Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Тогда из (10.15.7) нетрудно установить, что интегральный оператор' (А,— Л) е= ) 6 (х, у) ... е(у ограничен. 4 Гл. ХО. Обыннооенные дифференциальные опера»норы (О 0) для !<О, (Рта('» = (/и 0 О О для (РО (10.15.! 0) Итак, разложение по собственным функциям для заданной функции д(г) ~О(0, ао) имеет внд й (з) = Ь, (з) = ) )» ~тг(22 ()» зг) д (г) е(г, (10,15,! 1) а у (г) = (1/л) ~ )» пг(2,7, ()» зг) й (з) е(з.
(10.15,12) а Согласно Титчмаршу [19451, этот результат принадлежит Гаикелю. При 0<! < 1 точка г=О имеет тип предельной окружности. Поэтому существует много самосопряжениых расширений ьненцмального оператора, соответствующего Ты зависящих от граничного условия при г=О, которое следует брать из физических соображений. Не затрагивая общий случай, мы лишь отметим, что при 1=0 в задаче о приведенном волновом уравнении р'и+ о)-йеп = 0 в двух измерениях разумным требованием является самосопряжеиность 7а как оператора в пространстве Е.' (к').
Ч'огда, как будет показано в следующей главе, хотя ~, н (, ограничены и помому квадратично ннтегрнруемы на (О, с) для любого с <оа, решение И (е) = 1', (нг) следует исключить нз-за логарифмической особенности при г= О. После этого все приве- Следовательно, отртщательиая вещественная полуось плоскости»а принадлежит резольвеитному множеству, и мы приходим к выводу, что спектр полностью непрерывен н лежит на полуоси (О, оо).
Разложение по собственным функциям задается формулами (10.14.4) — (10.14.7) $10.14, но со следующей модификацией. Когда ). пересекает отрицательную вещественную полуось, претеРпевает скачок не только л(Е), но и фУнкции (г и 1, (тогда как и (Х) = — 0), причем таким образом, что функция Грина 6(х, у; е) остается ненрерьтвной при этом переходе Х через полуось, потому что отрицательная полуось принадлежит резольвентному множеству, а функция Грина является ядром резольвенты (А,— )а) ', которое непрерывно на резольвентном множестве. Поэтому 6(х, у; а+уз) — 6(х, у; з — !а) — 0 при е О.
Следовательно, р,н(!) определяется формулой (10.14.6) для г:а 0 и является константой для ! <О. Принимая эту константу рав. ной нулю, получаем 1О.Ы. Ураалеилг Бесселя денные выше формулы имеют силу при 1=0. Отметим мимоходом, что в соответствующей задаче о релятивистском водородоподобиом атоме с орбитальным квантовым числом 1 = 0 требовщгие, заключающееся в том, чтобы волновая функция была конечной в начале координат (как т',(ят) в нашем случае), было бы неприемлемым (гамильтоииаи не был бы самосопряжениым, и не существовало бы вообще никаких собственных функций); см.
9 10.17. Из-за нулей в матрице (10.15.10) второе решение 7, (10,15А) пе входит в разложение по собственным функциям. Поэтому спектр является простым (кратность равна единице). Это следствие свойств функции гг (х, Ц. В самом деле, Йоргене и Реллих 1!9761 доказали для любого оператора Штурма — Лиувилля на х-нитервале (а, Ь) следующую теорему. Теорема. Пусть тг — открытый прямоугольник в плоскости Л, сгт нметпричньгй относительно вещественной оси (см. рис.
10.1) и содержащий интервал (Лгэ Лг), в котором нети собстпвенных значений оператора А. Доп(~тип, что существует решение 71 (х, Л) уравнения Тт(=Л(, такое, чпго (1) Гг аналитична по Л в () и вещеслгвенна для вещественного Л1 (2) ни для какого Л ~ (С 71 как 4ункг4ия х не обращается тождественно в нуль; (3) 11Е1.'(а, с) для всех ЛЕД при некотором с, а<с(Ь. Тогда спектР опеРатоРа А в 1Лгэ Ла) имеет кРатность (1.
