Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Заметим также, что р и д не обязательно эквивалентны соответствующим операторам в ьз(Н), поскольку оператор 4, ограниченный в ь'(О, 1), неограничен в ьз (й). Следствие теоремы Стоуна — фон Неймана заключается в том, что каждый из самосопряженных операторов р и д, удовлетворяющих (!4.6.1), имеет чисто непрерывный спектр, состоящий из всех вещественных чисел, 14.7. Самоеопреженныл оператор с простым спектпом 363 В книге Путнама 119671 имеются теоремы об условиях, при которых из равенства рд — др= — Тй на плотном в Н множестве следует соотношение Вейля (14.6.1), а также соответствующие теоРемы длЯ систем канонических пеРеменных Реэ д, 1=1, 2, .... Когда существует бесконечное множество таких пар (р, д ), теорема Стоуна — фон Неймана не применима, и в общем случае имеется много различных и неэквивалентных представлений соотношений коммутации Вейля.
Этот факт играет определенную роль в квантовой теории поля (см. книгу Йоста (19651), ТЛ.Т. САМОСОПЭЯЖВННЫП ОПЕРАТОР С ПРОСТЫМ СПЕКТРОМ Говорят, что (их и)»матрица М имеет простой спектр, если каждое из ее и собственных значений Л;, ..., ˄— простое, т. е. все Л различны. Как известно, в этом случае собственные векторы ч', ..., ч" порождают все и-мерное комплексное векторное пространство рп или Оп. (Доказагиелосшво. Для того чтобы доказать линейную независимость ч"', допустим, что с»чо'+...
+с ч'"'=О, о и покажем, что все с,=0. Пусть р»( ) обозначает интерполяционный полипом Лагранжа для любого й=1, ..., и, такой, что р, Щ=О при )~й, а р»(Л„) чыО. Если матрицу р,(М) умножить на вектор (14.7.1), то все члены в левой части обратятся в нуль, кроме й-го члена; отсюда следует, что с»= 0.1 Приведенное выше определение простого спектра не распространяется на операторы в Н, поскольку в Н нет собственных векторов, соответствующих непрерывному спектру.
Следовательно, это определение надо заменить таким, которое было бы пригодно и для Н. Пусть Л;, ..., Л вЂ” различные собственные значения М (при й=и спектр простой), а Р„..., Р» — соответствующие проекторы на собственные подпространства Е,, ..., Е» (Р Е, = бтЕ,). Спектр является простым тогда и только тогда, когда существует вектор э Е Р', такой, что его проекции Р,Ъ„ (1 = 1, ..., й) порождают чо (например, если все Л различий, в качестве $ можно взять линейную комбинацию ~с чы', причем все с7 отличны от нуля). Если М вЂ” эрмитова матрица (и следовательно, представляет самосопряженный оператор в (7"), то соответствующее разложение единицы имеет вид Ее= Х Ргэ ОТСС а спектр является простым тогда и только тогда, когда векторы ЕД, в которых 1 пробегает В, порождают (7п.
364 Гв. 14. Вврвяпиаоаь и ааврааюрм в хваиаюваа механике Допустим теперь, что А= ~ ЫЕ,— самосопряженный оператор в Н. Назовем спектр А простым, если существует элемент $ в Н, такой, что замкнутая линейная оболочка элементов (ЕД: — оо <!< со) . (14.7.2г совпадает с Н, т. е. совокупность конечных линейных комбинаций таких элементов плотна в Н. Вектор $ называется порождпющим вектором для А. Аналогично спектр унитарного оператора аи Ц= Г)е'едри а является простым, если существует порождпющий вектор $, такой, что элементы (Рва: О.= О < 2п) порождают Н. Если А имеет простой спектр, то, в частности, для любого Х из точечного спектра Ра (А) собственное подпространствз Ел одномерно, как и в конечномерном случае.
