Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Это можно показать с помощью процедуры поляризации, использованной и для вывода уравнения (7.2.3) нз (7.2.2).] Если Т самосопряжен, то 1с(Т+Г) =)с(Т вЂ” 1)= И (по теореме 1 5 8,3) н 1~ унитарен; обратно, если г' — унитарный оператор, то Т самосопряжен. Следующая лемма описывает обращение преобразования Кали. В.б. Расширения симметрических аягршпарав 187 Лемма. Пусть Т вЂ” симметрический оператор, и пусть У вЂ” его преобразование Кэли. Тогда оператор У вЂ” 1 обратим и Т можно выразить через У при помощи равенств Р(Т)=Ю(У вЂ” 1), Т= — !(У+1)(У вЂ” 1) э.
(8,6.2) Обратно, если У вЂ” произвольная изометрия, такая, что лг(У вЂ” 1) плотна в Н, то У вЂ” 1 обратим, оператор Т, определенный в (8.6.2), сшкметричен, а У явгяется его преобразованием Кали. ДОКАЗАтнльсТВО. Взяв и и ш, определенные выше для произвольного иЕ Р (Т), получим ш=(Т+!) и, Ъш=(Т вЂ” !) и, (У вЂ” 1)ю= — 2!и. (8.6.3) Следовательно, (У вЂ” 1) в=О Э и=о Ам=о! значит, У вЂ” 1 обратим. Из тсх же уравнений легко вывести, что и6Р(Т), если и~)Г(У вЂ” 1), и что Ти =- = — 1(У+1](У вЂ” 1) ти, что и требовалось доказать. Обратно, пусть У вЂ” любая изоиетрия, для которой Я(У вЂ” 1) плотна в Н. Покажем, что У вЂ” 1 абра.
тим. Именно, предположим, что (У вЂ” 1) ш=О для некоторого ш. Поскольку (ш, г) =(Уш, Уг), для любого гЕР(У) 0=(Ую — ш, г) =(Уш, г) — (ш, г) =- — (Уш, Уг — г). Так как элементы вида Уг — г плотны в Н, отсюда следует, что Уш=О и, следовательно, ш=о. Поэтому У вЂ” 1 обратим, Пусть теперь Т определен равенствами (8 6 2). Лля любых и, иЮР (Т) мы можем тогда написать и=(У вЂ” 1)хэ и =. (У вЂ” 1) у и затем Ти = — ! (!'+ 1) х и Та = — ! (У+1) у.
Поэтому (и, Тэ) =((Ух — х), — ((Уу+у)), (Ти, а) =( — ! (Ух+х), (Уу — у)), откуда видно, что левые части равны, потону что (!'х, !'у)=(х, у); следоза. тельно, оператор Т симметричен, Дополнительные выкладки показывают, что преобразование Кэлв оператора Т совпадает с У. Теперь можно сформулировать первую теорему о расширениях симметрических операторов. Теорема (фон Нейман). Пусть Т вЂ” замкнутый симметрический оператор с индексами дефекта (т, т) (т < оэ), и пусть У вЂ” его преобразование Кэли. Тогда (1) если А — любое самосопряженное расширение оператора Т и (т' — его преобразование Кали, то (7 является расширением У, изометрически отображающим И(Т' — !) на 1!1(Т*+()! (2) любое изометрическое отображение Рт 111(Тэ — 11 на 117(Т" +!) определяет единственное самосопряженное расишрение А оператора Т, задаваемое уравнениями (8.6.4) (см, ниже).
Так как У' можно представить унитарной митри!(ей размера т х т, имеется т'-параметрическог семейство самосопряженных расширений Т, (Зти т' параметров вещественны.) Доказательство. Согласно теореме о связи нуль-пространства и области значеяий (см. упражнение 2 й 7.7), гильбертово пространство может быть представлено в виде сртогональной прямой суммы двумя способами: и=-к(т+ ) (Т)н(т™ — !), Н= й(Т вЂ” !) ((э М(Т'+!). Гж В. Слекшр п резолымнша !88 [замечание. УЦТ~1) — замкнутые лннейные многообразна, поскольку (Т~г)-з — ограниченные замкнутые операторы.) (1) Так как А — расширение Т, У является расшнреннем У. Следовательно, по определению У оператор У нзометрнческн отображает 11(Т+1) на !1(Т вЂ” Г).
Так как У сохраняет ортогональность, оно нзометрнческн отображает а М(Т* — О на й)(Т'+Г), что н утверждалось. (2) Пусть У' — лроазаольное изометрическое отображение р)(Т' — 1) на Ф(Т'+1), н пусть уннтарный оператор У определен следующим образом: Уо=ро для о~)т(Т+1), Уо = У'о для о~У(Т'- 1), а затем расшнряется по лннейностн на все Н. Так как У вЂ” 1 имеет плотную в Н область значений, У вЂ” 1 обладает тзкнм же свойством. Поэтому, согласно вышеприведенной лемме, оператор А можно определить так: !) (А) =)т(У вЂ” 1); Ао= — 1(У+1) (У вЂ” 1)-го, (8.6А) а тогда У есть преобразование Кэлн оператора А. Так как У уннтарен, А самосопряжен. В качестве примера рассмотрим оператор Т, описанный в В 7.5 и заданный в Е'( — 1, 1) следующим образом: Р(Т)=Ц~Е" Г ЕЕ*.
