Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 39
Текст из файла (страница 39)
е. является наблюдаемой, достаточно показать, что уравнения А)' ~ 1~ = д имеют единственное решение Г для любого д из плотного в Н множества, Примеры можно найти в 5 8.2, а также в гл. 10 и П. Глава 9 СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННЫХ И УНИТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ Применения методов теории функций комплексной переменной в теории матряц> проекторы; разложение единицы; каноническое представление матрицы; форма М(орлана; ннльпотентная часть матрицы; обобцгепкые собственные векторы н собственные подпространства; теорема Шура о трпзнгуляцнн; функции н распределепня как граничные значения аналитических функций; преобразованно Лапласа; каноническое представление самосопряженных н унитарных опера. торов; слабая, сильная н равномерная сходнмость ограниченных операторов; спектр оператора А как множество таких б для которых Еь — не константа; функции операторов; ограниченные наблюдаемые; полярное разложение оператора.
Предварительные сееделилг в основном гл. 1, 7, а. Основное содержание данной главы основывается на аналогии (для самосопря>кенного оператора в гнльбертовом пространстве) с задачей диагонализации эрмитовой матрицы н тем самым с задачей представления матрицы через ее собственные значения н собственные векторы.
йл. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ЭРМИТОВОЙ МАТРИЦЫ Пусть Л вЂ” эрмитова (п ха)-матрица. Преобразование х- Лх в С" можно описать геометрически через собственные значения 7.ь ..., 1(„и ортонормированное семейство собственных векторов т;, ..., Т„этой матрицы. Собственные векторы определяют ннвариантные направления, а собственные значения описывают соответствующие растяжения и сжатия, которые осуществляют данное преобразование по этим направлениям. Однако такое описание весьма неоДнозначно: любой вектоР та можно Умножить на любую константу а, такую, что )а ~=1; более того, если все векторы уа, ..., Те соответствуют одному собственному значению, то их можно подвергнуть любому унитарному преобразованию в р-мерном (собственном) подпространстве, порожденном этими векторами. С другой стороны, фиксация различных собственных значений )ьь ..., "г (скажем„в порядке возрастания) и соответствующих собственных подпространгтв Еь ..., Е приводит к однозначному описанию преобразования — к такому представлению преобразования, которое можно обобщить на бесконечномерный случай.
Поскольку А — эрмитова матрица, собственные подпространства взаимно ортогональны и в сумме дают С". Любой вектор Гл. р, Спектральное ревлон/ение операторов !92 хЕСп имеет единственное представление вида х, +х,+... +х, где х/Е ЕА иначе говоря, Сп является ортогональной прямои суммой: гп ЕЛЕЯ ЯЕ (9.1.1) При фиксированном / и произвольном х отображение х- х/ является линейным преобразованием Со на Е, называемым проектированием; матрицу Р/ этого преобразования называют проектором, в частности проектором на /-е собственное нодпроел/ранен/во: Р~х=х .
Разложение самого хе имеет вид О+... ... +ху+О+... +О, потому что хе уже принадлежит Е; следовательно, Р х =х, тогда как Рдх =0 при /еФ/'. Но тогда Рх=Р/х для любого х, в то время как РьР/х=О при //Ф/; значит, (9.1.2) (9.!.3) Р',=Рм ЄР=О (йчь/). Так как любой вектор из Еу является собственным вектором, соответствующим )Р мы получаем, что Ах = А ~ ху —— ~;) ~х~'„ / / следовательно, для исходной матрицы А имеет место следующее представление: в А= ~~!ь Р. / ! (9.1А) Поскольку, как указывалось выше, разложение х=-х,+...
... +х„, где х =Рек, для любого х единственно, мы получаем также, что т=ХР,, (9 ! б) /=! и если / () ) — произвольный многочлен (илп любая функция соответствующего типа, область определения которой включает вье собетвенные значения й ), то ИА)=Хи,)Р,. (О.1.0!) !=! На основании равенства (9.!.5) говорят, что проекторы Р/ образуют разложение единицы.
Основная цель данной главы состоит в том, чтобы обобщить приведенные выше формулы на случай произвольного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве. В общем случае возможен континуум «собственных значений» (т. е. непрерывный спектр); следовательно, суь!ыирование нужно будет 19З 9.2.
Лрогкторм в гпвьбгрокмом орогтранвтвг Н заменить интегрированием. Конечно, возможны также и дискретные собственные значения, так что ясно: здесь должен быть интеграл Стилтьеса, с тем чтобы были допустимы оба случая. Р.д. ПРОЕКТОРЫ В ГНЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Н Если оператор Р ограничен, определен на всем Н и ндемпотентен (т. е.