Чтобы это показать, допустим, что $ — порождающий вектор, а Рл = Ел,о — Ел-о является проектором на Ел. Тогда РлЕД= — РД при Г) к и РлЕД=О при ! < Х. Следовательно, для любой линейной комбинации т! элементов ЕД, а значит, для любого л) в Н, Рлт~ = = сопз! РД, откуда следует, что Ел одномерно. Грубо говоря, если А соответствует наблюдаемой 4, то измеримое значение А однозначно определяет состояние системы (т. е. состояние, в котором система остается после измерения) при условии, что А имеет простой спектр; в противном случае для однозначного описания состояния системы необходимы также значения других (коммутирующих с 4) наблюдаемых З, 'и и т.
д. (см. $ 14.9), Обозначенный через А„оператор Штурма — Лиувилля с одной регулярной концевой точкой и с одной особой концевой точкой типа предельной точки был описан в 4 10.11 и 10.12. В разложении по собственным функциям (Ю.12.7) заданной функции д (х) для любого данного значения спектрального параметра з= Х оказывается единственная функция, а именно !в(х, Х). Это наводит на мысль, что А„имеет простой спектр.
Для данного Х 1,(х, )) удовлетворяет дифференциальному уравнению — (р)')'+ + ч!'=Ц и граничному условию (10.11.2). Следовательно, эта функция является собственной функцией в обобщенном смысле, но не в строгом смысле, поскольку она не интегрируема квадратично на (О, оо) (если только Х не лежит в точечном спектре) 74.В.
Спектральное предстаатнпе пространопва Н 365 и, значит, не принадлежит данному гильбертову пространству. для доказательства простоты спектра А„нам нужно найти порождающий вектор 3=6(х) в Н=Ез(0, оо). Упражнения 1. Пусть Ч(з) — функция класса Сз(Н), отличная от нуля для ксеч з н принадлежащая (.о. Покажите, что функция с (х) = ) (в (х, 5) з)(5) бр (з) ЯвлЯетса поРождающим векгоРом дла Ао. Указание. ФУнкции Л !з) класса С~(К) плотны в Ь<„а отображение (10.12.6), (10.12.7) устанавлнваег нзоморфнзм Ьз(0, ао) н (~.
2. Сформулнруйте определенне кратностн (положнтельное целое) спектра самосопряженного оператора, спектр которого не обязательно простой. 3. Покажите, что оператор †!о/лх вз й 10.1 нмссг простой спектр, в укажите порождающий вектор с(х). Разложение едннвцы приведено в 6 10.1. 4. Установите, что оператор — (4/лх)з нз 4!0.2 не имеет простого спектра. Эго можно сделать, показав, что если в (х) — порождающий вектор, то формула ~р(х)= 1 /(!)4(ЕД)(х) (( произвольно) не дает всех ф нз Ез(К).
В самом деле, любая ф(х), определенная втой формулой, имеет преобразование Фурье вида я (з) $ (з), где д(з)— чеятал функция. 44.3 спектРАльнОе пРедстАВление ЛРОстРАнстВА и ДЛЯ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА С ПРОСТЫМ СПЕКТРОМ В гл. ! было показано, что все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства по структуре идентичны. Гильбертово пространство некоторой квантовомеханической системы можно представить себе абстрактным пространством, но часто бывает удобным иметь его конкретную реализацию, например в виде пространства Ез функций, точно так же, как часто удобно вводить декартовы координаты в конечномерном пространстве.
Одной нз таких реализаций является так называемое спектральное представление, связанное с заданным самосопряженным оператором А, имеющим простой спектр. В квантовой механике ояо называется представлением, в котором оператор А диагоналем. Некоторые теоремы о спектральном представлении приведены и этом параграфе лишь с эвристическими <доказательствами»вЂ” детали читатель может найти в книге Ахиезера и Глазмана (!950).
