Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Конечно, при специально выбранных начальных данных у и у при 1=0 эти члены могут отсутствовать, но тогда при малейшем изменении начальных данных онн снова могут появиться, так что в конечном счете обязательно возникают большие отклонения от положения равновесия, т, е. равновесие оказывается неустойчивым. Ниже (в ~~ 15.3) мы убедимся в том, что подобная, только более сильная, неустойчивость может иметь место и в бесконечномериом случае.
1$.2. ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ Конечность числа степеней свободы в предыдущих примерах получается в результате идеализации тел как точечных масс и твердых тел. Физики больше имеют дело со сплошной средой. В этом случае задачи с начальными данными формулируются яа основе дифференциальных уравнений с частными производными или иитегродифференциальных уравнений, дополненных начальными условиями н граничными или другими вспомогательными условиями. Дифференциальные уравнения могут быть записаны 7д.2.
Задача омалоарооодности с начальнмаи данными 373 так, что в левой части в качестве оператора появляется д!дГ, а операторы в правой части зависят от 1 только параметрически (или вообще не зависят от 7). Иногда дифференциальное уравнение, вообще не содержащее Г, появляется в качестве вспомогательного условия; в- качестве примера можно указать дивергентные условия Ч Е=О и у Н=О для уравнений Максвелла в вакууме. Если в постановке задачи содержатся только дифференциальные уравнения с частными производными и начальные данные (в этом случае для исключения граничных условий обычно необходимо начальные данные задавать на всем пространстве), то такую задачу часто называют задачей Коши.
Одномерная задача теплопроводности представляет собой простейшую задачу с начальными данными. Если и= и(х,()— температура в точке х теплоизолированного стержня в момент времени с, то поток тепла в точке х пропорционален — ди/дх, дивергенция этого потока дает соответствующую скорость убывания температуры (или ее роста, если дивергенция отрицательна); следовательно, и удовлетворяет дифференциальному уравнению (15.2.1) и (а, 1) = и (Ь, 1) = О, О (1, (15.2.3) что соответствует сохранению определенной температуры на концах стержня; здесь эта температура принята равной нулю. Решение этих уравнений в классическом смысле называется строгим решением задачи с начальными данными.
Необходимое условие существования строгого решения состоит в том, чтобы начальные данные были согласованы с дифференциальным уравнением и граничными условиями, т. е. чтобы 7" (х) была дважды дифференцируемой и обращалась в нуль при х=а и х=-Ь. Часто желательно иметь решения в более общем смысле. В стандартном методе рядов Фурье получаются более общие Решения. Они имеют зид и (х, 7) = Х Ь„е-а*о' з1п пх; а.=! (15,2.4) где о — положительная постоянная (предполагается, что коэффициент теплопроводности и удельная теплоемкость постоянны), а а и Ь суть х-координатся концов стержня. Начальное условие задается в следующем виде: и(х, 0) =Г(х) (известная функция), а(х(Ь. (15.2.2) Такая задача имеет бесконечное множество решений, и поэтому необходимы еще граничные условия.
Их надлежащий выбор зависит от физической постановки, и одним нз возможных является случай, когда 374 Гм !с. Эсолюционние эадачи. Банахоси арсстрансвва здесь ради простоты интервал (а, Ь) взят равным (О, и), а ܄— коэффициенты Фурье функции 7(х) в разложении по синусам: Ь„=(2/п) ~ 7(х) з!пихтах. (15.2.5) о Этот метод допускает, например, определенные разрывы в на- чальном распределении температуры, представляющие интерес с физической точки зрения. Возникает вопрос, следует ли считать (15.2.4) решением в любом случае, когда интегралы (15.2.5) су- ществуют, скажем, в смысле Лебега, даже когда, например, 7(х) может иметь плотное в (О, п) множество разрывов или даже когда ряд (15.2.4) при 1=0 расходится, Имеются решения, соответствующие таким начальным данным 7" (х), которые следует рассматривать скорее как распределение, а не как функцию.
Чтобы показать это, мы рассмотрим сначала задачу на всей вещественной оси !к, т. е. заменим интервал!а, Ь) на В и отбросим граничные условия. Для любого фиксирован- ного вещественного у функция ф(х, 1; у) = е-!"-мпла' ! ЬГ4ио! удовлетворяет дифференциальному уравнению (15.2.1) при всех х и всех Г ) О. Согласно (2.5.3), 11 ш ф (х, с; у) = 6 (х — у) (15.2.7) ~со в смысле сходимости распределений; поэтому функция ф (х, 1; у), которая называется фунбаментальнам решением, соответствует начальным данным 7(х) =6(х — у). Можно представить себе, что в точке х=у стержня при 1= 0 внезапно появляется единичное количество тепла. Предположим теперь, что Г= 7(у) — произвольное вещественное распределение медленного роста на !с.
Для любого ! ) 0 функция ф(х, г; у), рассматриваемая как функция от у, принадлежит классу Шварца ~ пробных функций. Читатель легко может убедиться в том, что функция и(х, !)=<~, ф>= ) г(у)ф(х, г; у)ду (15.2.8) удовлетворяет дифференциальному уравнению (15.2.1) при всех х и всех ! ) О. Кроме того, 1! ш и (х, г) = 7 (х) ~!о в смысле сходимости распределений. Следовательно, л!ы имеем решение задачи о начальными данными в очень общем смысле. 1$.8.
