р а!'; (9.5.12) в таком виде эта формула справедлива в<обще для любой функции <р(щ), аналитической при !<а((1, где р — след этой функции на )<а! 1 (аналитический функционал) и где свертка аналитических функционалов определяется так же, как и свертка ра=.
пределений. Поскольку ядро Р„ вещественно, вещественная и мнимая части ч (и<) и р в (9.5.10) и (9.5.12) разделяются, и в действительности (9.5.! 2) устанавливает взаимно однозначное соответствие между вещественными гармоническими функциями <р(г, О) и вещественными аналитическими функпионалами 1 и в связи с этим между комплексными гармоническими функциями (которые не предполага<отея аналитическими, т. е. вещественные н мнимые части которых не обязательно являются сопряженными) н комплексными аналитическими функционалами. Е<ли р — распределение, то <р(ш) удовлетворяет неравенству (9.5.9) для некоторых С и й.
В качестве последнего примера рассмотрим преобразование Лапласа медленно растущих распределений на В с носителями в 10, оо). Напоминаем, что если 1(1) — непрерывная функция, определенная для ! ) 0 н прн ! — оа удовлетворяющая неравенству )~(1) ! < сопз! е"', то ее преобразование Лапласа Р (г) = ) а *е 1 (1) <Ц о аналитично в полуплоскости Вег > а. Если р(1) — функция мед. ленного роста на бесконечности, то можно взять <в=О.
9.Ю. Функции а раелредезеееаа Пусть Г=Г(Г) — любое медленно растущее распределение па ес с носителем в 10, оа). Пусть 1(.(Г) — функция класса С", такая, что она равна единице при г'=»О и нулю при г( — 1; см. рис. ее 1 9.4. Для любого г с Бег> 0 функция <р,(Г)=)1(1)а-ее принадлежит У. Более того, (1/а) йр,+„— ср,) ~ е(ер,/е(г (при а — О); поэтому функция ае Р (з) = <г, р*> (9.5.!3) аналитична в правой полуплоскости Кег) О. Она называется преобразованием Лапласа от г. Так как 1'=0 на ( — са, 0), Р(г) ъ(й 0 Рис. 9.4.
Функпия К Р]. не зависит от поведения функции )1(1) на ( — 1, 0). Пусть теперь ф(д) — любая пробная функция из еу'. Для любого х > 0 Ь $ Р(х+гу) ф(у)е(р=-<Г, Ч'>, О где Ч' (1) =- у (Г) )г е <к+си е ф(у) е(у а Ясно, что %,1) )/ 2пт,(1) ф(1) при х- О, Ь- со, и — са. Поэтому при х 0 (1Ф'2п) ~ Р(х+гу)ф(р)е(у — <~, ХФ>=<~2, ф>=<~,~»=<~, ф>. Таким образом, граничные значения функции (2п)-и'Р(х+ер) на мнимой оси, полученные при х10, являются распределением которое представляет собой преобразование Фурье данного распределения ~, Гл. 9.
Снекенральнве равльхсение онереннврав РАЬ РАЗЛОЖЕНИЕ ЕДИНИЦЫ ДЛЯ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА В этом параграфе мы покажем, что из теоремы 9 9.4 следует существование семейства операторов Е,( — < г' < оо), которое называется разложенисль единицы для оператора А, н используем операторы Е, для упрслцеиня формул (9.4.2) и (9.4.3). Чтобы подтвердить зависимость от элемента о из ет, перепишем формулу (9.4,3) следующим образом: о (Ф) = о (г'; о) = — Игп $ 1ш (о, лг,+мп) е(з = еле = — [(о, К+ело) — (о, Д,+цо)~с(з (9.6.1) (здесь было использовано свойство )с, ь,=Я,'„е).
Последний интеграл равен интегралу от (о, лсхо) по контуру на плоскости Х, состоящему из двух полупрямых С, и С„параллельных вещественной оси и проходящих на расстоянии з выше и ниже ее, как показано на рис. 9,5. Заменим Сг и С, эквивалентными контурами С; и С;, изображенными на рис. 9.6, а затем устремим а к нулю. В результате получим о(1; э)=(1у(2н()) ~ (о, Рьо)ЛХ, (9.6.2) о и) где С(Г) — контур, проходящий от точки — ос+(гл по прямой в верхней полуплоскости, пересекающий вещественную ось ори К=(, а затем идущий к — со — еа по прямой в нижней полу.