Ясно, что в условии (3) й'(а, с) можно заменить на Е.'(с, Ь). Рис. 10.1. Диаграмма Лла теоремм Йьргеиса в Реллиха. Замечание. Кратность, равная нулю, означала бы, что в 1Лг, Л,) спектр пуст. Применение данной теоремы читатель найдет в следукицем параграфе. 2И Гл. 1Р. Обыкновенные дигргрергнциальяые олераторы УпРАЖНЕНие. 1. Рассмотрите задачи на собственные значення для уравнения (1О.!5.2) на ннтсрвалах (О, а), (а, Ь) н (а, со). Найдите соответствующее разяоженяя но собственным функциям. 16.16. нерелятиВистсиий ВОдОРОдОЛОдОвный АтОм Уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона в кулоновом поле с фиксированным точечным зарядом Ле в начале координат записывается в виде йа хек — — Тем+ — 'и=Еи 2т г (в обычных обозначениях). Здесь нет никакого безразмерного параметра. Путем подходящего выбора единиц длины и энергии это уравнение можно записать в виде — 7'и — (2!г) и =Ли.
Разделением переменных можно получить решения специального вида и=)с(г) 8(6)ФОр) в сферических координатах г, 9, гр. Обозначая ггс'(г) через у(г), получаем радиальное уравнение следующего вида: Т.'1 = — Г+ 1 —,, — — ) 1' = Л(, г Г1(1+11 2 Х (10.16.2) где 1 — неотрицательное целое. Это задача Штурма — Лиувилля на (О, оо). Как и в задаче об уравнении Бесселя, в данной задаче имеет место случай предельной точки на бесконечности для всех 1 и этот же случай при г =0 для 1=1, 2, .... Для 1=0 в нуле имеем случай предельной окружности. Для 1=1, 2, ... оператор А„определяемый формулами О(А,)=(~~(-'(О, оо): Те~б~,а), Агам=То~, (10.16.3) самосопряжен. Для 1=0 в точке г=О необходимо поставить граничное условие: оно может быть взято в виде (10.13.6) и зависеть от параметра йЕ(0, л).
Самосопряженный оператор с таким граничным условием мы обозначим через А,д. Для 1) 1 собственные значения оператора А, суть Л,= — 1,'о', п=(+1, 1+2, ... (10.16А) (формула Бальмера для энергетических уровней); все они являются простыми. Обозначим через аарон (г) соответствующие нормированные собственные функции, которые можно найти в любой книге по квантовой механике. ИЬ пи Иереввтовоетекиз водоро1воододнмд оовм Йоргенс и Реллих [!9761 исследовали собственные значения операторов А„з и обнаружили, что они лежат в интервалах ! 1 (10.16.6) Для одного значения (), именно р=0, по Йоргенсу и Реллиху Х„достигает верхнего предела интервала (10.16.6).
Отсюда следует, что в этом случае формула Бальмера справедлива также и для!=О. Рассматривая полный гамильтониан — ре — 21г, можно показать, что р=О дает физически корректное граничное условие (см. следующую главу). Йоргенс и Реллих доказали следующие свойства спектра для !) 1: (1) собственными значениями оператора А, являются лишь те числа, которые дает формула Бальмера (10.16А); (2) на полуоси Х < О нет непрерывных частей спектра, т.с. любой интервал на ) <О, не содержащий какого-либо значения (10.16.4), принадлежит резольвентному множеству; (3) неотрицательная вещественная полуось ). ~~ 0 составляет непрерывный спектр; (4) этот спектр простой.
