Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Таким образом мы видим, что цилиндрические множества образуют алгебру А„множеств, т. е. совокупность множеств, обладающих следующими свойствами: !) объединение н пересечение двух любых цилиндрических множеств являются цилиндрическими множествами; 2) дополнение (в Н) любого пилиндрического множества является цилиндрическим множеством. 18„11. Ввроятнооть в гигьбгртовоя яространгтвв Следующее свойство этой алгебры состоит в том, что если имеется счетная совокупность (Яг)р цилиндрических множеств, каждое из которых имеет основание в общем конечномерном подпространстве, то их объединение В Я, н их пересечение 4=и () 21 представляют собой цилиндрические множества, 1=! Алгебра А, не является о-алгеброй, поскольку в общем случае счетное объединение В Я, не представляет собой цилиндриг=! ческое множество, если только все 21 не имеют оснований в общем конечномерном подпространстве, но мы определяем А как наименьшую о-алгебру, содержащую А,.
Алгебра А получаетсп при помощи операций дополнения и счетйого объединения, исходя нз цилиндрических множеств. Множества Й, и Йь,м заданные. равенствами (13.!1.2), содержатся в А. Допустим теперь, что Р— счетно аддитивная функция множества, определенная на а-алгебре А и удовлетворяющая аксиомам О ( Р (Х) в-. 1 = Р (Н), (13.1 1.4) как в предыдущем параграфе. Тогда тройка (Н, А, Р) представляет собой вероятностное пространство. Если Я вЂ” цилиндрическое множество, то Р(2) можно интерпретировать как маргинальную вероятность. Именно, пусть М— подпространство, которое содержит основание Я множества Я, и пусть (фь)р — ортонормированный базис в Н, причем такой, что (ф„ ..., гр„) является базисом в М, а (гр ь ...) †базис в Мх.
Тогда координаты (х )," точки х в Й относительно базиса (гоь)р можно рассматривать как случайные переменные, которые ойисывают результат некоторого эксперимента, а Р(7) есть вероятность того, что точка (х„ ..., х ) лежит в Я, тогда как значения хтвм ... полностью игнорируются. В этом смысле Р(Л) †маргинальн вероятность. Определение Р(Я) для всех г, из А, сводится к определению всех возможных конечномерных маргинальных вероятностей.
Предполагается, что это определение- согласуется с вероятностной интерпретацией: именно, Р(У) удовлетворяет (13.1!.4), является конечно аддитивной, а также счетно. адднтнвной в том смысле, что для непересекающихся 7, в Ав Р 0 2, =~Р(71), (13.11.5) когда () 2» содержится в А,. Мы называем Р вероягпностног1 1 лерой на А,.
Следующая теорема является фундаментальной. в теории вероятностей (см. книгу Феллера 119бб, ~ 17.5)). 342 Гя. 13. Вероятность. Мера Теорема о расширении. Если А,— алгебра множеств, а Р— вероятностнал мера на А„то Р имеет единственное расширение до вероятностной меры на о-алгебре А, порожденной алгеброй А,. Если Р ограничить подалгеброй алгебры А„состоящей из всех 2 с основанием 5 в некотором фиксированном конечномерном подпространстве М, то мы можем определить Рм (5) = Р (2) ' тогда ясно, что Рм есть вероятностная мера в М.
Но М конечномерно, и поэтому Рм можно описать при помощи методов предыдущих параграфов, например, используя функцию распределения Е(хь ..., х ) или — в случае ее абсолютной непрерывности — плотность ~(хо ..., х ). Чтобы показать, что данная функция множества Р является вероятностной мерой в Н(после того, как уже показано, что Рм представляет собой вероятностную меру в каждом М), остается лишь показать„что счетная аддитивность (13.11.6) имеет место, когда не все 2, имеют основания в общем М, хотя их обвединение есть цилиндрическое множество. Такой пример будет приведен ниже в упражнении 4.
Гельфанд и Виленкин (1961, 9 1ьг.2] приводят различные условия, при которых Р является счетно аддитивной, когда Рм — вероятностная мера в каждом М. В том случае, когда Р определена на А„ но предполагается лищь ее конечная аддитивность (и значит, она, строго говоря, не могкет быть вероятностью), эту функцию называют мерой цилиндрических множеств. Основными примерами служат так называемые гауссовы меры в Н, которые соответствуют нормальным распределениям в конечномерном пространстве, В з 13.4 было определено двумерное ноРмальное РаспРеделение, имеющее пРедписанные сРедние Ря и 1с, случайных переменных $ и г) и предписанную ковариационную матрицу р. Было показано, что, переходя при помощи линейного преобразования от переменных $, г) к переменным а, р, можно получить нормальное распределение переменных а, с нулевыми средними и единичной ковариациониой матрицей р.
Плотность вероятности сс, р тогда равна ехр( — (аь+11ь)/2). Сначала опишем обобщение этого случая на пространство Н. Оказывается, что в этом случае нет счетной аддитивности, хотя некоторые другие гауссовы меры обладают таким свойством. Пусть 2 — цилиндрическое множество, основание которого Я лежит в т-мерном подпространстве МЕН, и пусть х,, ..., х„— декартовы координаты в М. Меру цилиндрических множеств определяем, положив Р(с) =(2п)-тн) ехр( — (х,'-1-... +х')г21 йхс...йх . (13.11.6) 13.11. Вероятность в гильбгртоаом простраясяыг 343 Отсюда следует, что Рм имеет плотность (2п)- ! ехр( — (х,'-(-... ...
