Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Метод преобразования Фурье используется в следующей главе для изучения оператора Лапласа и некоторого интегродифферен- циального оператора. Мы заключаем этот параграф некоторыми замечаниями об операторе преобразования Фурье У . В случае и измерений (К1) (х) = 1(х) = (2п)-"М ) ...) е-'" "'1(х') Их,'...ь(х„'. (10.3.7) нь Его резольвентой (для Ль!) является 1(х) =(Еьи)(х) = — „, ~Льд(х) +д( — х)+Лед(х)+Лд( — х)1, (10.3.8) йзо Гл. Уа.
Обмтсоагнные дифференциальные операторы ибо легко видеть, что тогда агу — Ц=й, если вспомнить, что д(х) = д( — х). Упрлжнннин 1. Формула (!0.3.8) показывает, что вся плоскость Хг кроме !точен Х=.ь1, ~с, является резользентным множеством оператора преобразования Фурье Т. Поэтому соответствующее разложение единицы Р, определенное на единичной;окружности ! г1=1 (слс. (9.10,7)), является ступенчатой фуннцней со скачками в точках г ж1, ~1; сиачки суть проекторы Рь Р т, Рь Р с. Найдите эти проекторы и проверьте, что У. = ~ Р„с= г=с,с, -с, -с г=!.с.-с, -с Покажите, что этот оператор СГ' не является преобразованием Кали самосо. пряженного оператора А, но таковым является Рг( Я'.
Найдите А. Найдите также собственные функции оператора ет в одномерном случае, для чего сначала поканснте, что гаусснап соответствующей ширины ниварнантсн относительно преобразования Фурье, затем покажите, что если ((х) — собствевная функция, то Т (х) х хс (х) — также собстеенаая функция, н используйте свойства функций Эрмита. тй.4. РеГуляРный ОпеРАтОР штуРмА — лихвилля Допустим, что р(х) и с)(х) — вещественные функции из классов С' и С соответственно для а х "Ь и что р(х) ) О.
Обозначим через Т„ оператор Т,7 = — (р(')'+ а(. (1 0.4.1) Согласно 8 5.4, если (' принадлежит юа, то ру' и с)7 являются распределениями, а поэтому и Т,7" — также распределение (но не обязательно принадлежащее 7,з). Рассмотрим граничные условия а~ (а)+())' (а) = О, 77 (Ь)+ б)' (Ь) = О, (10.4.2) где а, р, у, б — вещественные постоянные, причем а и р не являются одновременно нулями (у и б также не являются одновременно нулями). Оператор А типа Штурма — Лиувилля в гильбертовом пространстве 1.з = 1.з (а, Ь) теперь определяется следующим образом: ~(А) =(с Ес.'. Т,с ч!', 1 удовлетворяет (10.4,2)) (10 4 З) А1 Т,1, ~Ею(А). (10.4.4) (Заметим, что поскольку ! ~ с'.з, с)1'ЕА', откуда (р(')'Е(.з, а слЕ- довательно, )с — непрерывная функция и граничные условия (10,4,2) имеют смысл.1 Методом й 7.5 легко показать, что А самосопряжен.
Будет показано, что А имеет чисто точечный спектр с собственными значениями ),, такими, что ( Х ( — оо при оо (на самом деле Х~-э+ со). Будет показано, что резоль- ТО.Е. Сди!гснмананиь и единсн>ьснньинь решения ез! вентой оператора А является компактный интегральный оператор, ядром которого является функция Грина оператора А — А; согласно $ 8.6, существование резольвенты для всех невещественных 7. дает другое доказательство самосопряженности А, поскольку он, очевидно, симметричен.
Симметрия А является следствием формальной са>насопрязсенности Т„под которой имеют в виду, что если интегрирование по частям справедливо, то ь ь ~ ~Тьй йх = ) дТь~ с!х+ Граничные члены. (10.4.6) и О Иногда вводят в качестве третьего коэффициента функцию г(х), считая ее непрерывной и положительной на (а, Ь1, и записывают уравнение для собственных значений в более общей форме: — (И')с+И=) 1. (10.4.6) Вто эквивалентно введению оператора о„определяемого так: Я = (17г)[ — Фь)' + 4!1, (10.4.7) который формально самосопряжен в гильбертовом пространстве 7',(а, Ь), где мера и задана посредством с(п(х) =г(х) йх, так что скалярное произведение имеет вид ь (7, й)=~~(х)д(х)г(х)йл.
(10,4.8) Ясно, что при надлежащем выборе р(х), д(х) и г(х) самый общий оператор второго порядка можно записать в форме (! 0.4.7), так что суть теории Штурма — Лиувилля заключается в выборе скалярного произведения, относительно которого рассматриваемый оператор формально самосопряжеи. Выбор гильбертова про. странства, разумеется, дело физики, и вышеупомянутый выбор отражает важность самосопряжепности во многих физических приложениях.
Хотя форма (10.4.7) часто удобна для вычислений, для развития теории достаточно более простая форма (10.4.1), которая и будет использоваться в остальной части данной главы. Таль СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ. интегиипьнОе уРивнение. сОБстВенные Функции Хотя все величины в формулировке данной задачи вещественны и иет никаких упоминаний об аналитичности, а р'(х) и д(х) не обязательно дифференцируемы, теория аналитических функций играет важную роль в анализе свойств рассматриваемого оператора.