Рнс. 9.5, Исходные контуры, плоскости, и где интеграл понимается в смысле главного значе-' ння Коши, т. е. как предел при е 1 0. Иэ формул (9.4.2) и (9.4.3) легко видеть, что этот предел существует в любой точке непрерывности а(1). Точки разрыва о(1) (их множество не более чем счетно) требуют особой процедуры, при которой удовлетворяется У.б. Рааоотенне единицы дпп еаноеопрнменного операгпора 207 условие нормализации (9.4.4): интеграл (9.6.2) вычисляется при С =1+6) 1, затем 1' устремляется к 1 по точкам непрерывности о. На эту процедуру будет указывать обозначение С(1+) для контура интегрирования. Рнс, 9Я.
Измененные контуры, Функция о(г, и, и), зависящая от вещественной переменной 1 и для элементов и и и из Н, определяется путем поляризации о(1; о)~ о о(1; и, о)=(1(4)~~~,1 но((; и+(ои). (9.6.3) Поскольку поляризация (о, Дно) дает (и, Дно), мы имеем о(Г; и, о)=(1((2пг)) $ (и, Янп)ИХ. (9.6.4) о и+] Прн фиксированных 1 н и в правой части стоит полулнпейный по и функционал, и поэтому он равен (и, го) для некоторого однозначно определенного фиксированного а~С Н, что следует из теоремы Рисса — Фреще о представлении; очевидно, что получающийся таким образом щ линейно зависит от о, так что ю=Е,и, где Е,— линейный оператор, определенный при любом веществеяном Г, т.
е. о(Г; и, и)=-(и, Е и); следовательно, (и, Егв) = (1((2ти)) 1 (и, (сне) йо. (9.6.5) с и+) Семейство операторов (Е,) ( — оо (1( оо) называется разложением единицы для самосопряженного оператора А, Замечание. В конечномерном случае„когда А — эрмитова матрица, а Ях=(А — ) () ', выражение (9.6.5) дает Е,=',~,,Р~, где суммирование осугцествляется по тем значениям 1, для которых Х~ < 1, т, е. Х( окружены контуром С(1+).
В агом случае Ег Гл. У. Снектральное раолонеение онераторое является (матричнозначной) ступенчатой функцией, а выражение А =-„УХ~Ре можно записать как интеграл Стилтьеса А= ~ге(Е,; это и есть в точности та формула, которая будет получена для произвольного самосопряженного оператора А в Н (формула (9.8.2) ниже). Равенство (9.6.5) часто ааписывают просто как .Ее — — (1/(2п()) $ Яье()ь, (9.6.6) Сне1 что в конечномерном случае верно всегда, а в бесконечномерном случае тогда, когда интеграл берется с использованием подходящего типа сходимости операторов (см. 5 9.9).
Из теоремы 5 9А следует обращение этого соотношения, которое выглядит так: (в, )7ьо) = ~ — е((о, Еео) при 1ше.~ О. Поляризация этого равенства дает формулу (и, Яхв)= ) — хН(и, Еев) еи, о, 1 (9,6.7) или ! )еь — — ') — е(Е„ (9.6.8) где в определении интеграла снова используется подходящий внд сходимости операторов. Э.Т. СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ Ее В приложении А, в конце данной главы, доказывается, что се. мейство операторов (Е,) обладает следующими свойствами. 1. Лля любого вещественного значения параметра 1 оператор Е,— ограниченный, самосопряженный и идемпотеитный оператор и, следовательно,— ортогональиый проектор.
2. Если з <1, то Е,Е,= Е,Е, =Е,. Отсюда следует, что если для каждого Т М,— область значений оператора Еп то М,~Мо когда з <1; кроме того, отсюда следует, что (Е,— Е,)'=Е,— Е„ так что Е,— Е,— ортогональный проектор; фактйчески Е,— Е,— ортогональный проектор на ортогональное дополнение М, в Мп а именно на многообразие, обозначаемое через ЛеЯМ, и состоящее из всех тех о из Л,, которые ортогональны всем и из М,. Проектор Е,— Е, соотносится с интервалом Л (э, Т) 9.8. Каноническое нреосмаввение самосонрюсенноео оаераовора 208 вещественной оси и обозначается Е(Л); его область значений— многообразие М(Л) =М,ЯЛ,.
Если Л| и Л,— непересекающиеся интервалы, то Е(Л,)Е(Лв) =О, поэтому М(Л,) ) М(Л,). р4ы увидим далее, что проекторы Е(Л) в определенном смысле аналогичны проекторам Р~ для конечномерного случая, а М(Л) аналогичны соответствующим собственным подпространствам Ер, по крайней мере когда интервалы Л достаточно малы. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