+х')/21 в М. (Напомним, что гх — вещественное гильбертово пространство и поэтому координаты ку вещественны.) Можно показать, что Р(Л) не зависит от выбора М и 5 для данного Л (см. упражнение 2) и что Р не является счетно аддитивной (см. упражнение 3). УПРАЖНЕНИЯ 1. (Демонстрацня того, что маргинальные веронтностн могут давать большую информацию.) Пусть р(х, у) — функция распределения случайных переменных в, ч. Рассмотрнм преобразовання Е =с сов О+т)ып О, т)'= — Вз!пО+чсозО (О вешественяо). Допустим, что для каждого таного преобразования маргннальное распределе. нне $' прн игнорировании ч' известно. покажнте, что тогда Р (к, у) определена, 2.
Покажите, что прн замене М н В на М' н 3' для данного 3, кэк это было опнсвно ранее, значение (13.11.6) для Р (3) не изменится. 3, Пусть х! () = 1, ...) †координа относительно полной ортонормнрованной системы (!ру)! в вешественном гнльбертовом пространстве Н. Рассмотрнм цнлнндрнческне множества 2!' ~х!) < а (хы хь " . произвольны), » 2»: лч~ч к! < ае (к»+н ... проязвольны), / ! где а — положительная постоянная. Покажите, что (13.11.6) дает Г (»/2, аг/2) Г (»!2) где Г (х, у) — неполная гамма-функцня, нмеюшая внд Г(х, у) = $ г" г!"-! 31 е (Г(х)=Г(х, со)). Используя очевидное неравенство Г (х, у) < ук-х для положительных х н у я асямптотнческую формулу Стнрлннга для Г (х), покажите, что для фнкснрованного а > О Р(2»)- О прн»- еэ.
Пересечение П 2» »=! представляет собой шар В радиуса а в Н н не является цилиндрическим множеством, но если бы функция Р могла быть расширена на о.алгебру А (которая содержит В ), мы бы заключили, что Р (В ) =О для любого а. Накопец, поскольку Н является счетным объеднненнем () В, мы видим, что гаусс=! сова мера Р не является счетно адднтнвной. Гж 18. Вероятность. Мера 344 4. пусть ку (1=1, ...1 снова координаты. рассмотрим цнлиндрнческие множества (во всех случаях неуказанные координаты произвольны): Еб к~ <1, хя.
хаги!, кя < 1, гы х1 1 В=1, ..., Д-П, х„< 1. 'Покажите, что ла не пересекаются, что их основания не лежат в каком-либо общем конечномерном подпространстве и что их обьединение является цилиндрическим множеством. Грубо говоря„причина того, что описанная выше гауссова мера не ведет себя как вероятность, заключается в следующем. Гауссова мера имеет единичную дисперсию в каждом из бесконечно многих направлений в Н, а это вызывает стремление «вытолкнуть» вероятность на большие расстояния до такой степени, что фактически вероятность нахождения х в любом конечном шаре равна нулю (см.
упражнение 3). Разумеется, такой путь рассуждений носит чисто эвристический характер, поскольку в Н нет таких понятий, как плотность вероятности, а потому бессмысленно говорить о том, «где> локализована вероятность, но этот путь наводит на мысль, что, возможно, мы получим более разумную гауссову меру, если выберем фиксированный ортонормированный базис Щ," в Н и потребуем, чтобыдисперсия в направлении тр, стремилась к нулю с достаточной ско. ростью, когда 1 со.
Конечно, полученная мера будет в высо. кой степени анизотропна. С этой целью допустим, что В -положительно определенный компактный оператор, и обозначим А=В '. (Введенные выше ортонормированные векторы тр, будут собственными векторами В, а дисперсия н направлении ф будет соответствующим собственным значением.) Если 2 — любое цилиндрическое множество с основанием 5 в т-мерном подпространстве М, то примем в качестве ортонормированного базиса в М совокупность (~р„..., 4р ) и определим эрмитову матрицу А(М) с элементами А (М)1» — — (~р1, А~р ) (), й = 1, ..., тп), а затем положим х'(ы утверждаем без доказательства, что это определяет меру цилиндрических множеств и что эта мера счетно аддитивна, Пригова.
к гг. 13. Функции ограниченной вариации 345. ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ 13. ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОР ВАРИАЦИИ Полной вариацией вещественной функции )(х) одной переменной в интервале (а, Ь) является, грубо говоря, сумма всех вертикальных смещений„ необходимых при вычерчивании графина )(х) от х= а до х= Ь, если все смещения — и вверх, и вниз †берут со знаком плюс. Если 1(х) имеет иепреь рывную производную, то полная вариация равна ) ) Р (х) ) г(х, Однако чтобы » придать зтому понятию более общий смысл, не обязательно требовать, чтобы функция ! (х) была дифферениируемой или даже непрерывной. Полная варкация ступенчатой функции равна сумме модулей велячин ее скачков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
