Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Постоянные се и с, называются предельными числами функции 7'(х) относительно данных решений и, и и,. Выражение (10.13.4) можно также записать в виде Г(х) = и, (х) !с, + ~р, (х)! + и, (х) !с, +-~р, (х)1, где ~р, (х) и ~р,(х) стремятся к нулю при х оь. Уточнения се и с, вызывают того же сорта ограничения на ), что и уточнения 7(а) и 7'(а) при конечном а: для заданных ),„и» и, и для любых Х Е С существует в точности одно решение уравнения Т,~ =Ц, имеющее заданные значения сг и с,, Более того, при фиксированных с, и с, это решение является целой функцией к. Главный результат (доказательство см.
в книге Йоргенса и Реллиха (1976)) состоит в следующем: Теорема. (1) Пусть Х„и, (х) и и,(х) заданы, как указано выше. Если А — любое самосопряженное расшнрение минимального оператора Т из (!0.8.2) в случае особой точки типа предельной окружности на бесконечности и граничного условия типа (!0.13.1) при х=О, пю существует вещественное число К такое, что предельные числа с, и с, лесбсго элемента / в Р(А) удовлетворяют условшо с, соя (1+ с, я! и р = О. (10.13.6) 10.14. Случай двух особах хонпеоах точен Обратно, при любых вещественных сс и р оператор А„в, определяемый так: 1Э(А е) = [с'ч(-" Т УЕ(.х, (10.13.1) и (10.13.6) выполняются), (1О. 13.
7) А вг=т.[ авляется самссопряженным расширением оператора Т. (2) Если Л„и, и и, заменить любыми Л„и, и и„причем Л, также вещественно, а и, и и,— линейно независилсьсе вещественные решения уравнения Т,и= Л,и, то значение [1 для данного оператора, вообще говоря, получится другим, но семейство самосопрявкенных расширений оператора Т останется тем же самым. В силу и. (2) теоремы целесообразно для простоты брать в качестве и, и и, решения уравнения Т,и=0.
14.14. случАЙ дВух Осовых кОнцеВых тОчек Допустим, что рассматриваемый оператор имеет особенности на обоих концах интервала (а, Ь). (В частности, мы можем иметь или а= — оо, или Ь=+оо, или и то, и другое вместе.) Для того чтобы классифицировать какой-то конец, скажем х=а, мы вводим промежуточную точку с (а < с <Ь). Если все решения уравнения Т„7"=Л~ для каждого Л квадратично интегрируемы на (а, с), т. е.
принадлежат л.'(а, с), то левая концевая точка х=а имеет тип предельной окружности. В противном случае существует только одно решение (с точностью до постоянного множителя) в Е*(а, с) для каждого невещественного Л и а имеет тип предельной точки. Правая концевая точка х=Ь классифицируется аналогично. Мы покажем, что если обе концевые точки имеют тип предельной точки, то в граничных условиях вообще нет необходимости и оператор А, для которого 0(А)=(~ЕЕ.'. Тч~Е(.ч), А~=То~, (10.14.1) самосопряжен.
Если одна концевая точка (или обе) имеет (имеют) тип предельной окружности, то в ней (в них) необходимо ставить граничное условие. Вообще говоря, спектр может состоять из дискретной и непрерывной частей, но Коддингтон и Левинсон [1955[, а также Йоргене и Реллих [19761 показали, что полностью дискретный спектр получается в том случае, когда для оператора Т, реализуется тип предельной окружности на обоих концах и на каж-' дом конце ставится граничное условие типа (10.13.6). Этот результат незначителыю перекрывает регулярную задачу Штурма 250 Гл. ХО. Обыкновенные ди(хререннипльные ояеролюры ,)(иувилля в том смысле, что если р(х), р'(х) и г)(х) непрерывны в конечном замкнутом интервале 1а, Ь), то для той же задачи в открытом интервале (а, Ь) (т.
е. задачи, в которой мы игнорируем значения х=а и х=Ь) на каждом конце имеются особые точки типа предельной окружности, поскольку все решения уравнения ТД = ЛГ' квадратично интегрируемы на (а, Ь), Упплжненив 1. Покажите, что нз уравнения Штурма — Лиувилля — (р (х) р (х))'+ д (х) Г (х) = ц (х), выполнив преобразование х — ~ у=у(х) и положив ) (х)=т(у) у(у) с 9 (у), выбранной надлежащим образом, можно получить уравнение Штурма — Лиу- вилля - (р (у) у' (у))'+ у (у) у йй = Лу йй Найдите Ю(у), р(у), д (у). (Заметим, что сь-норма не сохраняется: в обшем случае ) )/(ьг(хж ) )у)ьоу.) Покажите, что если у(х)=!Гх, то регулярная точка х .=О первого уравнения преобразуется в особую концевую точку у= сю второго уравнения типа предельной окружности.
Когда обе концевые точки а и Ь имеют тиц предельной точки, разложение по собственным функциям аналогично проведенному в З !0.12, за исключением того, что спектр имеет кратность два, т. е. могут быть две линейно независимые собственные функции для данного собственного значения, а также две линейно нева.
висимые собственные функции (не в (.а) в данной точке непрерывного спектра. Поэтому в разложение по собственным функциям входят два коэффициента Ьг(з) и Ь,(з). Вместо спектральной функции р(з) мы имеем теперь спектральную матрицу размера 2х2 с матричными элементами р,„(з) (1, Ь=1, 2). Соответственно таким характеристикам р(з), как вещественность и не- убывание, спектральная матрица является эрмнтовой, фактически вещественной и симметричной, и неубывающей в том смысле, что для з' ~ з матрица руз(зу) — р,а(з) положительно полуопределенна.
