Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 45
Текст из файла (страница 45)
1) — ((й ') 5()( (и, " о) (9,А,2) С(5+) С((+) [в конце было использовано резольаентное уравнение), Предположим теперь, что контур С(з) лежит внутри контура С(1), каи иа рнс. 9.7. [Сравните с выкладками, связанными с уравнением (9Л,Я) в ко- иечномерном случае.[ Последний интеграл заннсывается как разность двух интегралов, один — содержащий )(н 5 ДРУгой — солеРжащнй Еь, Интегриро- вание сначала по 1( в первом из них показывает, что [11(р — й) [ад=о, С(5+ ) поскольку р лежит вне контура С(з).
Интегрирование сначала по р дает для второго интеграла [1('([а — Х) [ 5(р = — 2н( С(,) Пролаза. Е к еж Р. Хт>онпчегкое пра)стоаленаа оператора ахо' потому что )5 лежат внутри контура С(П (заметам, что С(!) обходятся по часовой стрелке). В результате получаем (и, Е»Еао) = —, ~ »))5(и, А>х о) =(и, Е>о)> ! 2Ы Ы»5+ ) т. е. Е»Е =Е Очевидно, что нз (9.А.2) следует,.
что Е н Е» коммутатнвны. До снх пор у нас было 5)е(. По построенню (и, Е»ю) непрерывна по ! справа длн лкбых и н ю, в частности для ю=Е о; поэтому если ! стремится к а Рнс, 9.7. Контуры С(5) в С(1). Резюме, (Е») — однопараметрнческое семейство самосопряженных проекто. ров, таких, что Е»Е>=Е>Е»=Ем)5»5»)> (9.А.З) и для любых и, о нз Н Лп> (и, Е»о)=0, )(и) (и, Е»о)=(и, о)> »-— ))и> (и> Е»5»о) = (и, Е»о), 545 [(9.А.4) (9.А.о) Равенство (9,А.4) можно переписать как Е =6, Е+„=1.
Равенство (9.А.6) отмывает непрерывность Е» справа; более подробно свойства непрерывности Е, абсуждалнсь в й 9.9, Припоженнв Б н гпгве Р. КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА Здесь будет показано, что любое семейство (Е») сю>осопряженных проекторов, обладакяннх свойствамн ! — 4 нз 9 9.7, определяет самосопряженный онсратор Я; если же (Е») получено по оператору А с помощью формулы (9.6.6)> где»7ь =Ез(>()=(А — Х) '-, то А=А> так что имеется взанмно однозначное соответствие между классом всех таких семейств и множеством самосопряженных операторов.
справа, то равенство (и, Е»Еро)=(и, Еаю) показывает, что Е»=Е, что н утверждалось. Следовательно, Š— проектор. Для 5 < ! Е» — Е также является проектором, потому что (Е» Е )» Е> 2Е Е»+Г. Е» 2Е +Еа Е» Ег Гл. 9. Слгквральное разложение опералюроэ 224 Определим сначала операторы Ал (л=1, 2, ...) по формуле л (и, А„о)= ) Ы(и, Его), (9.Б. 1) -л Ясно, что каждый Ал линеен, ограничен, самосопряжен, так что остался только вопрос о сходимости Ало для заданного о~Н при л со. Лля сходимости А„о необходимо (и, кай будет показано, достаточно), чтобы нормы 1Ало1)были ограничены при л -ь оэ, Уравнение, комплексно сопряженное уравнению (9.5, 1), выглядит так: л (Ало, и) = ~ Ы (Егщ и).
-л Подставим в это уравнение и=А„о и снова используем (9.5.1) с ааменой 1 на з; тогда (9.Б.З) ~ /(1)АГ ~ й(з)а,(ЕГи, Е,о)= ~ )(02(() 4(6 Его), 0 сели только функции 1(.) и д( ) таковы, что интегралы сходятся, Определим теперь оператор А, положив (9,5.6) лф-( Ел ) лэ,лл (9.Б .6) Аолл 1нп А„о т(т~Р(А). Рассуждения, приведенные выше, показывают, что выражение, подобное(9.Б.4), имеет место и дла )1 Ало — А о)з, только интегРиРование пРоводитсЯ лишь дла таких 5 для которых и < !(1 < т. Следовательно, (А„с) — последовательность Коши в Н, если интеграл в (9.Б.6) конечен. Покажем дополнительно, что (1) А определен на плотном множестве (и, следовательно, имеет сопрян,енный), (2) А самосопряжен и (3) Рь(А — э)в в для всех в~Р(А), По- )( А оГ= ~ Ыг ~ за (Е~о Е~о).
(9.Б.2) л л Б силу (9.А.1) функция (Его, Ело)=(Е Его, о) не зависит от з при з)т; поэтому л г ~ Ы (Его, Е,о) лл ~ эт (Е,э, о) -л -л и прн применении бт к этой функции получзется просто Ы(Его, о). Но тогда двойной интеграл сводится к однократному и л 1 Ало 4 = 5 Пэб (, Е!и). (9.Б.4) -л (ПосколькУ данный интегРал меньше лз(о(з, мы имеем 1Ал(~л, ио этот Результат использоваться ие будет.) Связь между двойным и однократным интегралами обобщается; это обобщение приводится здесь для последующих ссылок; )урилож, Б к гл. 9. Каноническое лредсжоалелие оператора ййб следнее означает, что Их является резольвентой и для А, так что (А — Х)-'= (А-Х)-", т. е.
