Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Согласно установленному выше свойству случая предельной точки, равнение А„"1=)) не имеет отличных от нуля решений ( для ш Х =~ О, следовательно, индексы дефекта А равны (О, О). Поэтому А„существенно самосопряжен, а А" является его само- сопряженным замыканием. Таким образом, мы имеем однопараметрическое семейство (А„") самосопряженных расширений оператора Т, таких, что Те:А„~Т'.
Резольвента К = (А †)) ' оператора А„„ которая потребуется в следующем параграфе для разложения по собственным функциям, получается при помощи функции Грина для А †, $т).э~О. Функция Грина содержит квадратично интегрируемое решение уравнения ТЗ=Ц„которое мы обозначим через ~,(х) или ге(х, Х). Оио определяется формулой г,(х, Ц=(т(х, Х)+т„(Х)1е(х, М, (10.11.3) ГДЕ гт И Ге — РЕШЕНИЯ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ ГРаНИЧИЫМ УСЛОВИЯМ (10.11,1) при х=О. Из (10.9.3) следует, что Р (х) (1е (х) те(х) — те(х) 1; (х)1 ==- — 1, (10.1!А) откуда ясно, что функция Грина имеет вид 6(х, У) =6(», У; )) = " ' (10.11.5) "-'~ е(»Уе(у), х-у.
При фиксированном у функция 6(х, у) принадлежит 1.; удовлетворяет граничному условию (10Л1.2) при х=О и уравнению ~ — — р (х) Г+ д (х) — Х1 6 (х, у) = б (х — у). (10.11.6) 244 Гт 70. Обннноеенные диде!нренчиалвнае оператора Поэтому для любой непрерывной функции р(х) в (.е(0, оо) и для 1гпХ-ьО мы имеем (й'вй)(х) =((А„— Х) 'д)(х)= ~ 6(х, у) о(у) е(у= о = Хв(х) ) 7е(У) У(У) е!У+7в(х) $ 1в(У) У(У) бУ. (10.11 7) о к Для вещественного Х, не являющегося собственным значением, интегральный оператор в (10.1!.7) существует, но может быть неограниченным, потому что интервал интегрирования теперь (О, оо). На самом деле он является в точности неограниченным, когда !. принадлежит непрерывному спектру А. Однако каждый раз, когда уравнение А)' — Ц=д имеет решение, это решение дается формулой (10.11.7). 1ВЗ2. РАзлОжение ЛО СОБствениым Функциям Разложение данной функции или, точнее, данного элемента д(х) из е.е(0, оо) по собственным функциям оператора А содержит суммирование по собственным функциям точечного (дискретного) спектра А„и интегрирование по собственным функциям непрерывного спектра (эти функции, конечно, не принадлежат е'.в).
Эти две части объединяются путем записи разложения в виде интеграла Стилтьеса. Если ХЕ Ро(А ), то функция 7е(х, А), удовлетворяющая условию (10.11.2), которое было использовано в определении оператора А„, является собственной функцией (не обязательно нормированной) и, следовательно, квадратично интегрируемой на (О, оо). (Было обнаружено, что этого не может быть для невещественного Х, но, разумеется, любое й нз данного спектра вещественно.) Если 1ЕСо(А„), то 71(х, Х) не является квадратично интегрируемой, но может быть использована в построении приближенных собственных функций в виде волнового пакета (мы не будем пользоваться таким построением). Итак, мы ожидаем разложение вида у (х) = ) 1, (х, Г) е(7 (!), (10,12.1) где 7(г) — некоторая функция ограниченной вариации, которая имеет скачки при собственных значениях А„, меняется непрерывно на непрерывном спектре и является постоянной в любом интервале, не лежащем в спектре, Разложение такого типа получается из спектрального семейства (Ее) оператора А .
