Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 79
Текст из файла (страница 79)
ПОЛУНОРМЫ Как было указано в 8 5.9, иолунорма — это такая функция Ц, которая удовлетворяет всем требованиям нормы, за исключением того, что требуется только ее полуопределенность ([ и [)~ О для всех и), а не определенность (1и'1) О, кроме и=О). Пространство )с, полное относительно полунормы, можно превратить в банахово пространство следующим образом: назовем и и и' из )с эквивалентными (и будем писать и и'), если (и — и'1= О. Отношение — рефлексивно (и и), симметрично (если и и', то и' — и) и транзитивно (если и и' и и' — и", то и — и" вследствие неравенства треугольника); поэтому это отношение разбивает и' на непересекающиеся классы эквивалентности.
Класс эквивалентности, содержащий и, обозначается через [и) и определяется следующим образом: [и1=-(о: 11и — о(=0). Кроме того, если и-и', то 1и~,'=1и'[ (тоже в силу неравенства треугольника), так что 1[и)1 может быть определена однозначно как (и1. Легко показать, что с такой нормой множество всех классов эквивалентности оказывается банаховым пространством В. В алгебраических терминах это формулируется так: если (гав подпространство пространства Р, состоящее из элементов с нулевой полунормой, то В является факторпространством Эта процедура используется в классическом определении (У- пространств, согласно которому функция 1(х) принадлежит 1Р, если она измерима и )1(х)~Р интегрируема, Однако при этом необходимо считать, что две функции 1(х) и д(х) совпадают как элементы 1.Р, если они отличаются друг от друга только на множестве меры нуль, поскольку в таком случае )!1 — д)!= [$ )1(х) — й((х))рдх) =О.
Глава Т6 КОРЮКГНО ПОСГАВЛИННЫИ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ. ПОЛУГРУППЫ Постановка задач в банаховых пространствах; строгое решение; понятие корректно поставленной задачи в смысле Адамара; существование и единственность решения; непрерывная зависимость решения от начального состояния; обобщенное решение; полугруппа; сильно непрерывная полугруппа; ннфинитезимальный генератор; теорема Хилле †Иоси; неоднородные задачи; неоднородные граничные условия; задачи с явной зависимостью от времени; приложения к задачам теплопроводности, волновых процессов, квантовой механики, теории электромагнитного поля и переноса нейтронов. Предзаришельные сведения: гл. !5, В данной главе представлена общая теория линейных задач с начальными данными или эволюционных физических задач. 1$Л. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Линейную задачу с начальными данными рассмотренного в гл.
15 типа можно сформулировать абстрактно как задачу нахождения такой функции и(1) со значениями в банаховом пространстве В, что г(и (1)/сУ = Аи (1) (16.1.1) и(0)=и„и, задано, (16,1.2) где А — оператор, включающий пространственные переменные, а производной функции и(г) является предел (при АТ- О) выражения [и(1+Ы) — и(Т))/гхг в смысле сходимости в В. Строгое решение уравнения (16.1.1) определяется как такая функция и(Т) (и(1) Е В для всех 1 =в 0), что и ЯЕВ(А) для всех Т)0, (16.1.3) 11щ ~,а, — АиЯ~~=О УТ)0. (16,1А) Граничные или другие вспомогательные условия учитываются тем, что область определения В(А) оператора А ограничивается только теми элементами пространства В, которые удовлетворяют этим условиям; предполагается, что эти условия линейны и однородны, так что множество Ю всех тех и, которые удовлетворяют этим условиям, образует линейное многообразие; предполагается, что,0(А) содержится в Я.
Таким образом, условие гб,й. Корректно попплеленпме вадачн. Обобщенные решения 389 (16.1.3), помимо всего прочего, требует, чтобы и(г) удовлетворяла всем вспомогательным условиям для всех 1) О. Уравнение (16.1.1) — это линейное эволюционное уравнение, оно описывает изменение физической системы из заданного начального состояния.
Описанная постановка задачи применима не только к уравнениям первого порядка по 1, поскольку уравнения более высокого порядка можно свести к системам первого порядка путем введения дополнительных зависимых переменных. Значительная часть теории, излагаемой в этой главе, может быть обобщена на задачи, в которых оператор А зависит (достаточно гладко) от 1; например, А может быть дифференциальным оператором, коэффициенты которого зависят от 1. Такие задачи рассматриваются кратко в 9 16.7, а пока предполагается, что А не зависит от 1.
Выбор банахова пространства В, а также области определения оператора А является существенной частью постановки задачи. Мы увидим, что данная задача может оказаться корректно поставленной (в смысле следующего параграфа) при одном выборе В и некорректно поставлейной при другом выборе Вз). Втот выбор, по крайней мере частично, почти всегда определяется физическими соображениями. 66.2. кОРРектнО пОстАВленные 3АдАчи. ОБОБц1енные Решения Задача с начальными данными называется корректно поставленной (в смысле Адамара), если она обладает следующими свойствами: 1) строгие решения однозначно определяются своими начальными элементами; 2) множество 0 всех начальных элементов строгих решений плотно в банаховом пространстве В; 3) для любого конечного интервала [О, Те] найдется такая постоянная К = К (1,), что каждое строгое решение удовлетворяет неравенству /)и(г)1(К!!и(0)) для 0<1(ут (16.2.1) В связи с первым условием заметим, что если какое-либо строгое решение однозначно определяется его начальным элементом, то в силу линейности задачи этим свойством обладают и все другие ') Любая однозначно рвзрепзимзя линейная задача может быть сделзнв корректна постзвленной при должном выборе норм в области определений оператора илн его области знзченнй, но не каждая норма удобна или естественнв в данной задаче.— Прим, перев, Глава 46 КОРРЕК1НО ПОС1АВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ.