А=А. Чтобы показзть,'что Р (А) плотна в Н, возьмем произвольный элемент оЕН. Тогда последовательность (оа), где оа=(Еа — Е а) о, сходится к о при й — ьео, в то орел~я как А„оа=Ааоа для всех л)й, так что оаЕР(А). Для нахождения А* рассмотрим все пары элементов и, ш~Н, такие, что 0 (и, Ао) = ~ Ы (и, Ето) = (ы, о) Ф для всех оЕР(А). Возьмем комплексно сопряженное уравнение: (о, ш) = ~ Ы (Его, и) = ~ Ы(о, Ети). Задача иахождесня и и го, удовлетворяющих этому уравнению, в точности та н~е задача, с которой мы встретилнсь при определении Р(А) и Аи, н поэтому мы делаем вывод, что А*=А.
Наконец, для любых а, о по формуле (9.6.7) М (и Яло)= ~ (17(! — Л)] Ф(и, Ео)= ~ (1)(Š— Х)]г((Е!и, о) (957) для любого невещественного Л. Далее возьмем о=Ам — Лгэ, где ы — произвольный элемент из Р(А) (заданной в (9.Б.б)). По определению оператора А (Е~и, Аы — Хш) = ~ (з — Х) 4 (Е~и, Езы); подставив это в (9.Б.7), получим (и, )7х (А — Л!)ы) = ~ (!7(! — Х)] г(г ~ (з — Х)бг(Еги, Е,ш)! применение же соотношения (9.Б.б) между двойным и однократным интегра. лами дает (и, )(х (А — Х!)ш) = ~ [(! — Х)7(! — Х)]б(щ Еаш)=(и, ш).
Поэтому )7х =(А — ЛП" з, что и требовалось доказать. Следовательно, нз (9.5.1) прн п — оз получаем нужное представление оператора А для о~Р(А). Гаава ТВ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДНЛвФЕУЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАгаОРЫ Операторы — Ыгдх и — (ягдх)Я ив К; регулярные к особые операторы Штур ма — Лиувилля; коипевые точки типа предельной точки и типа предельной окружиости; метод Фробеииуса; формулы для резольвеиты и спектральиыв проекторов; разложекия по собствеииым функциям; радиальные уравнеиии водородопадобиого атома в иерелятивистском и релятивистском случаях, Предварительные сведения; гл. 1 — 9.
В этой главе кратко излагаются основы теории обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка, в значительной степени развитой Германом Вейлем. тв.т. РезольвентА и спектРАльнОе сеадейстВО ДЛЯ ОПЕРАТОРА — Ы/гтх Обозначим через Т, оператор, определенный для всех распределений 1' на И посредством уравнения Та1' = — 11". (10А.1) В гильбертовом пространстве Т.а(Е) мы определим оператор Ат .0(А)=УЕЛ'. У'~В), АГ=Т.~= — 'Г.
(10.1.а) В Б 7.5 показано, что А является "самосонряжениым оператором. Отметим, что в соответствии с 9 5.6 любое у в 1л(А) автоматически удовлетворяет граничному условию у (х) - О прн Х вЂ” ь ~ оо, Точечный спектр Ра(А) является пустым, ибо если Х вЂ” собственное значение, то собственной функцнеи будет Се "" (С=сопз1ФО), которая не принадлежит 1Р ни при каком Х, С другой стороны, для любого вещественного )ь можно построить приближенную собственную функцию в виде волнового пакета 1(х)=ргые-а"'еых (р ь О).
Когда 1)- О, 1111 постоянна, тогда как 1'Ау — Ц1 — О. Следовательно, непрерывный спектр Са(А) заполняет всю вещественную ось в плоскости Х. Для того чтобы найти 'резольвенту, мы допустим, что 1ш 1 ~ О, и будем искать решение 1 уравнения у$( — Ц = д, т. е. —.1(г — ЛТ д, (10.1.3) )6.2. Ояернямр — (агг(л)а где д — произвольный элемент из Тз(Р). Это решение таково: х ~ егх<х-х) гг(х')г(хг, 1ш).) О, ) (х) = (Йьй) (х) = ~ ~ ~ ф~ ~ ~ ~ | | О (10.1А) — 1 ~ ег" ('- з гг (х') дх', 1т Х < О.
х Следовательно, резольвента йь является интегральным оператором. УПРИЖГ1ННИЯ !. покажите, что 11'1хс1)пзк( т)д((, т, е, что 1)(х1~11пз7~1-~. Это обеспечивает второе доказательство тото, что А самосенряжен; именно, нри )га Л Ы П оператор (Л вЂ” А)-а определен ио всем Ез и ограничен, следоватеги но, верхняя и нижняя полуплоскости входят в резольоентное множество(см. ЕВЛ). 2. Покажате, что если д имеет ограннчеиныа носитель, то 1)) 1(=1()тье1)~ ~попа( 1 (га Е1 11з, где постоянная зависит от Е, но не от ь. Указание. Вкь полните преобразование Фурье и вспомните, что 1Д=1~))1.