Так как Ее получается интегрированием )72 (формула (! О.! 1.7)) по контуру С(1) в плоскости Х (см. $ 9.6), нам нужно более детально знать зависимость ге и ~, от )в. Согласно $10.5, 71"(х, !!) 10.!2. Розеоокенне но соесенеенннн ейункцинн 24о (Е,у) (х) = !!ш —, ~ ~ [6 (х, у; е+ !е) — 6 (х, у; з — !е)) у (у) с(у. е оен о (!0.12.3) Чтобы упростить дальнейцщй вывод, допустим, что д(у) — непрерывная функция, равная нулю для всех у, ббльших некоторого у,.
Позднее мы обсудим окончательные формулы для случая, ко~да д †произвольн элемент Ее(0, оо). Подставив Го+ т Г, вместо 1, в выРажение длЯ 6, мы полУчим вклад от Го Равный нУлю, посколькУ Г, и 7е непРеРывны по Л, и поэтомУ в пРеделе при е- 0 вклады от Л=е+!е и Л=е — !е взаимно уничтожаются. То, что остается, можно записать так: "Г лл 5+се (Е,д) (х) =!пп —. ) !е(х, Л) ~ ~а (у, Л) д(у) с(ут (Л) с(е. е- 02™ о Л=е-ее Функция т„(з+- !е) в общем случае не имеет предела при е- 0; но ее интеграл по з имеет предел (см. книгу Коддингтона и Левинсона), и функция р (г) = 1пп —.
! [сп„(е+!е) — т„(з — !е)) Ие (!0,12,4) ! е-ео йн! (определенная с точностью до произвольной аддитивной постоян- ной) — вещественная и неубывающая, поскольку т„(Л) = т„(Л), а !гпт„(Л) имеет тот же знак, что и 1щЛ. Следовательно, (Е,а) ( ) =- ) и г, ) й ( ) с(р И, (1О. ! 2.5) где Ь (е) = ) !', (у, е) у (у) с!у. а (10.12,6) а 1,(х, Л) — целые функции Л для каждою х, тогда как 1е(х, Л) дана 'формулой (10.11.3).
Пусть т(Ь,'Л)'= — ~,(Ь, Л)де(Ь, Л). В силу (10.9.7) т(Ь, Л) лежит на окружности Р(т; Ь) =0 в плоскости т. Так как при Ь вЂ” оо эта окружность стягивается к т„, мы имеем т„(Л) = 1пп [ — 7', (Ь, Л)ф, (Ь, Л)). (10.12.2) ьОтсюда можно показать (см. книгу Коддингтона и Левинсона 1!955)), что т„(Л) аналитична в верхней и нижней полуплоскостях и что !щт„(Л) имеет тот же знак, что и 1щ Л. Из 9 9.6 и уравнения (10.11.7) следует, что проектор Ес имеет вид е46 Гл, ей. Обыннооенные оа(еференциальные операторы Наконец, в пределе при (- +оо (10.12.5) переходит в формулу а(х)= $ ~,(х, з)5(з) йр(з). (10.12.7) Это и есть разложение по собственным функциям функции д(х), а (10.12.6) дает формулу для коэффициента разложения й(з).
Функция р(з) называется спектральной функиией оператора А ° а (10.12А) носит название формулы Титчмарша. Формула (10.12.5) показывает, что поскольку Е, имеет скачки при собственных значениях А„, непрерывна иа непрерывном спектре и постоянна в любом 1-интервале вне спектра, этими же свойствами обладает и р((). До сих пор предполагалось, что д(х) — непрерывная функция с ограниченным носителем.
Рассмотрим более общий случай: пусть а(х) — произвольный элемент Е'(О, оо), а Ь(з) — элемент пространства Ц типа рассмотренного в ч 5.9. Тогда формулы (10.12.6) и (10.12.7) можно интерпретировать следующим образоьм г п ри Т -+ оо ~ ~о (у, з) й (у) йу — " (з) Е Ц* (1 ОЛ2.8) при Т- оо ~7ь(х,з)й(з)йр(з)-д(х)ЕЕ.'(О,оо). -г В первом из этих соотношений интеграл является вполне определенной функцией о для каждого Т (фактически аналитической), поскольку 7о и д принадлежат Е'(О, Т), и сходится к й(з) по норме Ц. Интеграл во втором соотношении имеет аналогичный смысл: если рг(з) совпадает с р(з) в ( — Т, Т) и постоянна на остальной части оси, то Го и й принадлежат Ео, а интеграл г' сходится к д(х) по норме 7.'(О, оо). Отображение а - й подобно преобразованию Фурье; по крайней мере формально, мы имеем равенство Парсеваля (Ьь йо)то = ~ й„(з)7ьь(з) йр(з)= е - ) й (о) ~ ~ (у, ) й (у) йу йр (з) о ) к Ы ) Г.(у з) 5 (з) йр(о)йу о -) а*Ыа.(у)йу=(аь ь) о,-1 о 10.13.
