Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 72
Текст из файла (страница 72)
В этом случае хотя бы одна из неопределенносзей (Др нлн Лд) бесконечна н нн одна нз ннх не равна нулю, так что (14.4.10) все еше остается в силе. Что можно сказать о случае, когда яр принадлежит Р(р) ПР(д), но не принадлежит Р(ре) ПР(чр)? Обсуждение соотношений коммутации будет продолжено в 9 14.5. Определение (14.4,4), (14.4.5) для )' (А) справедливо также дпя комплекснозначной у(.).
В частности, если у(Х)-еггх, то характеристической функцией распределения будет )((1) = Е (е11.4; гр) = (гр, ецАгр) где еи" — унитарный оператор, определенный во всем Н. (В этом случае условие конечности интеграла (14.4.4) выполняется для всех гр — в самом деле, значение этого интеграла просто равно 1гр)з.) Если А — гамильтониан Н, то еи" представляет собой оцератор, описывающий эволюцию физической системы во времени: гр(1)=е-ьйгньр(0), 356 Ге. 51. Вероетнооть и оаераторы в квантовой механике 14.5. МАТРИЦ\А ПЛОТНОСТИ До сих пор мы сталкивались с двумя различными видами недетерминированности измерения: во-первых, классический вид, связанный лишь с недостаточным знанием состояния системы (в принципе можно было бы полностью предсказать движение брошенной монеты, располагая точными начальными данными, но на практике исходслучаен);,во-вторых, квантовомеханический вид, когда вообще существует специфическая неопределенность значения наблюдаемой А, даже если система находится в точно определенном состоянии ер.
Для целей квантовой механики необходимо скомбинировать оба вида неопределенности. Это достигается путем рассмотрения больших ансамблей идентичных невзаимодействующих физических систем. Так же, кан в илассиче'ком случае, предполагается, что каждая система из ансамбля находится в определенном состоянии, но различные системы находятся в различных состояниях, и когда мы случайным образом выбираем одну из этих систем, то'получаем случайный результат с некоторой вероятностью, которая зависит как от структуры ансамбля, так и от квантовомеханических неопределенностей, связанных с индивидуальными системами.
Сначала рассмотрим конечную модель из ~~ 14.2, в которой любой вектор ~р, определяющий состояние системы, можно предо ставить в виде ~, с,ф~, где (фо ..., ф„) — ортонормированная /=1 система. Тогда, полагая с =(хх+1уг), каждому состоянию можно поставить в соответствие точку из це" с координатами (х„ ..., х„, у„..., д„)=х. В случае ~)ер(= 1 ~я~(х)+у,')= 1 и точка лежит на единичной сфере в есео. Для того чтобы описать ансамбль из )У систем (У))1), каждой системе можно сопоставить точку на единичной сфере, а затем ввести плотность р=р(х) таких точек, т. е. число точек на единицу площади (2п — 1)-мерной поверхности сферы.
Только что описанный метод непригоден для случая бесконечного числа измерений, поскольку, как было, указано в $ 13,11, в этом случае невозможно сколь-нибудь разумным образом определить объем. Обратившись непосредственно к вероятностям, можно избежать этой трудности, а тем самым избежать и попытки описания распределения состояний в 15. Сначала рассмотрим дискретную модель.
Допустим, что (ере) — некоторая конечная или счетная совокупность нормированных состояний (ие обязательно предполагать их ортогональность или даже линейную независимость); допустим далее, что каждая из систем рассматриваемого ансамбля находится в одном из этих состояний. Обозначим через р„долю полного числа У ©>!) систем, находящихся 14.З.
Матоииа лаотлоили 357 в состоянии ~г„, так что если некую систему случайно выбрать из ансамбля, то рл определяет вероятность того, что она находится в состоянии чм Если А — самосопряженный оператор, соответствующий некоторой ограниченной наблюдаемой, то математическое ожидание А, когда система находится в состоянии «р, равно (ч~, Ач~); см. предыдущий параграф.
Поэтому математическое ожидание А для всего ансамбля составляет Е(А) =,~ р (ч, А~р„). (14.5.1) Согласно 3 !2.3, (срм А~р„) равно 1г(Р„„ А), где Р„„ †ортогональный проектор пространства Н на одномерное подпространство, содержащее ~рм и где 1г означает 1гасе (след). Следовательно, Е (А) = (г (РА), где через Р обозначен оператор Р=~г' роРо,. (14.5.2) Каждый оператор Р самосопряжен, положительно определен и является ядерным оператором со следом, равным единице, как это следует из 3 12.3. Поскольку каждая вероятность Р„неотрицательна и ~р„=1, видно, что Р также положительно определен и имеет след„равный единице.
Если начальная совокупность состояний (гр ) плотна на единичной сфере в И, то любой ансамбль систем можно аппроксимировать при помощи некоторой дискретной модели; поэтому можно получить основную аксиому статистической квантовой механики, принадлежащую фон Нейману, просто опустив условие дискретности. Аксиома. Любому ансамблю идентичных невзанмодействующих квантовомеханических систем можно поставить в соответствие ядерный положительно определенный оператор Р с единичным следом, называемый матриией плотности данного ансамбля. Математическое ожидание любого ограниченного самосопряженного оператора (наблюдаемой) А задается для данного ансамбля величиной Е (А) = (г(РА).
