Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(Унитарный оператор, полученный при помощи преобразования Кали, имеет то преимущество, что может быть определен без использования спектрального разложения А и что уравнение и = (А — г) (А -1- Г) ' можно разрешить относительно А.1 В качестве другого примера возьмем )" (Г)=И(. Тогда )'(А) ограничен и самосопряжеи. Если А рассматривается как наблюдаемая в ква>>товой механике, то ) (А) — эквивалентная ограниченная набл>одаемая. Аппаратура для измерения Г" (А) та же, что и для измерения А, только дополняется простым компьютером для вычисления 1)гг от измеренных значений А.
Наблюдаемая Г'(А) дает ту же информацию, что и А, потому что 1 всегда ьюжпо получить из Г'(Г). Такое представление о наблюдаемых окажется полезным в гл. 14. Если отоб>ражение г'- 7(Г) взаимно однозначно на вещественной оси г, как и во всех приведенных выше примерах, исключая ) (Г) = ег"', то (9Л0.4) можно переписать следующим образом. Пусть 6 — кривая на комплексной плоскости, заданная уравнением г=г(1) ( — оо <1< со), а д — функция, обратная Г, т.
е. 1 —.-д(г). Тогда на О определяется семейство ортогональных про. екторов как Р,=Е „„где (Ег) — разложение единицы для оператора А. При этом (9.!0.4) переходит в формулу 1(А) = ~ ег(Ра. (9.10.6) 5 В частности, взяв функцию 7 (Г) =(1 — г)/(1+т), получим, что любой унитарный оператор, для которого единица не является собственным значениелц характеризуется разложением единицы (Р,), определенным на единичной окружности и": ) г) =1.
В этом случае Р, обычно записывается как Ро, где а=е>а (следовательно, Г = — с1п (0)2)); поэтому каноническое представление унитарного оператора имеет внд и = ~ е>о г(Р„ (9.10.7) в где семейство (Рв) обладает свойствами 1 — 4 $ 9,7 с заменой интервала ( †, оо) на интервал (О, 2л). Упражнение 1. Г1ока>квте, что еслв /(0 ограничена, то суммы Римана — Стклтьеса, соответствуюшве интегралу (9.1ОА), сильно сходятся к ) (А), Пря каких обстоятельствах ояв сходятся к ) (А) во норме> Дробные степени неотрицательного самосопряженного оператора можно определить после следующего краткого иредварительного рассмотрения. Гл: У.' Спевпральноо розлоягение оперотороа Теорема.
Если А — самосопряженный оператор, Е, — соотеетствуюи(ее разложение единиь(ы, а о — единичный вектор ())о'1=1) из области значений проектора Е,— Е„где а < (о, то а<(о„Ао) <(о. (9.10.8) Доказательство. Неубываюцьая функция (о, Еоо) равна нулю при ( <и н равна единице ори ( > Ь, Позтону ь+о ь — (о,Ао)= ~ (ь — Ол(о, еоо)~0; о-о второе неравенство доказывается аналогично. Эта теорема показывает, что спектр А лежит в замыкании числовой области значений, так как если (,— такая точка, что Е, не постоянна на любом интервале (г,— е, г,+е), то (о с точностью до любого е > 0 можно аппроксимировать величиной (о, Ао), где о — единичный вектор. Теорема показывает также, что если А неотрицателен, то Е, = 0 при ь' < О, иначе можно найти такой вектор о, что (о, Ао) <О.
Поэтому если А >О, то функция 7(А)= Ам' и вообще А'" (и>0! может быть определена как А" =) (ойЕп (9.! 0,9) о где подразумевается положительный корень (о. В частности, если Т вЂ” произвольный замкнутый оператор с плотной в Н областью определения, так что Т"Т определен и самосопряжен по теореме фон Неймана, упомянутой в й 7.9, то (Т'Т)ы' является самосопряженным (и неотрицательным) оператором, который часто можно рассматривать как своего рода абсолютное значениеТ.
Однако он отличается от (ТТо)мо, если Т не является нормальным оператором. Теперь рассмотрим так называемое полярное разложение общего оператора (сначала для случая ограниченного оператора А, определенного на всем Н), Пусть Я = (АоА)ыо; Я неотрицателен. Ое~ Обозначим через Я ограничение гг на Н()с) = М(лг)л-=Р()ч), где Ф вЂ” нуль-пространство. (Этот этап построений необязателен для случая положительного, а не просто неотрицательного лс.) Поскольку любой элемент ар ~Н можно записать как ге=и+о; где и ЕР()ч), а о ЕМ(гс) и, значит, лсгр=)7и=лси, то очевидно, что Й и )чо имеют одну и ту же область значений, а именно Р()с).