Пусть в гильбертовом пространстве (абстрактном или конкретном) задан самосопряженный оператор А с простым спектром н порождающим вектором $. Обозначим через Е, разложение Ззб Ге. ЕЬ Верохотоеть и операторы о ктттооой механике единицы для А. Допустим, что некий элемент и из Н задается интегралом вида и= ) 1(1) дЕД, (14.8.1) где 1 (1) — комплекснозначная функция вещественной переменной г. Иначе говоря, мы предполагаем, что сумма Римана— Стилтьеса Х~(1,)Е(й,к (14.8.2) сходится в Н к элементу и, когда разбиение оси г измельчается.
Поскольку спектр А простой, любой элемент и из Н можно 'аппроксимировать суммой (14.8.2); поэтому разумно считать, что любой элемент и можно представить в виде (14.8.1). Положим теперь, что другим таким элементом является о= ~ й(Ое(ЕД, (14.8.3) и получим выражение для скалярного произведения (и, о) через . функции 1' и я. Развернув скалярное произведение сумм Римана— Стнлтьеса, соответствующих (14.8.1) и (14.8.3), мы будем иметь сумму членов, которые содержат произведения г (г4) и ((ь) на (Е(Л )$, Е(йь)$). В силу свойств проекторов полученные скалярные произведения равны 6 ($, Е(Л )$), а если учесть, что интервал Ье=(тео ть+,), то эти произведения будут разны б~ [И Е„,~) — 6 Е,~)1.
Таким образом, мы установили, что сумма ;Р1 А) и Ц) [(з, Е;„$) — ($, Е.,$) [ является приближением для (и, о). Но это тоже сумма Римана— Стилтьеса. Поэтому, переходя к пределу, мы можем допустить, что (и, о)= ~ ~ЯдЯе(($, ЕД). (14.8.4) Функция (() = 6* Е $) (14.8.5) является вещественной благодаря самосопряженности Е,. Кроме того, это неубывающая функция, так как при е,) ге о (~,) — о ((е) = (з, (Е, — Е, ) з) = =(х (Ее, Еп) хь) = =((Ее,— Ее,)~ (Ее,— ЕП) Ы~э О 74.8.
Спектральное прееставленае пространапва И 367 Подставив о( ) в выражение (14.8.4), получаем (и, о) =- ~ ! Яд(1) с(о(1), (14.8,6) ~ и!'= — ) (7(1) ('йо(1). (1 4.8.7) Это и есть искомые выражения. В 5 5.9 были определены пространства типа Е*„причем скалярное произведение и норма описывались выражениями, совпадающими с (14.8.б) и (14.8.7), где 7(.) и у(.) предполагались гладкими функциями.
Для гладких функций проведенные выше рассуждения нетрудно сделать строгими, и, следовательно, отображение 7( ° )- и является изометрическим изоморфизмом плотного в Ее множества на плотное в Н множество. Это отображение представляет собой ограниченное линейное преобразование гильбертова пространства Ц в гильбертово пространство Н. Путем очевидного обобщения теоремы о расширении из у 7.1 его можно распространить на все элементы каждого из пространств. Наконец, если оператор А = ~ 1йЕ, аппроксимировать сум- мой Римана — Стилтьеса ~~'.,'1 Е (Л7), (14.8.8) / используя то же разбиение оси 1, что и в (14.8.2), а затем применить оператор (! 4.8.8) к вектору (! 4.8.2), то полученную двойную сумму можно свести (в силу свойств проекторов) к одинарной сумме, а именно к Х1Л(1!)ЕМИ 7 Это наводит на мысль, что если и соответствует 7(1), то Аи соответствует 77(1).
Подобные соображения приводят к следую- щей теореме. Теорема. Пусть А — самосопряженный оператор с простым спектром в гильбертовом пространстве Н. Тогда существуют неубывающая функция о( ) и взаимно однозначное отображение и ~( ) пространства Н на пространство Е', такие, что из и ~( ) и о у( ) следует (и, о)=(7( ), д( )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
