Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Операторам в Н соответствуют операторы в Е,". В частности, оператору А соответствует в Е', операция умножения 7'(1) на 1, т. е. если и из Н соответствует функция 7" (1), то Аи соопсвепсствует функция 11 (1).. 368 Гл. РА Вервлвиикте и вавраторы в кваняевввй механике Заметим, что А неоднозначно определяет 1.; в силу неоднозначности порождающего вектора Б. Если $,— другой порождающий вектор для А, а ов(() =($о ЕД,) — соответствующая неубывающая функция, то существует положительная функция р((), такая, что о, (1) = 1 р (1') йо (1'), Упрлжнпнип ). Взяв приведенные выше $ н $ь пакажвте, чта если — а(е) КЕБЫ, то р (4) = ( а (8) 1з.
ЧАР. ПОЛНАЯ СИСТЕМА КОММУТИРУЮЩИХ НАБЛЮДАЕМЫХ Рассмотрим два самосопряженных оператора А= ~ гйЕ, и В= ) (йг",. (14.9.1) Говорят, что они коммутируют, если Е,Г,=Е,Е, для всех з, (. (14.9.2) "(Замечание. Так как А и В в общем случае неограничены, нельзя сказать, что АВ=ВА, исключая случай, когда области определения операторов АВ и ВА совпадают, тогда как Е, и Р, определены во всем Н; однако АВи=ВАи для всех таких и (если они существуют), для которых обе части равенства имеют смысл.) Говорят, что коммутирующие операторы А и В имеют простой совместный спектр или образуют полную систему коммутируюи(их наблюдаемевх, если в Н существует элемент 3 и поэтому мера йо, абсолютно непрерывна относительно меры йо. Если и Е Н представляется функцией ( (г) Е Ц, то этот же элемент представляется функцией р (()-ызг (() Е Е,*с В квантовой механике переход от о к о„представляет собой лишь изменение нормировки базисных векторов.
В случае когда А имеет чисто точечный спектр, о можно выбрать так, чтобы все базисные векторы имели норму, равную единице. Во всех других случаях не су. ществует однозначного выбора о, поскольку нет общих соглашений о наиболее удобной нормировке волновых функций непрерывных состояний. 14.9.
Полная сисаема каммутируимци» иабладаемыл 369 (порождающий вектор), такой, что замкнутая линейная оболочка элементов (Е,РД; — ао < з, г < ао) (14.9.3) совпадает с Н. Обобщение на любое конечное число самосопряженных нли унитарных операторов очевидно. Если А и В образуют полную систему, как определено выше, то мера на плоскости э, 1 определяется следующим образом: о (з, Г) = ($, Е,ГД), (14.9.4) где $ — порождающий вектор. Эта мера — неубывакнцая функция в смысле, определенном в гл.
13. Именно, если через () обозначить прямоугольную область в плоскости з, г: ()=(з,(: а э<Ь, с -.1<й), (14.9,5) а о(Д) определить как о (Д) = о (Ь, й) — о (а, б) — о (Ь, с) + о (а, с), то о(Щ) О для всех таких Д. Пространство Е',(м') определяем по аналогии с 9 5.9 при помощи двойных интегралов Стилтьеса (см.
9 1З.З) следующим образом. В Ь'(к') определяем скалярное произведение Полученное таким образом пространство со скалярным произведением расширяем до полного пространства Ц(Р') распределений на И точно так же, как это было сделано для Е' =Ц(к) в 4 5.9. Переформулируем теперь теорему предыдущего параграфа для конечного числа операторов. Теорема.
Пусть Аг, ..., А„— коммутирующие самосопряженные операторы в Н с совместным простым спектром. Тогда существуют неубывающая функция о(1,, ..., (и) и взаимно однозначное отобРажение и — 1(то ..., ги) пРостРанства Н на пРостранство Е',(и"), такие, что иэ и- 1( ) и о — д( ) следует (и, о) =(Г( ° ), д( ° ° )). Операторам в Н соответствуют операторы в У4(й"). В частности, для любого 1'= 1, ..., й опгратору Ас соответствует в Еа(йи) операция умножения 1((о ..., Ги) .
на („т. е. если и соответствует функция 1(1„..., (и), то А и соответствует функция 1.~(г,, ..., (и). В квантовой механике гильбертово пространство 1.,'(Ри) дает представление физической системы, в котором наблюдаемые .4м ..., .4и диагональны. 37О Гя. 74. Вероятность и операпюрм е кеантоеой механике ПРИМЕР 1 Пусть А — оператор — О(/бх)1 (см. упражнение 4 4 14.7), спектр которого не является простым.
