Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 52
Текст из файла (страница 52)
ния (мы будем отмечать пх индексами 1 и 2), такие, что 7,(1) = О, 1, (1) = 1, д, (1) = 1, д,(1) = О. (10.17.8) Тогда общее решение (с точностью до постоянного множителя) имеет вид (10. 17.9) со тветствующий (10.9.4), пРичем и — комплексное число. Под. ставим это решение в (10.1?,7). Из начальных условий (10.17.8) следует, что 1гпд(1)~(1) =1гпт, и поэтому ае1 -1ши+1шХ ~ (~11'+~9(') г'-е(г =Р(пь; Ь) = — Ьб 1гпд(Ь)7'(Ь) 1 ~ Л ~ ен 1е+ В Ке ш + С 1ш ел + О, (10.17.10) 260 Гл. РЛ Обыкновенные дифферекривеькые вкерапюры как в (10.9.6) — (10.9.8), где теперь Л = — Ье 1пз де (Ь) )е (Ь) =1гп Л ) () )е )е+ ( де () ге е(е.
(10.17.11) ! Далее теория совпадает с изложенной в 3 10.9 — 10.14, за исключением того, что гильбертово пространство е.е(а, Ь) заменяется гильбертовым пространством Н(а, Ь) со скалярным произведением типа е.е, заданным формулой (10.17.5). В частности, здесь применимы свойства концевых точек типа предельной точки и типа предельной окружности. Легко видеть, что концевая точка г= ао имеет тип предельной точки. Из уравнений (10.17.1) следует, что Г и д асимпготически ведут себя или обе как еа", или обе как е Р", где р= =.)Г! — Ле.
Значит, лишь в одном из этих случаев осуществляется квадратичная интегрируемость на (1, оо) для 1тЛчьО. Концевая точка е=О, как видно из (!0.17.2), (10.17.3), будет регулярной особой точкой уравнения для д. В обозначениях (10,10.2) Р,=З, Я,=сев — ее+1. Поэтому определяющее уравнение (в котором теперь показатель обозначается через у, а ие через и) записывается в виде (у + 1)' -1- ае — /ге = О, откуда у„у,= — 1~)е Ье — а'. При малых г два решения уравнения (10.17,2) ведут себя, как й(г) -гт и д(е) -гть Допустим теперь, что а () '3 4, т.е. Я(118 Квантовое число А представляет собой отличное от нуля целое, и значит, йе) 1. Мы видим, что у, > — '(„уе ( — е1е. Поэтому ~д~'г' интегрируемо на (О, 1) для у=у„но ие иптегрируемо для 7=7,.
Следовательно, в г=О имеет место случай предельной точки, а оператор, определяемый формулами в(А).=(( )ен(0, ): т.( )еиГ А( )-т.( ), самосопряжен без каких-либо граничных условий. Для )е 3!4(и(! (119:2(137) в концевой точке к=О все еще имеет место случай предельной точки при ~й!) 1, но он переходит в случай предельной окружности при А=~-1, поскольку тогда оба показателя уг и у, больше или равны — '/„ так что для всех решений д )д!'ге интегрируемо на (О, 1). В этом случае для каждого невещественного Л решение, ведущее себя подобно е-"' (р=)I 1 — Ле, Ке!е > О), принадлежит Н. Поэтому индексы дефекта минимального оператора, основанного на Т„ равны (1, 1), и для получения самосопряжениого оператора требуется граничное условие при к=О.
Физически приемлемое граничное условие будет обсуждаться в следующей главе. Глава Ы НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Гамильтонианы Шредингера в Днрака для свободной частицы и водородоподабного атома; гамильтоннан Шредингера для атомов с и электронами; само- сопряженность и свойства спектров; резольвента и разложение единицы для лапласиана; относнтельно ограниченное возмущение самосопряженного оператора; существенный спектр; абсолютно непрерывные и сингулярно непрерывные спектры; непрерывный спектр в смысле Гильберта; абсолютно непрерывные н сингулярно непрерывные подпространства; задачи о релятивистском водородоподобном атоме для различнык значений Гн саносопряженность н спектр лапласиана в ограниченной области пространства.
Пред»прите»а»ме с»едгиия: гл. ! †!О. В согггветствующих единицах гамильтонианом свободной частицы Н является оператор кинетической энергии — '!,7з в Кз. Для системы М тождественных частиц гамильтониан представляет собой оператор †'(»7з в К», где и= Здг. Гамильтониан Шредингера получится добавлением члена потенциальной энергии. В данкой главе рассматриваются самосопряженные варианты этих операторов.
Для случая одной частицы (электрона) в кулоновом поле (водородоподобный атом) рассмотрен также релятивистский гамильтаниан (Дирака). 11.1. САМОСОПРЯЖЕННЬЛ ЛАПЛАСНАН В П» Пусть и — любое распределение на К», и пусть 7*и — распределе- ние, заданное формулой / дз дз т 7'и=~ —,+... + —,~и, (1! .1Д) д.„ ~ ° где производные понимаются в смысле теории распределений. Когда оператор 7з ограничен подходящей областью определения в гильбертовом пространстве Ез (Р»), он самосопряжен. Более точно мы покажем, что оператор Н, определенный посредством ал(Н) = (и ЕЕ': 7'и Е Еа), Ни= — г/,7зи, (11.1.2) самосопряжен. Это будет сделано при помощи преобразования Фурье рассмотренного в Э 10.3.