Решение одноточечной граничной задачи для оператора 232 Гл. 10. Обыкновенные диффереициальяые операяюры Т,— )ь аналитически зависит от )ь, как показывает следуи!щая лемма. Лемма. Для заданных значений ф(а) и ф'(а) и для любого вещественного или комплексного )! ди44еренциальное уравнение т,ф = — (рф')'+ оф = йф (10.5.1) имеет единственное решение гр(х, Л) для а -х(Ь, которое для данного х является целой 4ункцией Х. ~Замечание, Зто гр в общем случае не принадлежит Р(А).1 Доказательство. Обозначим ф' через ф. Тогда дифференциальное уравнение эквивалентно следуюн!ей системе интегральных уравнений для ф и ф! к р (х) !Р (х) = р (а) !р'а+ ~ [д (х') †Х[ !р (х') !(х , (10.5.2) ч ( ) = р(а) + $ р (х') е '. а [ Ьзф(х) [, [Ь (р (х) [~ Мз (х — а)з ттз( для всех хе[а, 51 и всех хцК.
следовательно, ряды ф(а) + ~ Ьзф(х), !р' (о)+ ~ Ьзф(х) з= ! 5 ! (! 0.5.4) (10.5.5) сходятся равномерно по х и д, поскольку частичные суммы мажорируются частичнымн суммами степенных рядов для экспоненты в соответствии с (10,5 4). Таким образом, ряды (10.5.5) можно интегрировать почленно, а отсюда следует, что их пределы удовлетворяют интегральным уравнениям, жо н требовалось доказать,' Зги уравнения решаются итерационным методом Пикара, согласно наторел!у ф и ф заменяются на ф, и ф, (з=о, 1, 2, ...) в подынтегральных выраже- ниях и на ф,ч.! и ф,+, в левых частях уравнений. функции <р,(х) и ф,(х) принимают равными йулю; тогда !р, (х) н ф! (х) равны константам !р(а) и ф(а), и затем доназывается, что !рз(х) и фз(х) сходятся при з со и что прсдель- ные функции удонлетворяют интегральным уравнениям. Именно, пусть К вЂ” лю- бое компактное мвожество в плоскости Х, и пусть И=!пах ( зп,! '"' -' .
1~ р (х) где супремум берется для всех х и х' из [а, 5),'и для всех Х из К, Введем обозначения Ь !р=фз+! — !ра, Ьгф=фз.„! — тп; тогда х [Ь,+зф(х) [е=;М ~ [Ь,<р(х') [Ех', (10.5.3) [ь,+тф(х) 1~ д( 1 [ьеф(х ) [ех'. О Если, кроме того, ш=гпах[[ф(а)[, [ф'(а)!), то при помаши индукции по з получим, что 10.6. Реаольаениш. Функции Грили Длн доказательства единственности используем (10.5.3), опустив индексы и приняв за йф и аф соответственно разности ф — ш и ф' — ф' длн двух решений одноточечной граничной задачи, и покажем, что допущение Афро ведет к противоречию.
Аналитическая зависимость от Л появляется как простой побочный результат. Из (10.5.2) видно, что частичные суммы (10.5.5) являются полиномами от ь, и рады сходится равномерно по д на лкбом компактном лшожестве ц' в плоскости ь. Из теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимостн аналитических функций (см. книгу Кновпа [1945, $191) следует, что ф(х, ь) длн данного х является целой функцией от ь. Теперь допустим, что заданные величины ~р (а) и тр'(а) фиксированы (т. с. не зависят от Х), не равны одновременно нулю и удовлетворяют левому граничному условию аср (а) + «Мр (а) = О.
Тогда Х является собственным значением А тогда и только тогда, когда правое граничное условие Т~р (5, Х) + бср' (5, Х) = 0 также удовлетворяется. Левая часть этого уравнения является целой функцией Х и не обращается тождественно в нуль, так как А — симметрический оператор и потому не имеет невещественных собственных значений. Нули целой функции, не обращающейся тождественно в нуль, представляют собой изолированные точки, следовательно, собственные числа Ху оператора А будут вещественными числами без предельных точек, Единственность гр(х, Х) для любого Х показывает, что пространство собственных функций одномерно.
10.6. РЕЗОЛЬВЕНТА. ФУНКЦИЯ ГРИНА. ПОЛНОТА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ Перейдем теперь к построению функции Грина. Можно поменять ролями концевые точки а и 5; поэтому существует другое рещение Х(х) =Х(х, Х) уравнения (10.5.1), имеющее заданные фиксированные значения Х(5) и Х' (и), которые удовлетворяют правому граничному условию ТХ(Ь)+5Х'(й) =0. Из (10.5.1) следует, что вронскцан Хдф1дх — фдХ/дх двух решений для данного Х есть константа, умноженная на 1гр(х). Следовательно, можно определить функцию й(Х) для Х, которое не является собственным значением, с помощью уравнения й(д)Р(х) ~Х(х, Х) д' — тр(х, Х) й' ~ =1. (10.6,1) 234 Гж 70. Ояыхюеееиие Ви4ХЬереаяааеьеае ааерпморы Для Х, не равного собственному значению А, функция Грина имеет вид ! Ф(х, Х)11(У Х). 6(, у)=а(, у; й)=Ь())( ' ' ' " (10.0.2) ( т(х, Х)<р(у, ь), х»у (ач х, у Ь). Для любого фиксированного у функция б(х, у) удовлетворяет граничным условиям при х=а и х=Ь; кроме того, оператор Т,— Х, будучи применен к 6(х, у), дает нуль для всех х~у, но не для х=у, потому что К не является собственным значе- нием (фактически дб/дх имеет разрыв при х=у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