Лругой оператор В определим прн помощи равенства (Вг) (х)=г'( — х) для всех 7 ц Ж Этот оператор коммутнрует с А. Оператор В имеет чисто точечный спектр, состоящий из двух собственных значений р= ~1, так как В'=1. Любое четное распределение в Ез является собственной фуннцией для О=+1, а любое нечетное распределение †д р= — 1, Система уравнений — [" (х) Л[(х), У( — х)=р[(х) имеет (с точностью до нормировки) единственное решение, а именно соз )7 Л х для р=! и шп )Г Лх для р= — 1.
По-видимому, А и В имеют простой совместный спектр, т. е. А и В образуют полную систему коммутирующих операторов. Нетрудно установить, что разложение единицы Ее для В имеет вид О прн е< — 1, (Егф) (х) = зуз<р (х) — х/з~р ( — х) при — 1 ч 1 < 1,. ф (х) при 1~1. Задача об отыскании представления произвольного и ц (т через влемевты вида Еергс сводится к тому, чтобы выразить ~р(х) в следующем виде: ~р (х)= ~ [я (з) е газ+а (з) ет"е) ес (з) аз (детали мы опусиаем). Хотя и требуется, чтобы р( ) и 7( ) были четными функциями, мы располагаем достаточной свободой для такого представления любого ф(х), взяв, скажем, $(з) равным е-е для з-ьО н равным нулю для з с О.
Отсюда следует, что совместный спектр операторов А и В будет простым, Глава з5 ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА Зздвчв с начальными данными; начальные данные; граничные и другие вспомогательные условия; эволюция; динамика чзстицы; поток тепла; волновой процесс; пространство состояний; норма; бзнзхово пространство; корректно н некорректно постзвленные задачи; обобщенные решения; инвзризнтность корректности относительно иреобрвзовзний Лоренца. Предварительные сведения: урввяения с чзстнымн производными, встречзющиеся в физике; гл. 1 — 8. Законы классической физики носят причинный или детерминированный характер, и это приводит к понятию корректно поставленной задачи с начальными данными.
Грубо говоря, если состояние системы при !=г, известно точно, то это позволяет предсказать последующие состояния при г' ) Ею В настоящей главе, а также в двух следующих главах изучаются именно такие задачи. Зти задачи обычно связаны с решением дифференциальных уравнений, и необходимо выяснить, какие их решения физически приемлемы и какие начальные и вспомогательные условия при этом нужно ставить. Правильная постановка задач основана на следующем физическом принципе: необходимо, чтобы для любого начального состояния имелось только одно решение и чтобы это решение непрерывно зависело от начального состояния (характер непрерывности нужно оговаривать). Мы увидим, что естественную среду для таких задач образуют банаховы пространства.
В основном рассматриваются линейные задачи; краткое изложение теории нелинейных задач, пока еще весьма фрагментарной, приводится в гл. 17. 55Л. ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ В МЕХАНИКЕ Во многих задачах теоретической физики переменная времени г играет особую роль. Математическая постановка таких задач включает начальные даняае, которые описывают состояние системы в начальный момент !=0; задача же состоит в нахождении состояния в более поздний момент г >О, т.
е. в нахождении эволюции системы из ее начального состояния. В качестве конечномерного примера из небесной механики укажем задачу й! тел, которые рассматриваются как материальные точки, свободно движущиеся в пространстве под действием только сил взаимного притяжения. Мгновенное состояние системы задается значениями трех декартовых координат и трех соответ- 372 Гх.
7д. Эвохюционнив видали. Банаховы лооооьоанвтва ствующих компонент импульса каждого тела. Если эти 6У величин известны для 1= 0, то иьютоновы законы движения и закон всемирного тяготения однозначно определяют (без учета столкновений) их значения для последующих моментов времени 1) О. Эта задача нелииейна, однако в элементарной механике есть .много задач (где речь идет о твердых телах, стенках„пружинах, грузах и т.
д.), для которых система имеет одно или несколько состояний равновесия, а если состояние системы близко к равновесному, то уравнения ее движения можно линеаризовать, Пусть система имеет п степеней свободы; обозначим через у л-мерный вектор, компонентами которого являются отклонения от равновесия. В этом случае получается уравнение вида у=Ау, где А — вещественная (и 7с п)-матрица. мгновенная конфигурация системы соответствует точке а-мерного пространства, и если при Г = 0 заданы у и у, то последующее движение точки у л-мерного пространства в линейном приближении полностью определяется уравнением (15.1.1).
Для консервативных систем (без трения) матрица А симметрична и, следовательно, имеет вещественные собственные значения; если все собственные значения матрицы А отрицательны, то движение системы представляет собой гармонические колебания около положения равновесия; если есть какие-либо положительные собственные значения, то в общем решении имеются экспоненциально расходящиеся члены и состояние равновесия неустойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