ПОЛУГРУППЫ Постановка задач в банахозых пространствах; строгое решение; понятие корректно поставленной задачи в смысле Адамара; сугцествованне и единственность решения; непрерывная зависимость решения от начального состояния; обобщенное решение; полугруппа; сильно непрерывная полугруппа; инфинитезимальный генератор; теорема Хилле †Иоси; неоднородные задачи; неоднородные граничные условия; задачи с явной зависимостью от времени; приложения к задачам теплапроводнасти, волновых процессов, квантовой механики, теории злектромзгнитного поля и переноса нейтронов.
Предварительные сведения: гл. 15, В данной главе представлена общая теория линейных задач с начальными данными или эволюционных физических задач. ТЗЛ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Линейную задачу с начальными данными рассмотренного в гл. 15 типа можно сформулировать абстрактно как задачу нахождения такой функции и(г) со значениями в банаховом пространстве В, что с(и (1)!с(Т = Аи (Т) (16.1.1) и и(0)=и„и, задано, (16.1.2) где А — оператор, включающий пространственные переменные, а производной функции и(1) является предел (при гзг'- 0) выражения (и(1+А!) — и(Т)11АТ в смысле сходимости в В. Строгое решение уравнения (16.1.1) определяется как такая функция и (1) (и (1) с В для всех 1) 0), что и(1) С.0(А) для всех 1) О, (!6.1.3) Игп !' — Аи(1) !=0 1гг) О.
(16.1А) Граничные или другие вспомогательные условия учитываются тем, что область определения )л(А) оператора А ограничивается только теми элементами пространства В, которые удовлетворяют этим условиям; предполагается, что эти условия линейны и однородны, так что множество Я всех тех и, которые удовлетворяют этим условиям, образует линейное многообразие; предполагается, что О(А) содержится в Я. Таким образом, условие тб.е. Корректно ностазяениме аадачи. Обобирннме решения 389 (16.1.3), помимо всего прочего, требует, чтобы и(г) удовлетворяла всем вспомогательным условиям для всех Т) О. Уравнение (16.1.!) — это линейное эволюционное уравнение, оно описывает изменение физической системы из заданного начального состояния. Описанная постановка задачи применима не только к уравнениям первого порядка по Т, поскольку уравнения более высокого порядка можно свести к системам первого порядка путем введения дополнительных зависимых переменных.
Значительная часть теории, излагаемой в этой главе, может быть обобщена иа задачи, в которых оператор А зависит (достаточно гладко) от (; например, А может быть дифференциальным оператором, коэффициенты которого зависят от г. Такие задачи рассматриваются кратко в р 16.7, а пока предполагается, что А не зависит от !. Выбор бянахова пространства В, а также области определения оператора А является существенной частью постановки задачи.
Мы увидим, что данная задача может оказаться корректно поставленной (в смысле следующего параграфа) при одном выборе В и некорректно поставлейной при другом выборе В'). Этот выбор, по крайней мере частично, почти всегда определяется физическими соображениями. тз.2. НОРРектнО пОстАВленные зАдАчи. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ Задача с начальными данными называется корректно поставленной (в слннсле Адамара), если она обладает следующими свойствами: 1) строгие решения однозначно определяются своими начальными элементами; 2) множество П всех начальных элементов строгих решений плотно в банаховом пространстйе В; 3) для любого конечного интервала 10, 1,1 найдется такая постоянная К =К (1,), что каждое строгое решение удовлетворяет неравенству '1и(г)!(К1,и(0)! для 0(Т(Ге. (16.2.1) В связи с первым условием заметим, что если какое-либо строгое решение однозначно определяется его начальным элементом, то в силу линейности задачи этим свойством обладают и все другие '1 Любая одночнзчно разрешимая линейная задача может быть сделана корректно поставленной прн должном выборе норм в области определений оператора нлн его области значений, но не каждая норма удобна нлн естестееннз в данной задаче, — Лриль нерее, 399 Гл.
гб. Корректно поставленные задачи. Полугруппы откуда видно, что (1) решение единственно, потому что если и(1)=и;(1) — их(1), где и, и и,— произвольные решения, то и, (О)= = и,(0) только тогда, когда их(1) =и,(1) для всех 1, и (2) решение непрерывно зависит от и (О), т. е. задача корректно поставлена. Разрешающим оператором Е, (1) является интегральный оператор в формуле (!6.2.7), а обобщенное решение задается этой же формулой в предположении, что Г(у) представляет собой произвольный элемент банахова пространства В,. Данная задача корректно поставлена также и в гильбертовом пространстве Е,е(а, Ь), если оператор А определен следующим образом: В(А) =(и~.6'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
