Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Разбиение Рм отрезка (а, Ь) представляет собой совокупность точек хг„ таких, что а=х» < х, «... хдг=Ь. Тогда полная вариация г иа (а, Ь) определяется как У»=У»())=зиР ~ ~~ ))(ху) — )(ху !)): Урм, У)У . (13А,11 11=! Ясно, что зто определение согласуется с частными случаямн, описанными выше. Функция г(х) имеет ограниченную гариацшо на [а, Ь), если У» <'»». Ь Функция имеет ограниченную гариацию на К, если У» конечна и остается ограниченной, когда а, Ь вЂ” — о», +»о. Фуннция имеет локально ограниченную вариацию, если У» конечна дли любого конечного интервала (а, Ь). ь' ПРИМЕР ! Функция 1(х), принимающая значение ! для рзциональиых х и значение О для иррациональных х, имеет неограниченную вариацюо на любом интервале. ПРИМЕР 2 Непрерывная функция О при х=о, ! (х) = х з!п (1!х) при х ю О (1З.А.22 имеет неограниченную вариацию на любом интервале, включающем начало координат.
Пример з Монотонная функция (неубыва!ощая или невозрастающая) имеет огрзииченнув вариацию на любом интервале; в самом деле, У» )1(Ь) — !'(а)!. ь Частичное обращение утверждения примера 3 состоит в том, что любая функция ! (х) локально ограниченной вариации может быть представлена в виде разности двух неубыва!оших (или двух невозрастающих) функций: ) (х)=!1(х) — !2(х). (13.А.З) если  — ядерный оператор; тогда 10, А, Р) является вероятностным пространством. Подробности см.
в книге Гельфанда и Виленкина 11961). Гл. 13. Вероятность. Мера Чтобы это показать, разобьем Ув на две части — положительную и отрица. ь +ь ь тельную вариации У» и Ул, для чего введем обозначения [у)+=щах(О, у), [у)-=щах[О, — у) (1З,АА) для любых вещественных у н определим +ь У» = апр (~ [1(ху) — 1(ху т))чп уРгг, у)у), (1 З.А,5) Ув —— знр ~~~'~ [1(ху) — 1(ху т))-г УРтс, УФ~.
Очевидно, что Уа+ Ус=)в. Ув — Уа=1(Ь) — 1(а) Наконец, в (1З.А.З) 11 н 1ь можно взять в виде 1ь (х) =)в+ сонэ(, 1э (х) Ьв+ сопз1 (1З.А,6) 1(х) =11 (х) 1з (х)+11з (х) 1[ь (х) где каждая из 1а — неубывающая функция. Рассмотрим теперь вещественную функцию 1 (х, у) двух переменных. Полная вариация 1 в прямоугольнике ав~хвСс, Ьвцу~й есть У:ь=зпр ~ч~, [1(Пуь) [: Урм У)У~ [Ь ь (13.А.7) где Рм — разбиение данного прямоугольника на малые прямоугольники [)уа вертикальными и горизонтальными прямыми с коордикатами ху и уь, такими, что а.=хь < хт « ... хм=с, Ь=у,< у,« ...
ум=й, а обозначение 1(Д) было обьясиено в 5 13.3. + - л Положительные и отрицательные вариации Увь и У,ь получаются замеса иой [ ° [ в (13.А.7) на [ )+ и [ )-, как в одномерном случае. Когда величины 1(Дуь) суммируются по совокупности малых прямоугольников, покрывающих нскодный прямоугольник, все члены, кроме тех, которые соответствуют угловым точкам исходного прямоугольника, взаимно уничтожаются; поэтому Ут — Увь = 1 (с, й) — 1 (с, Ь) — 1 (а, й) + 1 (а, Ь) где две константы выбраны так, что их разность равна 1(а). Представление (1З.А.З) весьма неоднозначно, поскольку 11 и 1з можно заменить на 1д+у и 1а+у, где у — любая неубывающая функция. Функции, приведенные в (1З,А.б) и казываемые восходящей и нисходящей частлли 1(х), имеют особое свойство, состоящее в том, что когда одна из них возрастает, другая остается постояииой.
Таким образом, возрастание 1г (х)+1ь (х) на интервале [а, Ь) равно Ул, а не просто гь Ус. ь ь Если 1(х) — комплекснозначная функция, то определение (13.А.1) остается в сцле, но разделение на восходящую и нисходящую части нужно проводить отдельно для )(е1(х) и 1щ 1(х); в таком случае мы имеем Прилож. к гг.
И. Функции ограниченной гяриации 347 Если заменить с и и на х н у, а а и Ь рассматривать как постоянные, то можно записать 7(х, у)=(Уай+7(х, Ь)+7(а, у)+сонэ() — (У,"ь+ссоз()= =)д(х, у) — )а (х, у), (1З.А.З) (1З,А.!0) 7 = ух — )а+ (уэ — Ча где каждая из 7» (х) — неубывающая функция. где гю уа — неубывающие функции х и у в том смысле, как вто было определено в 5 13.3. Замечание. В этом равенстве члены ) (х, Ь) и 7(а, у), каждый из которых зависит ст одной переменной, могут быть включены как з )м так и в 7„ поскольку для ннх 7(()) всегда равна нулю. Для л-мерного случая, описанного в конце 4 1З.З, все делается по тому же образцу. Йспользуя обозначения 4 13.3, мы определяем 1 а=зирч(~ну~ е(П1 ) )' У 1ч (13.А.9) Тогда комплекснозначную функцию 7(х) локально ограниченней вариации вюжно записать в виде Тиава 14 ВЕРОЯТНОСТЬ И ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Состояния системы; наблюдаемые; измерение; вероятностные аксиомы для квантовомеханической системы; спектральные проекторы; ортогональиость проехторов как следствие вероятностных аксиом; функция распределения для наблюдаемой; вероятностная основа для представления наблюдаемой в качестве самосопряженного оператора; математическое ожидание; дисперсия; неопределенностзя квантовомеханический ансамблзк матрица плотности †положитель определенный оператор с единичным следом; функция ожидания; выражение неограниченных наблюдаемых через ограниченные; соотношения коммутации; бааахоаа алгебра; Сю и В*-алгебры; представление Вчсалгебры через С*-алгебру; положительно определенный элемент; положительный функционал; наблюдаемая с простым спектром; порождающий вектор; спектральное представление гильбертова пространства; полная система коммутирующих наблюдаемых; унитарные енаблюдаемыек Предваршпельные сведения: гл.
