Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Покажите, что если задать одновременно все четыре граничные условия (13.2.3) и (13,3.2), то у такой задачи совсем нет решения, если 7(х)вйо. (З.4. ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ ДЛЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Напомним, что одномерное волновое уравнение дзи д'и — = с»в дм дхь имеет решение вида и(х, !) =7(х+с!)+п(х — с!). (15.4.1) (15.4.2) Заметим попутно, что эта задача может быть представлена в каноническом виде, упомянутом в начале 315.2, введением другой функции о(х, !), такой, что ди до до ди — =с=, — =с —. (15.4.3) д! дх ' д! дх Тогда мгновенное состояние системы описывается заданием значений и(х, О) и о(х, О) как функций от х.
(Если в наличии имеется только и, то необходимо задавать также и ди(д!.) Если ! и я дважды дифференцируемы, то (15.4.2) дает строгое решение уравнения (15.4.1). Из физических соображений часто желательно допускать более общие «решення» такого вида, например решения пилообразной формы. Тогда производные от ! и е могут иметь разрывы; в точках разрыва 7' или д' вторые производные, которые входят в уравнение (15.4З), не существуют. Кроме того, знаменитый пример Вейерштрасса показывает, что можно выбрать такие ! и д, для которых !" и д" нигде не существуют, даже если !' н д' непрерывны; следовательно, уравнение (15.4.1) никогда ни при каких х и ! не может удовлетворяться, хотя подобные «решения» можно интерпретировать как такой волновой процесс, который физики называют «белым шумом», Хуже то, что ! и д сами могут быть недифференцируемыми нли даже всюду разрывными. Ясно, что как только начинают рассматриваться обобгценные решения, становится необходимым уточнить класс физически допустимых функций или распределений.
Обобщенное решение (15.4.2) в смысле теории распределений всегда удовлетворяет дифференциальному уравнению (15.4.1). Из (15.4.2) очевидно, что если при (=0 значения и и ди(д! известны для всех х, функции 7 и д полностью определяются эти ми начальными данными, н значит, решение (15.4.2) единственно. В гл. 17 мы увидим, что в некоторых нелинейных задачах, близко связанных с данной, обобщенные решения (называемые там «слабыми>) не являются единстнеь "ыми, если не заданы определенные вспомогательные условия; для данного дифференциаль- зтз Гл.
15. Эволюционные задави. Банахоыл нрввтранснма ного уравнения н данных начальных значений получаются различные обобщенные решения, зависящие от вида этих вспомогательных условий. 1$.5. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО (ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ) ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ В задачах описанного выше типа мгновенное состояние физической системы при любом фиксированном значении переменной Т характеризуется заданными функциями других переменных (называемых пространственными переменными). Эти функции будут обозначаться одним символом и и рассматриваться как точка бесконечномерного пространства В. Движение точки и =и (~) в пространстве В при изменении г соответствует эволюции системы. С этого момента и до гл.
17 рассматриваются только линей. ные задачи. Сумма и, + ив или разность ы, — и, двух элементов В определяется как такая точка пространства В, которая получается сложением или вычитанием соответствующих функций. Для любого числа и аи определяется как точка, полученная умножением всех функций, представляющих и, на Ф. Таким образом, В становится линейным пространством. Эти операции могут привести к функциям, не представляющим непосредственно состояния физической системы (например, могут получиться отрицательные плотности), однако удобно рассматривать такие функции как представления обобщенных состояний системы.
Тогда если функция разложена в В в какой-либо ряд, то отдельные члены и частные суммы этого ряда также представляются точками пространства В. По той же причине удобно использовать комплекснозначные функции. Понятие расстояния в пространстве В вводится таким образом, что две точки и, и и, близки тогда и только тогда, когда они представляют почти тождественные состояния физической системы.
Для линейных задач это расстояние берется как функция разности и,— и, (равной, скажем, и), называется нормой элемента и,— и, (или Ф) и обозначаетсЯ чеРез (и,— ив(=~~ге,'~; это число положительно, если и, и и, представляют разные состояния, и равно нулю, если и,=и,. В качестве известных примеров можно указать максимум-норму и 7.в-норму — см. З !5.7. Расстояние ,'~аго~, 'между состояниями аи, и аив рассматривается как умноженное на (сс! расстояние между и, и рм т. е.
(ало)== = (сс),'~Ф(. Поскольку определяемая величина интерпретируется как расстояние, необходимо дополнительно потребовать, чтобы выполнялось неравенство треугольника !)и,— ив((<) м,— и,,~+ +~~и,— и,'( ИЛИ, НЕСКОЛЬКО ПРОЩЕ, (ГО,+Гов(((жв(+~~в,(. МОжЕт быть, не очевидно, предписывается ли это требование физическими соображениями (напомннаем: в релятивистской геометрии нера- 75.7. Примеры банаховых пространств 379 венство треугольника не выполняется), однако фактически оно удовлетворяется при любом выборе нормы, которую, вероятно, следовало бы использовать на практике, и, кроме того, это требование существенно для некоторых важных результатов теории операторов.