П вЂ” 1)=Ю=О) Т'1 = — !)з. Мы получили, что Т' совпадает с Т, если исключить то, что у него отсутствуют граничные условия. Теперь мы найдем само- сопряженные расширения Т. Для любого Л~С уравнение (Т"— — Л))'= О имеет решение ) (х) =е", которое всегда принадлежит Е'( — 1, 1); следовательно, индексы дефекта Т есть (1, 1). НульПрОСтраиетВа И(Те+1), Ф(Т' — 1) СОСтсят ИЗ фуНКцвй, КратНЫХ Е", е " соответственно; следовательно, общее изометрическое отоб- ражЕНИЕ М(Те — 1) На й)(7 +1) ЕСТЬ УЗ='у": Е "- Е'"Е', ГдЕ сг — фиксированное вещественное число. Область определения сампсон)зяжен!!ого оператора А,.соответствующего такому выбору 1У., есть область значений Е) — 1, согласно (8.6А), где Е) — унитарный оператор, определенный, как и выше, через Уз и преобразование Кали )г=(Т вЂ” 1)(Т+1) "оператора Т.
Область определения У совпадает с областью значений Т+1. Разложение О показывает, что области значений операторов Т+1 и Т вЂ” ! 1 состоят из всех таких ~~Ее, для которых ) е-"1(х)дх=О и -1 1 ) е"1 (х)г(х=О соответственно, что можно показать и непосред- -1 ственно, вычисляя все ! вида (Т+!)д с дЕР(Т). Непосредственные вычисления показывают, что для любого ~,~К(Т+() В.б.
Расглирения аимиеюринеаких ааераторое функция Цз(= (Т вЂ” 1) (Т+1)-'11) получается из уравнения к (Цз)(х) =2е" ) е Р11(у) с)у+71(х). -1 Поэтому если произвольное ~Ел,з( — 1, 1) записать как )1(х)+ + се ", где уз~К(Т+1) и се "~ р)(Т вЂ” 1), то к (((г' — 1) )) (х) = 2е" ~ е х11 (у) ду + с (ех+ го — е ") -1 или, короче д (х) = д, (х)+ уз (х). Теперь у,(х) обращается в нуль при х= ~1 и является фактически общим элементом,Р(Т). Влияние члена дз(х) =с(е +ги — е ") сказывается в том, что Р(Т) расширяется до Р(А) ослаблением граничных условий д(~1) =0 до условия ,(1) ""'" — ' *,( Ц ее,( где константа его определяется выражением е +1 !аз ге — е е '+1ыз>ги — е' 111з1'" и, значит, имеет модуль, равный единице.
Отсюда следует вывод, что самосопряженные расширения Т точно те же, что были найдены ранее и задавались с помощью (7,5.5) для каждого ОЕ 10, 2зт); в 8 7.5 они были обозначены через Аа. УПРАЖНЕНИЯ 1. Проверьте, что уравнение (8.6А) дает для данного примера Ае/= — 1У для 1~1)(Ае). Указание, достаточно рассмотреть 1(х) =ох+го — е-х, 2. Проведите аналогичное исследование для оператора 7, определяемого следующим образом: уу(т)=(1: 11 ~сз, 11Р>1 — ц=у'Р (ц.=о (р=о, 1, ...., — ц), тг — ( 1)м 7(м) где для любого целого р~ О 11Р1 означает р-ю производную распределения Г, Метод, использованный для доказательства предыдущей тео- ремы, делает очевидной общую ситуацию.
Пусть Т вЂ” произвольный замкнутый симметрический оператор, и пусть (пг, и) — его ин. дексы дефекта. Далее, пусть г и 0 — замкнутые линейные много- образия, содержащиеся в гтг(Т* — 1) и 11(Т'+1) соответственно, оба имеющие размерность и,( ш)п(пг, п), и пусть à — любая изомстрия зо на 6. Линейное преобразование (у„определяемое так: 1)и =- 'г'гл для щ Е 1т (Т+1), Ргс=)г'гс для гсвг„ 190 Гх.
а. саеюпр и аезояьвеята является изометрией тс(Т+1)ЯР на Д(Т вЂ” 1)®6. Тогда оператор А, определяемый в (8.6А), является симметрическим расширением Т, и все симметрические расширения могут быть получены таким образом. Оператор А оказывается максимальным (т. е. не допускает дальнейших расширений) тогда и только тогда, когда его индексы дефекта либо (О, 1), либо (1, О).
Оператор А самосопряжен тогда и только тогда, когда его индексы дефекта есть (О, О), а для этого требуется, чтобы индексы дефекта оператора Т имели вид (и, т). Если индексы дефекта оператора Т есть (со, со), то оператор Т имеет как самосопряженные, так и несамосопряжениые максимальные расширения. Операторы радиального импульса (5 7.8) имеют индексы дефекта (1, О) и, следовательно, являются максимальными, но не самосопряженными операторами. Второе определение самосопряженности, эквивалентное первому, данному в предыдущей главе, но более удобное для некоторых целей, выглядит так: симметрическив оператор (или замкнутый симметрический оператор) сушестаемно самосопряжея (или самосопряжсн), если +1 и — 1 принадлежат его резольвентному множеству. Следовательно, чтобы показать, что данный оператор А с плотной областью определения, такой, что (Аи, о) =(и, Ап) для всех и, и Е О(А), существенно самосопряжен, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