Корреквно а некоррентно поеокмеенноее задана зтв Теперь можно получить соответствующее решение на конечном, интервале [а, Ь| при наличии граничных условий (15.2.3), воспользовавшись известным приемом отражения решения от прямых х=а и х=Ь в плоскости х, 1. Если )(х) задана на (а, Ь~, то мы распространим начальные данные иа всю прямую ес, потребовав, чтобы ) (х) была нечетной (обобщенной) функцией от х — а и х — Ь (и, следовательно, периодической с периодом 2 (Ь вЂ” а)), т. е. чтобы ) (х), — Г(2а — х) н — 1(2Ь вЂ” х) были одним и тем же распределением. Тогда тем же свойством обладает и решение, задаваемое формулой (15.2.8).
Кроме того, легко убедиться в том, что в силу особых свойств фундаментального решения (15.2.6) и(х, 1) является обычной функцией при 1) 0 даже в том случае, когда и(х, 0) является распределением. (Это особое свойство задачи теплопроводности, а не задач с начальными данными вообще.) Поэтому из равенств и (х, !) = — и (2а — х, г) = — и (2Ь вЂ” х, 1) следует, что и=О при х=а и х=Ь.
1$.3. КОРРЕКТНО И НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ При любом разумном выборе класса допустимых начальных функций ~ (х) задача теплопроводности поставлена корректно (по Адамару), а это означает, что (а) для любой )(х) из этого класса решение существует, (б) для любой заданной ~(х) решение единственно и (в) решение непрерывно зависит от г(х). Последнее означает, что если возмущение би решения мало прн 1=0, то оно мало также в при любом ! ) О. Например, если предположить, что 1(х) кусочно непрерывна и имеет на (а, Ь')ограниченную вариацию, то можно воспользоваться методом фурье, и тогда нз (15.2,4) следует, что все коэффициенты Фурье в разложении и, а значит, и би убывают при увеличении !.
В следующей главе корректность будет определена на фоне банаховых пространств. Предположим, однако, что в правой части дифференциального уравнения (15.2.1) изменен знак: д", — — — о — е, а=-х=-Ь, 0<1 (о)0), (15.3.1) а начальные и граничные условия остались прежними. Тогда вместо (15,2.4) получим решение вида и(х, 1) = ~е Ь„е+к*оез)ппх, к ! 376 Гл. !5. Эволюционные задача. Баналоал пространсшва члены которого растут экспоненциально по времени. Если коэффициенты Фурье Ь„ исходной функции ) не убывают чрезвычайно быстро при и - оо (т. е.
если )(х) не является очень гладкой функцией), то при любом положительном ! ряд Фурье расходится из-за наличия множителя и' в экспоненте, поэтому у такой задачи решения нет; но даже если решение существует, оно не зависит непрерывно от начальных данных. Возьмем произвольное положительное число М (сколь угодно большое) и любые и и 6 (сколь угодно малые); тогда возмущение и, (х, !) = ев '"' э!и тх будет не больше в при 1=-0, но будет больше М при 1=6, если т достаточно велико. Поэтому эта задача с начальными данными поставлена некорректно. Некорректность хуже, чем просто неустойчивость.
Если исходное уравнение теплопроводности (15.2.!) изменяется добавлением в правой части члена Ьи, где й †постоянн, то имеется такое возмущение, именно сиз Ч 1 . и(х — а) и,(х, !) =сонэ!.ехр [(Ь вЂ” (, ~ !11 з!и которое неограниченно возрастает при ! — оо, если Ь > оиа/(Ь вЂ” а)'! следовательно, физическая система неустойчива в обычном смысле. Однако за конечное время, скажем !(1„никакое возмущение не может возрасти более чем в ехр ((Ь вЂ” оиа/(Ь вЂ” а)') 1,1 раз, следовательно, решение непрерывно зависит от начальных данных. Иначе говоря, принимая в расчет указанный выше сомножитель, мы можем выяснить, с какой точностью нужно знать у (х), чтобы гарантировать, что ошибка будет меньше в при О(!(1„в то время как в некорректно поставленной задаче ошибка на любом заданном интервале времени может увеличиваться во сколь угодно большое число раз.
Некорректно поставленные задачи могут представлять физический интерес. Задача теплопроводности с измененным так, как указано выше, знаком эквивалентна задаче, в которой нужно найти распределение температуры при ! < О, если оно известно при 1=0. У такой задачи нет решения, представляющего ирак. тический интерес, если отсутствует дополнительная информация относительно тепловой истории системы, задаваемая обычно в виде неравенств. УПРАЖНЕНИЕ 1. Найдите решение задачи (15,2.!), (15.2.2) в виде ряда Фурье, заменив (15.2.3) условиями ди, да — (а, 0= —.(а, !)=О, 0~! !3.4. Задача о начальными данными для оолноаых ароц«оооз 377 н дайте физическую интернретацию этим новым граничаым условиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