! — 9, 12, !3. Эта глава посвящена обсуждению роли, которую играет вероятность в основаниях квантовой механики, и предварительному знакомству с той ролью, которую играет вероятность в квантовой статистической механике. та.т. СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ. НАБЛЮДАЕМЫЕ Б квантовомеханическом описании некоторой физической системы (например, атома) предполагается, что каждое возможное состояние соответствует ненулевому элементу (вектору) гр в некотором гильбертовом пространстве Н или, точнее говоря, лучу (агр: а Е С), содержащему все кратные гр. Обратно, каждый луч в гт соответствует возможному состоянию данной системы.
Часто бывает удобно считать, что гр нормирован (1гр(=1); вектор гр и в этом случае определен неоднозначно, так как любой вектор вида ега~р (а вещественно) также может быть взят в качестве представителя рассматриваемого луча, т. е. состояния данной системы, Обозначим через А вещественную наблюдаемую величину в классическом смысле, например энергию данной системы. С классической точки зрения А имеет определенное значение )ь в каждом состоянии системы гр. С другой стороны, в квантовой теории допускается, что если данную систему неоднократно приводить в состояние гр н каждый раз измерять А, то, вообще говоря, получатся различные значения )ьг к', ).", ..., подчиняющиеся, однако, некоторому вероятностному закону.
Пусть г'( )— 349 е4,2. Верояпишстие еонееная яооееь функция распределения для этих значений (см, гл. 13), такая, что для любого вещественного Л е' (Лю) = Р (Л» ~Ле) где Р обозначает вероятность; функция г зависит, конечно, от начального состояния ер. Далее, при измерении наблюдаемой еТ в общем случае происходит возмущение системы, так что после каждого измерения она оказывается в различных состояниях ф, ф', ф", .... Эти конечные состояния распределены (в ее) по некоторому вероятностному закону (также зависящему от начального состояния ер), и ф взаимосвязаны с Л определенным образом (как именно, будет объяснено ниже). Предполагается, что после каждого измерения 4 данная физическая система приводится в начальное состояние ф до осуществления нового измерения.
Из описанных ниже простых аксиом квантовой механики будет следовать, что каждой наблюдаемой еТ можно поставить в соответствие самосопряженный оператор А в ет. Функция распределения г" (.) значений еТ для данного состояния ео тогда будет выражена через А и ш при помощи формулы (14.3.7). 1ЕДс ВЕРОЯТНОСТИ: КОНЕЧНАЯ МОДЕЛЬ Сначала будут сформулированы аксиомы для модели, в которой имеется лишь конечное число возможных конечных состояний (нормированных векторов) ф„ф„, ..., ф„, называемых собственными состояниями наблюдаемой 4, которые могут быть получены в результате измерения. В каждом состоянии фе еТ имеет единственное вещественное значение Л,, которое рассматривается как значение некоторой физической величины, когда система находится в состоянии фн Числа Л„..., Л„будем условно называть собственными значениями, хотя пока что с еТ не было связано никакой матрицы илн оператора.
Предварительно мы допустим, что все Л, различны; как будет показано ниже, это допущение легко обойти, несколько изменив формулы. Из аксиом будет следовать, что собственные состояния порождают пространство 11, которое, следовательно, в данной модели а-мерно. Основная аксяома разбивается на две части. (а) Если еТ измеряется, когда система находится в состоянии, представляющем собой линейную суперпозицию собственных состояний, т. е. в состоянии вида ЗБО Гя. 1е. Вероятность и онераторы в квантовой механике то вероятность получения в результате измерения значения Хн пропорциональна квадрату нормы й-го члена суммы„т. е. Р(Х=Хн)=сопз1 ~сн1ь. (14.2.2) (б) Если в результате измерения получается значение 7!н, то система находится в состоянии ф„. Если сР=снфн (все остальные су Равны нУлю), то измеРенное значение равно Хн (и система не возмущена данным измерением); поэтому коэффициент пропорциональности в (14.2.2) равен )ф1-Я (вспомним, что 1фн1=1). Таким образом, в общем случае Р ( Х = Хн) = ! сн ~'/( !р р.
(14.2.3) Из сформулированных выше аксиом следует, что фу ортогональны. В самом деле, поскольку сумма вероятностеи (14.2.3) равна единице, мы имеем о и ,Р1 /се~'=(!сР!!ь — — (сР, сР)= ~.", сйсн(фу, 11!н), (14.2,4) 1 !, и=1 Это тождество относительно се, и значит, ("Ь фн) =-бтн. (14.2.5) Отсюда следует, что с =(фт, ср) для каждого 1. Таким образом, аксиома (а) принимает вид Р Р=)1н) =!(фн, ч)Ич')' (14.2.6) (В том случае, когда не все Х! различны, суммирование в правой части следует проводить по всем и, для которых ). =Х.) Теперь мы допустим, что (14.2.6) справедливо для всех ср из гильбертова пространства Н (которое до сих пор не было определено).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