(14.5.3) Фон Нейман доказал следующее утверждение. Допустим, что Е ( ) — любая вещественнозначная функция, определенная для всех ограниченных самосопряженных операторов в некотором гильбертовом пространстве, причем функция обладает свойствами линейности и положительности (это, очевидно, необходимые свойства, если Е ( ) рассматривать как математическое ожидание), а именно: Е (иА+ 6В) = аЕ (А) +ЬЕ (В) (и, о вещественны), Е(А)~)0, если А положительно определен. ЗОО Гл. )т.
Вероятность и операторы а квантовой механике Тогда существует положительно определенный ядерный оператор О, такой, что Е(А)=1г(0А) для всех А. Если к тому же Е(1)=1, где 1 — единичный оператор, то (гй=1. Это показывает, что описание при помощи матрицы плотности является совершенно общим.
Все статистические величины можно выразить через Е ( ). Например, дисперсия А равна Е(А') — (Е(А))'. Если функция у,(г) равна единице при 1(х и равна нулю при Г) х, то Р(х), определенная как Е(у„(А)), представляет собой функцию распределения А для данного ансамбля. На первый взгляд может показаться, что рассмотрение лишь ограниченных операторов снижает действие этой теории, но на самом деле для физических применений не возникает никаких помех. Если А — неограниченный самосопряженный оператор, а г(1)— ограниченная возрастающая функция, скажем у(г) =1)т(1), то оператор В=у(А) ограничен.
В этом случае измерение В дает точно такую же информацию о системе, что и измерение А; если Ь вЂ” измеряемое значение В, то соответствующим измеряемым значением А является агЖЬ. (См. также упражнение 4 в следующем параграфе.) Упрджнпннв 1. Лопустнм, что система представляет собой атом, который имеет в точности два энергетических состояния с векторами состояния ф, и ф,.
Оператор (у может быть представлен в виде (2Х2)-матрицы с матричными злементами Оуь=(фу, Офа). Вычислите эту матрицу в трех следующих случаях н проверьте, что она положительно определена н имеет единичный след. (1) Половина систем (атомов) ансамбля находится в состоянии фм а другая половина — в состоянии фз. (2) Все системы ансамбля находятся в одном и том же ссстоянии, вектор которого представлен в виде ифд+()фз, где а и р — некоторые постоянные, такие, что )и(ззс)р)1=1. Покажите, что в этом случае собственные значения матрицы Оуь равны нулю и единице, н обобщите этот результат на системы (атомы), имеющие любое конечное число энергетических состояний.
(3) Системы находятся в различных состояниях, так что если вектор состояния записать в виде ф, з|п Осге +фе созпего*, то все значения углов О, фх и фз равновероятны в ансамбле. Обратим внимание на то, что первый н третий ансамбли в этом упражнении имеют одинаковые статистические свойства, хотя при их построении используются совершенно различные векторы состояния. Это одна нз причин, почему многие из тех, кто работает в области статистической квантовой механики (нли квантовой статистики), предпочитают чисто алгебраическую формулировку квантовой механики (кратко описанную в следующем параграфе), в которой гильбертовы пространства и векторы состояния вообще не используются. Матрицу плотности можно рассматривать в связи не с ансамблем, а лишь с единственной системой, истинное состояние которой нам неизвестно; в первом примере упражнения мы по- 14.6.
Авееорм оврананеннын операторов лагаем, что система равновероятно может находиться как в состоянии 1, так и в состоянии 2, но мы не знаем, в каком именно; заметим, что это весьма отличаегся от уверенности в том, что система находится в состоянии (1Д'2) (ф,+фе). Ы.э. АЛГЕБРЫ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ. КАНОНИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ КОММУТАЦИИ В предыдущем параграфе было отмечено, что свойства квантовомеханической системы могут быть выражены исключительно через ограниченные наблюдаемые н что с некоторых точек зрения описание более фундаментально, если оно не ссылается на векторы состояния в гильбертовом пространстве. Множество А всех ограниченных операторов (не обязательно самосопряжеиных) в гильбертовом пространстве сбразует алгебру, называемую С*-алгеброй. В более общей формулировке А не обязано содержать все ограниченные операторы, но от этого множества требуется: во-первых, быть замкнутым по отношению к операциям умножения (АВ) и образования линейных комбинаций (аА+ЬВ; а, Ь ~ С), во-вторых, содержать сопряженный оператор А" для любого А ~ А, в-третьих, быть полным пространством.
Последнее означает, что если (1 А„— А„!! — О при и, еп- оо, то найдется оператор АеА, такой, что )(А„— А)( — -О при и- оо. Данная алгебра обладает следующими свойствами. 1. Это полное нормированное линейное пространство, и следовательно, банахово пространство (см. гл. 15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