Обозначим через У оператор преобразования Фурье в 1.*, так что если и~1.з, то й=Уи также принадлежит Ез. Пусть Й обозначает преобразование Фурье оператора Н, т. е, Й=ННи*, Н=и йи. Ге. Н. //епоепорае оперпп1орое в нвпнмовой механике 262 Таким образом, если о=-ни, то й= Йй. Ясно, что Нсамосопря- жен тогда и только тогда, когда Й самосопряжен. Но Й легче описывать. Мы покажем, что если и=и(х) — любое распределе- ние в О(//) и й=и(у) — его преобразование Фурье, то распре- деление '/,(у('и(у) является преобразованием Фурье оператора Ни= — '/,Уеи. Это, очевидно, справедливо, если и=я, где ~р— пробная функция в д'=д'(кп), ибо тогда ер(у) (2п)-про ~ ) е- ех х(р(х) е(пх и поэтому после выполнения двух интегрирований по частям (что вполне оправдано, поскольку ~РЕЮ') мы получаем '/, ( у (е ер (у) = (2п)-пее ) ...
) е-'х " 1 — '/ел е ~р (х)) «(пх. Если и — любой элемент из ае(н) и о=ни= — '/,Те и, то для любого ер Е д' (й ер)=(ио, иЧ)=(р ер)=-( — '/~Т'и, ер)=-/ее, — '/,у'ер), где последнее равенство следует из определения производной распределения. Следовательно, (й. ер)=(ип. — '/,иу'Чр)=(й, '/,Чу|'и/) согласно предыдущему результату, и поэтому (о, Ч ) = ('/, ! у (е й, ер). Все эти шаги, разумеется, можно обратить, и мы видим, что йЕ0(Н) тогда и только тогда, когда (у(ейЕ/.е, т. е. ее(//) =(йЕ/.'. (У!ейЕ/е), Йй='/е(У(ей. (11.1.4) Далее '/,)у)е — вещественная непрерывная функция у, и в конце 2 7.5 было показано, что оператор, определенный таким образом при помощи вещественной непрерывной функции, самосопряжен.
Отсюда мы заключаем, что Н также самосопряженпый оператор. Для а=2 и п=-З, согласно замечанию в 2 5.13, любое и в области определения оператора Н является кепрерывной функ- цией и стремится к нулю при (х( — по, ТКЗ. РЕЗОЛЬВЕНТА, СПЕКТР И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРОЕКТОРЫ Если /7л — резольвента (Н вЂ” Х) ' рассматриваемого оператора Н, то оператор ес»= и/7ли' (1 1.2.!) является резольвентой (Й вЂ” Х) ' оператора Й, так как (Й вЂ” х)- =(ини.
7)- =(и(н — д) и*)-*= =(и)- (и — ц- и- =и(н — ц- и. И.с. Резокьеента, скектр и спектраньные иракнтры коз Равенства (11 1.4) показывают, что (Й вЂ” )ь) " является операто. ром умножения (11.2.2) с областью определения, охватывающей все гильбертово пространство Ее(кн) для любого невещественного ),. Для того чтобы исследовать спектр, мы сначала заметны, что для Х < 0 Ек — также ограниченный оператор, определенный на всем Ее, согласно (11.2.2). Поэтому спектр ограничивается значениями Х > О. Для Х > 0 обратный оператор (Н вЂ” Х) ' существует, но неограничен. В частности, для любого й(у), который обращается гладким образом в нуль на сфере '/,(у)'=)ь, уравнение ("/, ) у 1' — Х) й= й имеет единственное решение а, определяемое правой частью формулы (1!.2.2.). Мы видим, что точечный спектр пуст и неотрицательная вещественная ось составляет непрерывный спектр.
Согласно у 9.6, спектральный проектор Е, задается в виде Йе=(1/(2п/)) $ йк й. где С (1) — контур, идущкй от — сю + ьа в верхней полуплоскостн к — со — (а в нижней полуплоскости (а — любое положительное число) и пересекающий вещественную ось и точке Х=С Интеграл от ('/,)у(' — Х) ь по С(/) равен 2п/, если ь/,)у(е <1, и равен нУлю, если ь/е(У1' > С ПоэтомУ (Е - ) ) а(у) при ~у( < 2/, 0 при )у!'> 2/.
Наконец, разложение единицы Е, для исходного оператора Н, самосопряженного варианта — '/, Чк, определяется как Е, = (/'Е,(/. р(ы вычислим его сначала для некоторой функции ~рЕй" (2п)-на ) ..) е'е'~р(у)с(ну для / > О (Е,~р) (х) =, < кй 0 для 1 О = (2/)нге $...$ К()сс2/)х — х'/)ср(х')с(нх' для / > О, н» (11.2А) 264 Ги П. Некоторые операторы з кваккывой яекокике где ') К (со) (хп)-к ) ) егмг, г(к у (11.2.5) !г!<1 Очевидно, что если гр(х) заменить общим элементом и(я) е. Е.', то формула (11.2.4) остается в силе, поскольку У плотна в К а оператор ограничен.
В случае одного измерения К(ги)=-з)пгп((лгп), в случае трех измерений ! з!пш — тсозш ."лэ ыз Упрджнение 1. Покажите, что в п измерениях К имеет вид К(ш)=-(2лк) "гезкгз(ш). Указаиия. 1) Зггот интеграл может быть записан так: 1 )' ! Уз Г ! У! Уз Г з Г ~ буге!чав ~ бд, - 1 чдг! уз 1/г1 „3 „э 1 Я интегрирование по ды д„..., д„дает объем (и — 1)-мерного шара радиуса )г 1 — д!. 2) Формулу для обьема этого шара можно получить при помоши формулы (6.3.3). 3) Следует использовать интеграл Пуассона для функнин Бесселя (см. книгу Магнуса и Оберхеттингерз 1!9431).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
