Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Более общие формулировки см. в книге Феллера (19661. Как указывалось ранее, из-за возможного обращения в нуль числителя и знаменателя в (13.7.5) теряется единственность функций 6 и Н. Если ге принадлежит интервалу постоянства Р(г), то распределение не содержит никаких троек $, гь ~ с ~ = — ао и поэтому 6 (у ! г,) и Н (х! у, г,) не определены, хотя это означает лишь непригодность данного представления.
Аналогично если для некоторого г, у, принадлежит интервалу, в котором 6(у) г,) постоянна, то это означает лишь неопределенность Н(х~ у„г»). В следующем параграфе мы объясним использование этих функций в методе Монте-Карло. 13.8. МОДЕЛИРОВАНИЕ. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО Первоначально метод Монте-Карло разрабатывался в связи с изучением нейтронной цепной реакции в системе с размножением, и этот метод легче всего описать, имея в виду такое применение, Пусть система состоит из нескольких фиксированных областей пространства, заполненных веществами с известными свойствами. Отдельный эксперимент (пользуясь терминологией предыдущих параграфов) заключается в следующем: один нейтрон вводится в данную систему в точке пространства х, со скоростью ч, в момент времени Те и нейтронной цепочке разрешается ветвиться до некоторого момента «переписи» Т > То.
Тогда случайными пере- 11 ° Гя. 13. Веааятноееяь. Мера 3224 менными $, н, ... будут положения и скорости х1, ч1 (1' = 1, ..., т) нейтронов, имеющихся в момент времени Т. Число нейтронов т также является одной из случайных переменных. Описанный эксперимент следует осуществить повторно и независимо большое число и раз.
Хотелось бы получить средние значения различных величин ер($, ть ...), таких, как полная кинетическая энергия нейтронов в момент Т, некоторые моменты их пространственных распределений и т. п, Однако этот эксперимент не проводится в лаборатории, а моделируется на ЭВМ с использованием случайных чисел. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, промежуточной между двумя случаями, рассмотренными в предыдущих параграфах.
В первом случае была известна функция распределения г (х, у, ...) случайных переменных $, е), ... и мы хотели лишь вычислить некоторые средине. Во втором случае была неизвестна функция распределения Р (х, у, ...) н нам хотелось получить сведения о ней из большой выборки измеряемых значений. В рассматриваемом случае вероятностные законы элементарных процессов (иейтронно-ядерного взаимодействия) нам полностью известны, иодля ветвящихся цепочек этн законы комбинируются столь сложно, что практически почти невозможно записать н тем более использовать некую формулу для функции распределения Р (х, у, ...) результата. Однако знания элементарных процессов вполне хватает для достаточно точного моделирования ветвящихся цепочек с помощью ЭВМ, что не только дешевле и надежнее, но и гораздо удобнее с точки зрения измерений, чем изучение цепной реакции в лаборатории.
Программа, реализующая метод Монте-Карло, содержит подпрограмму, называемую генератором случайных чисел. Каждый раз эта подпрограмма активизируется (при помощи оператора СА1.1. или ему подобного) для получения числа е в интервале 0 < г < 1. Числа г„г„..., порожденные таким образом, в практическом отношении ведут себя подобно независимым значениям некоторой случайной переменной р, равномерно распределенной на (О, 1), т. е.
имеющей функцию распределения О, г < О, Р(г)= г, 0<г< 1, 1, 1 <г. Строго говоря, эти числа не являются ни случайными, ни независимыми, поскольку каждое из них как-то вычисляется из предшествующих, но, как правило, они удовлетворяют всем стандартным статистическим тестам случайности, равномерности и независимости с точностью, значительно превышающей требуемую тд.д. Моделироеааае. Меоюд Маком-Карло 325 в методе Монте-Карло.
В одной из первых таких подпрограмм использовалась простая формула Г„+, = 7"Ге (шоб 1), (13.8.1) где г — десятичные дроби, содержащие 11 цифр, причем произведение образуется с 22 знаками, но затем производится усечение по модулю 1. Эта схема производит около 1О" различных чисел до повторения, если начать, скажем, с Г,=10 " (очевидно, г, не должно быть равным нулю или иметь нуль в качестве своей наименьшей значащей цифры). По изучению генераторов случайных чисел была проделана большая работа, вероятно, даже ббльшая, чем это было необходимо, поскольку уже простейшие генераторы типа (13.8.!) оказались вполне удовлетворительными для практических целей.