ВЗ.Ь. ПОЛНОТА ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ. БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО Если осуществляется бесконечная последовательность изменений состояния системы и величина изменений убывает достаточно быстро вдоль последовательности, то кажется очевидным, что должно существовать возможное состояние системы, являющееся пределом этой последовательности состояний. Выражаясь математическим языком, если 1и,— и„~- О при 1, и- о независимо друг от друга, то последовательность (и„) точек Вдолжна иметь предел в В. В этом смысле В имеет такую же непрерывную структуру, как и множество вещественных чисел (у каждой последовательности Коши есть предел) в отличие от той недостаточности, которая присуща множеству одних рациональных чисел.
На основании этих роображеннй в качестве В берется банахсео пространство, фдв4рое было определено в гл. 1 (в 9 1.2 и 1.3) как полное норв ироеанное линейное пространство. Банахово пространство обладает всеми свойствами гильбертова пространства, за исключением тех, которые связаны со скалярным произведением, и как было указано в гл. 1, может оказаться невозможным определить скалярное произведение так„чтобы выполнялось соотношение (и, и)п»=1и1 для нормы и в В.
Для данной задачи часто возможен выбор среди различных банаховых пространств. Является ли данное арешение» приемлемым представлением возможной эволюции физической системы, должны решать физики, однако в следующей главе мы увидим, что как только банахово пространство В выбрано, соответствующие обобщения строгих решений будут обобщенными решениями, которые определяются некоторым семейством операторов Е(Т) в В.
1$.7. ПРИМЕРЫ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ Пространства непрерывных функций с так называемой максимум- нормой используются в задачах теплопроводности, диффузии и переноса. Приведем несколько примеров. 1. С(а, Ь) =(7: 7(х) непрерывна, а(х(Ь), '171=зцр((7(х) /: а:я хк,Ь), МО Гж 1д. Эволюционные задачи. Банаховы пространсшва т. е. С(а, Ь) — пространство всех функций, определенных и непрерывных на интервале а(х(Ь; для любой такой функции / норма является супремумом или наименьшей верхней гранью значений (/(х) (.
(В данном случае вместо зпр можно было бы написать шах.) 2. С(йн) =(/: /(х) непрерывна на всем !си», (/ $ = эцр ( (/ (х) /: х Е К" », где вектор х обозначает точку л-мерного пространства ген с координатами х„..., х„. 3. СР (Р, р) =(/: /(х) непрерывна для всех к и периодична о периодом р [/(х+р) =/(х)]», (Д=зцр()/(х)): хай (или х~[а, а+р), и любое)».
В каждом из этих примеров возможны два случая: случаи вегцественнозначных н комплекснозначных функций и скаляров, Если необходимо различать этн случаи, то пишут ""С(а, Ь) или сгхС(а, Ь) н т, п. Для этих пространств„очевидно, выполняются все аксиомы банаховых пространств (возможно, за исключением полноты). Утверждение.
Приведенные выше пространства являются полными и тем самым банаховыми пространствами. Докдзлтвльство (для С (йи)), Пусть (/а) — любая последовательность Коши в С (йн). Для любого а > О и для всех достаточно больших / и в !! /а — /,)~ ~ е; иначе говоря, ) /а (х) — /,(х) )ж. а Чх (!5.7,!) при всех достаточно больших ! и Д Поэтому (!) (/а(х)) для любого х является числовой последовательностью Коши и, следовательно, сходится к пределу /(х); (2) поскольку сходимость равномерна,/(х) непрерывна;(3) положив в (!5.7.!) Я вЂ” ~ ео, получии )/(х) — /г(х)(~в ых при всех достаточно больших ! — вто показывает, что /(х) ограничена и что !)/ — /г!! О при ! †оо.
Поэтому последовательность (/а) имеет предел /=/(х) в пространстве С (кв) и вто пространство полно. Типичным примером пространств с дискретными координатами служит гильбертово пространство 1', описанное в Э 1.3, каждая точка й которого является бесконечной последовательностью (ха» комплексных чисел, таких, что ряд ~ ~ха!' сходится, а именно а=! /" /а=($=.(ха»:~ (ха)а < оо», ($(=((ха»!)=~ ~ !ха)а~ еб,7. Примеры балаховых лраеелрамств Аналогичными пространствами являются И=Я=(х,): 2, ')х„) < оо), ($(= ~1х„), и в общем случае (для любого р) 1) ы / ~ыв Р = ($ = (х,): ~ ! х, ~в<оо», ), '$ ',~ = ~,~~ ) х„)р~ Для 1в доказательства неравенства треугольника и полноты были даны в гл. 1 о гильбертовых пространствах; для (р-пространств эти доказательства аналогичны, но здесь опускаются, поскольку эти пространства не будут нами использоваться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