Случай предельной окруэхнпета До некоторой степени зврнстически мы приходим к следующему заключению. Теорема. !(ля любого элемента у(х) в ьь(0, оо) существует влемент !ь(з) в Ц, такой, что справедливы соотношения (10.12.8); обратно, для мобого й (э) в Ц существует элемент д (х) в с.ь (О, оо), такой, что соотношения (10,!2.8) справедливы. Отображение у- й является изометрическим изолюрфизмом (т. е. унитарным отображением) с.х(0, оо) на Ц.
Подтверждение этих заключений и другие детали см. в книгах Коддингтона и Левинсона ]1955], р]оргенса и Реллиха [1976). В квантовомеханических формулировках д(х) и й(э) можно рассматривать как волновые функции, которые описывают данное состояние физической системы в двух различных представлениях. В первом представлении диагональна наблюдаемая х, а во втором — наблюдаемая Л. Получение разложения по собственным функциям в случае двух особых концевых точек будет описано в З 10.14.
та.43. СЛУЧАЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ Рассмотрим оператор Т, из д 10.8 для интервала [О, оо) на такой области, что 1 и Т,] принадлежат (.ь, причем граничное условие при х=О имеет обычный вид (10.11,2), а именно 1(0) сова+ р (0)1' (0) з!па = 0 (а вещественное). (10.13.!) Допустим, что Т, имеет на оо особую точку типа предельной окружности, и зададимся вопросом: какие возможные граничные нли концевые условия при х= о приводят к самосопряженности втого оператора? Ясно, что нельзя просто записать 1 (оо) соз р+ р (оо) 1' (оо) зйп р = О, поскольку предельные значения 1, р и 14 при х=оо вообще лишены смысла. Вместо р(оо) и р(оо)!'(о ) нам нужны два (в общем случае комплексных) числа сг и с„которые характеризовали бы асимптотическое поведение Г'. Оказывается, что в случае предельной окружности все 1, такие, что 1 и Т,"1 принадлежат 1.', ведут себя на бесконечности примерно подобным образом и их действительно можно различать при помощи двух таких чисел.
Пусть !ьь †люб заданное вещественное число, и пусть и,(х) й и, (х) — любые линейно независимые вещественные решения уравнения Тьи=Хи. Для любого дЕ(.ь рассмотрим функцию й(х) = —, ~(и, (у) и, (х) — и, (х) и, (у)! у(у) йу (10.13.2) х 248 Гл. 10, Обыкновенные дифференциальные операторы (это выражение имеет смысл, поскольку им и, и д принадзежат Еь), где Ю' = р (х) 1и, (х) и,'(х) — и, '(х) и, (х)1= сопя(. (10.13.3) Непосредственная подстановка й а уравнение дает (Та ~'6) й и. Поэтому если ) — любая функция, для которой ! и Т,!' принадлежат Е', и если д=(Т,— ).,)7", то 7 — Ь удовлетворяет однородному уравнению и мы можем записать Г (х) = с,и, (х) + с,и, (х) + + — ) '!и,(у) и, (х) — и, (х) и, (у))д(у) ду, (10.13 4) где (10,13.5) к = (То )'о) ! Обратно, если у — любой элемент из Е', а сг и с,— любые, вообще говоря комплексные, постоянные, то функция 7, заданная формулой (10Л3.4), обладает тем свойством, что 7" и Т,~ принадлежат Е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