В процедуре моделирования каждая ветвящаяся цепочка (т. е. каждое повторение еэксперимента») строится последовательными шагами с использованием случайных чисел и известных вероятностных законов для элементарных процессов. Первый шаг после введения первоначального нейтрона в точку х, со скоростью у, состоит в определении точки х, первого столкновения. Длиной первого свободного пробега, т.
е. расстоянием ! х, — х, !, которое нейтрон пройдет до первого столкновения, является случайная переменная, обозначенная через $ в примере 2 2 13.1, причем ее функция распределения Р(х) была показана на рис. 13.3. Легко видеть, что если мы, получив случайное число г при помощи генератора, приравняем это расстояние — Л!п г, где Л вЂ” средняя длина свободного пробега, то мы получим правильное распределение вероятности для расстояния. Так как движение пРоисходит в напРавлении единичного вектоРа Уо/!Уо!, мы полагаем ХГ Хр+(( Л1ПГ)~!Уо!)Чо (13.8.2) Момент времени первого столкновения определяется как 11=!О+( — Л!п ГИУО!. (!3.8.3) Этот пример иллюстрирует общий принцип, состоящий в том, что если Р(х) — функция распределения случайной переменной $ н Р ' обозначает функцию, обратную к Р, так что Г=Р(х)ФФХ=Р 1(Г), и если, кроме того, р имеет равномерное распределение на (0,1), то случайная переменная (13.8.4) ч=Р '(р) имеет распределение, определенное при помощи Р, ибо Р Я ( х) = Р (р < г) = г = Р (х).
326 Гл. И. Вероятносаь. Мора Поэтому правило выработки одномерного распределения заключается в подстановке случайного числа г в функцию, обратную данной функции распределения. Правила выборки для многомерного распределения можно'получить аналогичным образом при помощи разложения по маргинальной, смешанной и условной вероятностям, рассмотренным в 9 13.7. Например, если в трехмерном случае функции Р, 6, Н„ заданные в (13.7.7) — (13.7.9), описывают распределение переменных $, ц, ~, а Р ', 6 ', Н ' — функции, обратные этим функциям относительно первого аргумента, т. е. если Р (г) = г ФФ г = Р-' (г). 6 (у ! г) = г чФ у = 6 ' (г ~ г), Н(х1у, г)= г~Фх=Н ~(г/у, г), то выборочные значения х, у, г переменных $, ч, Ь определяются как г=Р '(г„), у=6 '(г,)г), х=Н '(г,~у, г), где г„г„г,— независимые случайные числа, полученные прн помощи генератора. Второй шаг моделирования цепочки заключается в выяснении того, сколько нейтронов появилось в результате столкновения в точке х,.
Число появившихся нейтронов является случайной переменной, функция распределения которой представляет собой ступенчатую функцию, причем она предполагается известной из лабораторных измерений, а ее значение определяется путем подстановки случайного числа в функцию, обратную этой ступенчатой функции. Направления движения н значения энергии новых нейтронов затем определяются путем выборки других элементарных распределений„также известных из лабораторных измерений, и т.
д. Это продолжается до тех пор, пока для всех ветвей данной цепочки не наступит момент переписи Т. После того, как таким образом будет смоделировано большое число независимых цепочек„ скажем от 1000 до 10 000, искомые статистические свойства цепной реакции получаются путем усреднения, а вероятные ошибки средних можно вычислить по формулам э" 13.б. Искусство использования метода Монте-Карло на практике базируется на многих методиках, которые в течение многих лет разрабатывались в целях упрощения процедур выборки и уменьшения дисперсии; см. книгу Спанье и Гелбарда (19б91. Хотя точность этого метода по существу ограничена (ошибка составляет примерно 1оь), он часто дает полезные ответы для задач статистической физики, которые полностью неразрешимы аналитическими методами из-за сложной природы физических систем.
зет «8.9. Мери 13.9. МЕРЫ Хотя описание через функции распределения является наиболее приемлемым для конечномерных случаев, вероятностные распределения могут быть также получены в рамках общей теории распределений или классической теории меры. Такие описания позволяют перейти к бесконечиомерным случаям, к абстрактным выборочным пространствам и к современной теории стохастических процессов. Вероятностные распределения в Р" принадлежат классу распределений на к", называемых мерами, которые мы сейчас обсудим большей частью без доказательств. Классы С,"=1х1 и д' пробных функций часто оказываются более узкими, чем это необходимо для определения частного в Ю распределения <~, ° >, а типы сходимости «рг- ф и ф~- фпробных функций часто оказываются сильнее, чем это необходимо для непрерывности линейного функционала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