3. Интегрируя Лк по иодкоднигему контуру а ииоскостн Ъ (см. з 9.6), покажите, что днн а <х Ег — Е явлнетсн интегральным оператором вида Г еп(Х-Х 1 егз<Х-Х ) ((Ег — Ех)Е)()= ( 2, Е(х')ех. ()ол.б) ТЕЛ. РЕЗОЛЬВЕНТА И СПЕКТРАЛЬНОЕ СЕМЕЙСТВО ДЛЯ ОПЕРАТОРА (а(/г(х)з Здесь оператор Т, задается уравнением Та)= — 1", где ) — любое распределение на й. Самосопряженный оператор А определяется следующим образом: ,0(А) = (~ ~1Л )х ~ (з), А~ = Т1 = — )'", (10.2,1) Из рассуждений, аналогичных проведенным в предыдущем параграере, видно, что точечный спектр оператора А пуст и что непрерывный спектр заполняет неотрицательную вещественную ось.
Для любого Л, не лежащего на неотрицательной вещественной осн, уравнение А(' — Ц=д можно разрешить и найти ~ (х) = (Вью) (х) = (1((2)г)) ~ е-") -" (д(х') 1(х', (10.2,2) где )г = )/ — Х, гсе й > О. ' 22В Гл. Тд. Обыкноеениые дифференциальные оперлпьоры УПРАЖНЕНИЯ 1. Интегрируя реаольвенту по подходящему контуру в плоскости А, пО- кажите, что спектральный проектор Ет дается формулой (ЕГЕ) (х) =~~,) и ! х — х' ! ' * (10.2.3) Е(х') ах'ь 1- О, О, Ге О, 2. Проверьте непосредственно, нто ЕтЕе=Е ы1г, ь1' ° 0.3. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Пусть Т, является либо одним из операторов, рассмотренных в последних двух параграфах, либо любым обыкновенным дифференциальным оператором, который имеет постоянные коэффициенты и представляется в виде Т,= р ( — Ыуг(х), (!0.3.2) Если г(й) — преобразование Фурье любого распределения медленного роста Г (х) иа к, то йГ (и) является преобразованием Фурье от ( — (гИх) !'(х), а р (й) ! (й) — преобразованием Фурье от р ( — !е(гг(х) 1 (х).
Следовательно, если й — унитарный оператор преобразования Фурье в ЕР(ьс), так что)1=У), н если А =йАВ то определение (10.3,2) принимает вид Р (А) = У Е Г'. р (й) ( Е Е ), А~с= р (й) (. (! О.З,З) Ясно, что А самосопряжеи, а следовательно, А, равный К*А(Г, также самосоп ря жен. Преобразование Фурье уравнения А! — Ц=д есть А(' — Ц=д; следовательно, если )тх является резольвентой А, то оператор лть=-К)сАКь есть резольвеита оператора А, и ясно, что (Ай) (й) =й(й)!(р (й) — ~).
(10.3А) Если С((+) — контур, описанный в $ 9.6, то 1 ! 1 при р(й) "г, 1, 0 при р(й)>Т где р (й) — ветцествениый полипом от вещественного й. Мы определим некоторый оператор в хь(!к) следующим образом: лл(А)=(!ЕЙ Ть! ЕЛ*), А7 = ТД = р ( — иИх) ~. 10.о. Межой преобразования Фурье поэтому проектор Е, дается формулой 1 д(й) для всех таких й, что р(й)(1, ( 0 для всех таких й, что р(й))1, Точнее говоря, это уравнение определяет Е,д каждый раз, когда д — непрерывная функция, но непрерывные функции плотны в Еь и результирующий оператор ограничен, так что й, определен во всем Е' согласно теореме о расширении, сфор- мулированной в начале гл.
7. Спектральные проекторы для А определяются теперь следующим образом: Е, = У'Е,ьт, Побочный результат: если ( принадлежит области Р (А), опре- деленной в (10.3.2), то все производные 1'", ..., 7'"" принадле- жат 1' (ьс), где еп — степень полинома р ( ° ). Чтобы это доказать, заметим сначала, что поскольку р(й)1 принадлежит Еь, (р(а) ~1 также принадлежит Еь, следовательно, с,)+с,) р(й) ~)т принадлежит Еь.
Теперь выберем с, и с; так, что )йе) <с,+с,!р(й)~ для всех й и для 1=1, ..., еп. Так как 1 принадлежит Еь(к), а значит, заведомо принадлежит Еь( — К, К), К конечно, то распределение йе7 принадлежит Е'( — К, К) для любого г, и лемма в 3 5.5 показывает, что !) уев ()с,~ + с, ~ р (й) ~ 1 ,') для каждого К. Правая часть остается ограниченной при К вЂ” оо, следовательно, йе1ЕЬ', а значит, и ~<" принадлежит Еь, что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