Решением уравнения Т,7=)7 является функция 7(г, Х)ь ге+'С ""'Р(1+1+11)е Х, 21+2, 21')юг), (10,!6,6) где )Г). обозначает главную ветвь квадратного корня (! зги) Л (< < п72), а Р— вырожденная гипергеометрическая функция Куммера Р(а, с, г) =,Р,(а; с; г)=~~', е")", го, (10.16.7) о=о где (а),=1, (а)„=а(а+1)...(а+л — 1) для и> О. (10.16.8) Это решение ) (г, е) является аналитической функцией в плоскости с разрезом )агдд) <и при фиксированном г, оно квадратично интегрируемо по г на (О, с) (с о) для любого ); наконец, несмотря на свой внешний вид, это решение вещественно для вещественного е..
Поэтому простота непрерывного спектра следует Из теоремы предыдущего параграфа. Согласно Йоргенсу и Реллиху, разложение по собственным функциям для данной функции а(г) из е.е(0, оо) имеет вид а (г) = ~~~ с,ф„е(г) + ~ ~(г, з) й(з)е(р (з), (10.16,9) о=1+1 О 258 Гв. дп Обыкновенные ди44еренциаввные онериамры где с„= ) ~р„,(г) д(г)е(г, о Ь (з) = ) ! (г, з) я (г) е(г, о а спектральная функция р(зГ задана формулой е( (з) = — (2Р' и)ее+*е"~ ' +' 1 '" сЬ.
(10.16.!2) Эти формулы справедливы и для 1= О, если н граничном усло- вии для оператора А,з положить 6=0. (10.16.11) еалт. ввлятмвмстским водоаодоподовнмм «тоха В релятивистском случае имеется безразмерный параметр а=аеЯ, причем ав=ее/(г1с)=(137.03) ' Исходя из физических соображений, можно считать, что формулировка этой задачи теряет смысл для Я ж137, и мы принимаем 0 <а < 1. Как будет показано в следующей главе, имеются две радиальные функции 7(г) и д(г). Выберем в качестве единиц длины и энергии й1(епс) и епс' соответственно; тогда уравнения для ! и д запишутся в виде (Л+1+ — ",) 7 — д' — '+'д=О, (0<г<ои), (10.17.1) (Х вЂ” 1+ф) д+!'+ — 1, ар=О где й — целое число, отличное от нуля, а !.— энергия. Исклю. чение одной из функций, скажем г, приводит к уравнению второго порядка для другой функции, именно й +Рд'+()й=О. (! 0.17.2) гда Рг= —— 3 1+! (Х+1) г+и ' а,+а (а+!) „(10.17.3) (~+ ° ! ' + з!(х+1) + 1' Это уравнение можно формально принести к самосопряженному виду — (ря')'+ е!д= О, положив р(г) =ехр) Р (г) е(г, е! (г) = — р(г) Я (г).
Однако этот результат не имеет вида уравнения Штурма — Лиувилля вследствие того, что параметр Х (собственное значение) 70.17. Реаатитеетекиб аовородоаодобиыб итам 259 входит в уравнение весьма сложным образом. Тем не менее, как показали Роос и Сангрен [1982], можно воспользоваться идеями предыдущих параграфов. Введем двухкомпонентный вектор ~ ) и оператор Те следую. щим образом: ' а ' †(г?)' Ь?е 1 — ?г д ' В силу симметрии входящей сюда матрицы видно, что оператор формально самосопряжен относительно скалярного произведения (( ), ( ')) 1 оь.~-еееее, ое.175! а уравнения (10.1?.1) принимают вид т() 1( ) (10.17.6) Допустим теперь, что 1 и и удовлетворяют этим уравнениям.
Умножим первое уравнение из (10.17.1) на ~, второе — на д, сло- жим их и, умножив на г', проинтегрируем по г от а до Ь (0(а<Ь(оо). Затем проинтегрируем член, содерясащий (гй) (г1)', по частям. Большинство полученных членов вещественны, н, взяв всюду мнимые части, мы найдем, что ь 1гпХ~ Ц(~'+/д~')еое(е+[е'1гпд(г)?(еЦь=О. (10.17.7) а Положим теперь а=-1 и допустим, что существуют два реше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