Рассмотрим вопрос более детально. Пусть Г,(х, Л) и (,(х, Л)— решения уравнения Т,Г = Ц, удовлетворяющие вещественным граничным условиям в некоторой точке сЕ(а, Ь), причем р (х) 1(т (х) Г; (х) — Г, (х) Д (х)1 = 1. Тогда длЯ любого Л с 1шЛФО потРебУем, чтобы Гз и (а были РешениЯми УРавнениЯ ТьД=-ЛГ, пРинадлежащими Еь(а, с) и Ь'(с, Ь) соответственно, и представим их в виде Г,(х, Л) = у, (х, Л) + т (Л) ), (х, Л), ~, (х, Л) =- )г (х, Л) + п ().) )ь(х, Л), 10.!4.
Случай даух аеайби лааяемлх вечеа где т(Л) и л(Л) мы определяем очень похоже иа то, иаи определяли т (Л) в з 10.12, а именно полагаем т (Л) = Вш ~ ', л (Л) =!ни ' ' . (10,14.3) !л (х, Л) х б ~ч~х Из аналога уравнения (!0.9.6), считая в нем Ь сначала положительным, а затем отрицательным, получаем, что !щт(Л) н 1тп л (Л) не равны нулю при 1тпЛФ 0 и противоположны по знаку. Поэтому, когда обе концевые точки имеют тип предельной точки не существует решения уравнения Тб/= Л/, принадлежащего л б для невещественного Л, и мы можем теперь показать, что опе» ратор А, заданный в (10.14.1), является самосопряженным.
Прежде всего если допустить, что А' не равен А, то А' был бы по крайней мере ограничением А, так как нетрудно видеть, что оператор, сопряженный минимальному оператору Т, заданному посредством 1) (Т) =С~, Тт'= Т,1, равен А (см. 10.!4.!). Поэтому А* равен Т", т.
е. равен замыканию Т, которое содержится в А. Но А не имеет невещест. венных собственных значений, следовательно, индексы дефекта Аа равны (О, 0), откуда с учетом замкнутости А и А' следует, что А'= А. Вместо формул (10.12.6) и (10.12.7) для разложения функции у(у)~7.'(а, Ь) по собственным функциям мы имеем (см. книгу Коддингтона и Левинсона (1955!) б Й (з)=~1т(у, з)и(у)Ф (1=1, 2), (10,14.4) а д(х) = ~ ) 7т (х, з) Ьб (з) бра,(з). (10.14.5) Наконец, вместо формулы (10.12.4) для р имеем г М !) = !'щ 2га ~ (Мтб (з+ 'е) 54тб (' !е)) бз, (10.14.6) где ! ~ 2 т(Л)+а(Л)~ тб 2!т!Л) — а(ЛВ (,т(Л) ! л(Л) 2т(Л)л(Л) / Примеры будут рассмотрены в следующих двух параграфах„ Часто суммирование в (10.14.5) обходится введением новой периа менной вместо з=Л или эквивалентным действием.
Например, для оператора — (г(/дх)' имеются две собственные функции не» прерывного спектра для каждого Л) О, а именно ебгб", но нМ можно записать в виде е"", где теперь новая переменная а= $~!» меняется от — со до ао. «0.1в. Зернвненне Беееевн Символ — указывает на то, что данное асимптотическое представление имеет силу при «- сс. В отличие от соответствующих функций в предыдущем параграфе функции ), н «в не являются целыми функциями Л при фиксированном «, но аналитичны в плоскости Л с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси. Из асимптотических представлений илн из разложений около «=0 мы находим, что вронскиан имеет значение Ыв — Ы;= 1.
Как н в 2 10.14, в случае 1шЛ~ 0 мы обозначим решения, квадратично интегрируемые вблизи нуля и бесконечности, соответственно через 7в (х, Л) = 7', (х, Л) + «и (Л) ~, (х, Л), ~„ (х, Л) = ), (х, Л) + п (Л) )в (х, Л). (10. 15.5) Тогда ~,)';-7',7';= и (Л) — «л (Л), а функция Грина будет иметь вид ув (х, Л) Г'в (у, Л), х ( у, б(х, у) =6 (х, у; Ц = (Л) — " (~) ~ (х, Л) «, (у, Ц, (10.15,7) Нам известно, что )««У,(л«) прн 1=-1 квадратично интегри- руема в любом интервале (О, с), тогда как )««1', (й«) не является таковой из-за особенности У, при «=О. Поэтому ~в=~в, т.е. «л(Л) =О.
Для того чтобы определить л(Л), введем функции Ган- келя Н'," (г) = 2, (г) + 1)', (г) )' 2~(лг) е" ' м 'и", — н-унуа-н~4> (10.15.8) Н)н ( ) У ( ) 1«( ) ),«2~( ) -8 Н-сн)в-н/4) Ясно, что для получения решения, квадратично интегрируемого на (с, сс), нужно взять «в пропорциональной функции ~г«гН)и (й«) при 1шй > 0 и пропорциональной )/ «Н'," (и«) при 1шй (О. Для Ке7е > 0 по предположению 1шн имеет тот же знак, что и 1тЛ; следовательно, «и(Л) =О, л(Л) =1з(дп1т (Л).
(10.15.9) Обсудим теперь спектр оператора Аи Прежде всего, поскольку ) «,7,(Л«) не интегрируема квадратично на (О, сс) при любом й, собственных функций (в строгом смысле) не существует, т.е. точечный спектр пуст. Для Л (О можно взять )г=1)« — Л, где имеется в виду положительное значение квадратного корня, и г',=)«лг/2Н',с (й«).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