Поэтому )ч отображает Р(Ф) взаимно однозначно на себя. Положим ог= А(к ', Р()г) =Н()с) =Р(Т(). Вй! !)ривояв, А к ел. р. Свойства опвроморвв Ег Тогда для любого о из Н УЯи= АЯ г)~о= Ао. Замечание. М(гс) =ДГ(А). Теперь У вЂ” изометрическое отображение своей области определения на свою область значений (совпадающей с областью значений оператора А), потому что если и — любой вектор из Н()с) и ги=гс 'о, то !о )к = ) )сщ )и = (тсср, гсги) = (щ, )с'гп) = (ги, А'Аги) = = (Лги, Лги) = ~ Аги )!з = !) А Ф го ( = ) )Ъ !™ и, следовательно, У изометрично. Определим теперь оператор У как расширение У на Н, получаемое так: Угр=бдляпг ) Н(г(). Такой оператор У называется часгличио изометрическим.
Очевидно, что !!У,'! = 1, исключая случай нулевого оператора А. Вывод. Любой ограниченный оператор А можно записать как Л = Угс, где )1 > О, а У вЂ частич изометрический оператор. Это разложение единственно, если потребовать, что Угр= О для гп ) Н(гс), Если Ар~О для оные, то оператор гс ) О, а оператор У унитарен. Этот вывод справедлив и для неограниченного, но замкнутого оператора А с плотной в Н областью определения; см. Като [1966], а также б 7.9. Разложение Угс называется полярным разложением А. Если У вЂ” унитарный оператор, то его всегда можно представить как ехр(РЭ), где !9 — самосопряженный оператор.
Поскольку самосопряженные операторы соответствуют вещественным числам, выражение А = Угс напоминает выражение г = егог для произвольного комплексного числа г. Уполжнания 2. Покажите, что если У частично изометричен, то У' также частишю изометричеп. 3. Докажите, что любой ограниченный оператор А можно записать такие нак А',Уг, где !гг=(ААв)ггв, а Ух — частично изометрический оператор, Приложение Д и главе Р. СВОЯСТВД ОПЕРАТОРОВ Ег Прежде всего докажем, что для каждого Г оператор Е! является ограни- ченным.
По теореме из 4 9.4 О -а(Г) ~С(о,'!з для всех б где С вЂ” постояи. ная, т. е, о (!) =о (б и) =(о, Его) ~С(о(з. При поможи поляризации получаем (см. также (!.1!.3)), что 1 (и, Е о) ! ~ 4С !! и 1!! а после подстановки и=Его н сокрашения одного множителя получаем !Его(вй4С(о1, т, е. Ег — ограниченный оператор (что следует также из теоремы о замкнутом графике, поскольну Еги определено для всех и из гг); ниже будет доиазаио, что константу 4С можно заменить единнцей, Гл, 9.
Спеки(ролевое разложение олерал(оров Так как а ( — оэ)=0, ясно, жо Е „— нулевой оператор; сейчас мы пока. [кем, что Е+ „— единичный оператор 1. Дан этого возьмем в (967) и = (А — )2)ю, )де ю — произвольный элемент Р (А); тогда [Аю — ),юэ Ех о) =(ю5 (А — ),У) Ех о) =(м, о) = [1Д( — )5)[([(Аю — Ъо5 Егэ) = [ [155(! — )(Ц 5((Аю, Е(о)+ + ) [ — Х/(1 — ХН() (ю, Е, ).
Далее, (Аю, Е(о) и (ю, Е(о) были получены поляризацией функции о((; з), которая (как функция от 1) имеет конечную полную вариацию; следовательно, и они имеют конечную полную вариацию. Поэтому прн й-ь(пп первый нн. О теграл стремится к нулюэ а второй — к ) 5((ю, Е(о) =(ю, Е„о), значит, (ю, г)= (п5, Е и) для всех н5йР(А)( ио Р(А) плотна в Н, поэтому о=Е о, анэчс говоря, Е =), что н следовало доказать.
Дли любого ( оператор Е( самосоиряжен, потому что о (1; о) вещественна, и поэтому функция а(1; и, о), полученная поляризацией, удовлетвариет урво- нению о (1; о, и) =а ((; и, о), т. е. (о, Е(и)=(н, Е(о) =(Е(о, и)5 В поскольку Е( огранвчен и определен на всем Н, отсюда получается Е,'= Ер Покажем теперь, что для любых вещественных чисел з и 1 Е(Ел = Е5Е( = Еп5(п(5, () Сначала предположим, что з ~ 1, для определенности з < Н тогда 1 Р ! (и, Е,Е,и)=(Е,и, Ело)= —, ~ Я (Е(и, Ехо)= = —. 1 (0,(и, Е(Яхо)= =2н(,) 2н(,) 0 (5+) С(эт) 1 (2и()1,) — — Ж' ~ ())((и )[нЛхо)= С(5+) С((э) (9.Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