Р'= Р), то он называется ироекптором; очевидно, что 1 — Р гак.ке является проектором, потому что (1 — Р)'= 1 — 2Р+ +Р'= ! — Р. Пусть М и Ф вЂ” области значений Р и 1 — Р соответственно. Если иЕМ, то Ри=и, тогда как если иЕФ, то Ри =О. Доказательство. м — область значений Р- ,так что если пЕм, то и = Ро дли некоторого оЕН; но тогда Ри=Рзо= Ро=п. Если иЕН, то тогда из тгх же рассуждений получаем, что (1 — Р) и=и, поэтому Ра=о. УПРАЖНЕНИЕ 1. Локажите, что линейные многообразии М и Н замкнуты. Замечание, М и )ТГ не обязательно ортогональны — см, ниже.
Рис. 9.1. Проекпии вектора. Утверждение. Любое и Е О можно однозначно представить как и=ив+и„где и, Е М, и, Е !т' (и; и и, ие обязательно ортогональны); см. рис. 9.1. Действительно, и;=Ри, и,=(! — Р)и, так что ит+ и, = и. Чтобы доказать единственность, предположим, что и', + из — другое такое разложение и; ио тогда ит — и', (=и,' — и,) принадлежало бы одновременно и М, и Ф, значит, во-первых, и,— и,'= Р(иг — и,') и, во-вторых, аналогично ив — и', = (1 — Р) (и, — и,') = (1 — Р) Р (ив — и,') = (Р— Р') (и, — и ,') =О.
Поэтому и;=и,' и' и,=и,'. Это и доказывает утверждение. Единственным вектором, принадлежащим как М, так и )11, является лл. Ю. Спектральное рамоненае операторое 194 . нулевой элемент пространства Н. Элементы и! и и, называются проекциялш и на (или в) М и Ж соответственно. Обратно, если М и Ф вЂ” любые замкнутые линейные многообразия, такие, что их линейная оболочка совпадает с Н и любой элемент и Е Н имеет единственное разложение и= и, +им и, Е М, и, Е )Ч, то соответствующий оператор Р может быть определен равенством Ри=и,; легко проверить, что так определенный оператор Р является проектором с областью значений М и нуль-пространством Ф (нуль-пространство любого оператора А— это множество и Е Н, таких, что Аи = 0). В общем случае М и М ие ортогональны, но если проектор Р также и самосопряжен, то для любого иЕМ и любого оЕМ (и, о) = (Ри, (! — Р) о) = (и, Р (1 — Р) и) = (и, (Р— Р') о) = О, т. е.
в этом случае М н Ж ортогональны (символически М ( й)) и Р называется ортогоналвныль проектором, Упплжнпнип 2. Если Р— ортогоиалъпый проектор, то !,'Р)=1, Р.з. пОстРОение спентраньных пРОентОРОВ дпя матРицы Ра= — — „~1+ — А+ —,. Ал+...) . ! ( 1 ! (9.3.1) Поэтому — — У )(ьаиьЛ=( ! 2! 31 и !а!=а — ф ЛйадЛ= А !а! (9.3.9) (9.3.3) В конечномерном случае проекторы Р( можно построить либо непосредственно, исходя из полной ортонормированной системы собственных векторов, либо при помощи методов теории функций, однако при этом только последний подход пригоден для распространения на бесконечиомерный случай, и именно он будет сейчас описан.
Пусть А †произвольн матрица размера пхп (не обязательно эрмнтова). Если Л не равно какому-либо собственному значению, то матрица (А — Л!) обратима, причем обратная ей матрица — резольвента Рь = (А — Л(') '. Согласно правилу Крамера, элементы обратной матрицы выражаются через определитель и миноры исходной матрицы; следовательно, элементы матрицы Рь являются рациональными функциями Л с полюсами в ссбственных значениях Ло ..., Ле матрицы А.
Для 1Л~ )~а, где а †произвольн константа, которая больше всех ( Ле~, резольвенту можно разложить в ряд: У.З. Поетроеоае спеатрааьнеех лроеатороа деа аатриям н вообще — — Ю Х"Вас(1=А'*, ел=О, 1, 2, яле (а( а Во всех этих случаях под интегралом в левой части понимается матрица, Ц, Й)-й элемент которой является интегралом от В'(Иа),.а. Более того, если ) (Х)=любая функция, определенная степенйым рядом для ~).( а, то — ф ((е.) Р~Ю=~(А), ) Х)=а в чем можно убедиться, умножив степенной ряд для )'(Х) на разложение (9.3.1) перед нахождением вычета. ~Это последнее соотношение, если его записать как — ф (())(е.е' — А)"ге() =((А), 1Х) а является обобщением интегральной формулы Коши —,. ф ( (Х) (Х вЂ” г) ' еО = ( (г).
1 ~ Р,=1, )=1 (9.3.6) где (хе -) Р. = —. у Р„еО,. г — 2лс 9» (9.3.7) (Символ (Х вЂ” ) означает, что контур охватывает Хе, обход контура делается в отрицательном направлении (по часовой стрелке), но при этом он не окружает никаких других особых точек нодынтегральной функции.) Чтобы показать, что Ре является проектором, нужно вычис- лить ('у-) (ае-) Р)=~~,„;) ф ф ЙЛиФе() (9.3.8) Стянем теперь контур интегрирования настолько, насколько это возможно, а именно настолько, чтобы он превратился в набор малых контуров, каждый нз которых окружает только одно собственное значение, как показано на рис. 9.2. Тогда (9.3.2) даег Гл.
У. Слентнралвное разложение онератнороо, Нет необходимости использовать для интегрирования один и тот же контур для обоих интегралов; в действительности достаточно предположить, что контур для интегрирования пор лежит внутри области, охватываемой контуром интегрирования по Л, Рнс. 9,2. Изиененне контура интет- Рнс.
9.3. Контуры Сн и Са. рированин. как показано на рис. 9.3. Обозначим эти контуры С„ и Са соответственно. Резольвента )т'а удовлетворяет резольвентному уравнению (8.5.1), поэтому '=-(й)'1 1 Ь'-'.-Л1" "' са сн Если первый член проинтегрировать сначала по и, то результат будет равен нулю, потому что Л лежит вне С„; если второй член проинтегрировать сначала по Л, то интеграл по Л даст 2лИ„(напомним, что Са обходится по часовой стрелке); следовательно, Р = —. ) )т'вдр=Р . (9.3.9) си Таким образом, Ру — проектор. С помощью таких же рассуждений можно показать, что Р,Рх=О при (~й, поскольку в этом случае оба контура лежат вне друг друга. Таким образом, РуРа = РаРу = бтаРу (9.3.10) Чтобы выразить А через эти проекторы при помощи формулы (9.3.3), прежде всего определим следующие матрипы 1лу.' (Х -) (ху -) дев 2' ф а Л Л 2Е ф ( л') лев ЛлРу+ Ц; 9Х Посглрогние спгюиральяых прогкшорое для мпшроды '(От тогда А=,Р;,РуР,+О,.1.
(9.3.11) Это каноническое представление произвольной матрицы А, Его связь с другими каноническими представлениями 'будет прослежена в приведенных ниже упражнениях. Упрлжнвния !. Используя контуры Сд и См, описанные выше, и применяя индукцию по т, покажите, что Р) ==,'Т' (р-Хд) мма)л м 1 Х 2л! У н я силу того, что Рм имеет только полюсы, заключите, что Ру нильпотентиа (Р! =О для некоторого гл). 2, Прн помощи ааалогичных рассуждений еыаедите следующие уравнения: Р)РЬ=РЗРу=буаРП АРЗ=РьА=ХаРЗ+РЗ и докажите, что (!) Ру отображает область значений оператора Р- а себя (эта область значений — обобщенное собстзенное подпространстзо ЕР соотаег. стеующее собственному значению Ху), следовательно, А отображает Еу а себя, я что (2) если ч — любой ненулевой вектор иа ЕР то (А-Ху)м ч О для некоторого положительного целого числа т.
Если ш — наименьшее такое число; то ч называют обобщенным собсшвеыным лектором порядка гл матрицы А г), Исходя из формулы (9.3.11) и нильпотентности соответствуюп(их матриц, можно показать (мы опускаем детали этих рассуждений), что любая матрица А размера пхп может быть представлена в жорданопой нормальной 4юрме при помон(и преобра ° зования подобия; иначе говоря, суц(ествует такая невырожденная матрица Т, что ,), (о) ! Т тАТ=л'= (9.3.12) (0) где ненулевые элементы г локализованы в квадратные жордановьг блоки Хо .г'„..., расположенные по главной диагонали; любой >пч г,, л иулеяые еекторы ич Еу — корневылш векторами, — Прим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
