Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Мы получаем ограничение А на Н„которое тзкже будет обозначаться через А и которое оказывается подходящим для рассматриваемой задачи с начальными данными. Далее будет доказана следующая теорема. Теорема. А — симметрический оператор, который определен на Н,. Резольвентное множество р(А) содержит верхнюю и нижнюю полуплоскости; отсюда следует, что А самосопряжен и поэтому в силу теоремы Хилле — Иосиды рассматриваемая задача с начальными данными корректно поставлена.
Доказательства этих утверждений кажутся почти тривиальными после применения преобразования Фурье. Определим Е(й, 1)= ~ Е(х, 1)в ск'*стах 1 (2„)з!з н н аналогично Й. Отображение [:Н~1 является нзоморфнзмом Н на гильбертово пространство Н, которое определяется так же, кзк и Н, н лишь над Е и Н ставятся крышки. Подпространство Н, отображается прн этом на подпространство Нз —— (и ~ Й: й Е = О, 1с Й = 0). (!6.5.!1) [Нз †ортогональн дополнение множества всех векторов вида й что является другим доказательством замкнутости Нз и Йз.] После преобразования Фурье оператор А задается равенством А =, (16 5Л2) а его область опРеделениЯ состоит из всех тех вектоРов из Йе, длк котоРых правая часть (16.5.12) принадлежит Йз.
Из векторных тождеств — пс ()с Х тз) = — (пс Х (с) тз = (й Х пд'тз, ие '((с Х тс) = (пз Х (с)' тс = — (Ы Х из) следует, что А симметричен, т. е. что (и, Ао) =(Аи, и) суи,ь Е зэ(А). 464 Гл. 16. Корректно поставленные задача. Полугруялы Чтобы исследовать резольвенту и резольвентное множество, возьмем произвольный элемент '-Г) пространства Ие (чт и чт — трехмерные векторные поля) н рассмотрим уравнение (А — Л) й=п, (16Л. ! 3) где Л вЂ” произвольное невещественное число. Если зто уравнение имеет единственное решение а для любого о и )й(~К!)й)! для некоторого К=К(Л), то Л принадлежит резольвентному множеству о(А)=р(А), а й= Йхо, где Ԅ— резольвента: К„=(А — Л)-Н В развернутом виде (16.5,13) записывается так (крышки всюду опущены): сь Х пз Лат=я!, сй Х п! Лая — чт. (16ЛА41 Зтн линейные уравнения имеют единственное решение Лчт — сйХч, Лчз-1-сихчт пг= з„а Ле, не= стая — Лз Здесь мы воспользовались тем, что в силу (16.5.14) из равенств й чт=й.та =О следуют равенства й.и! =к.па=о.
Знаменатель никогда не обращается в нуль, потому что 1гпЛМ О. Шесть компонент вектора и являются линейными комбинациями шести компонент вектора с с коэффициентами, являющи. мнся ограниченвыми функциями переменной а пря любом невещественном Л. теперь нетрудно показать, что существует такое К=К(Л), что !!и!!~ К!!ч1, т, е, ЛЕр(А), что н требовалось доказать, 4б.б. ПОЛУГРУППЫ Е ((+ з) = Е (1) Е (з) (1, з'-- О). (16.6.1) Напомним, что если А — оператор в конечномерном пространстве (т, е.
А соответствует квадратной матрице), то решением задачи с начальными данными является функция и (1)е алли(0), где для л>сбой матрицы М экспоненциальная функция см определяется как степенной ряд. Если А неограничен, то в бесконечномерном случае функцию е'л уже нельзя определить так просто; тем не менее мы сейчас покажем, что разрешающий оператор Е (1) обладает многими свойствами экспоненты е'л. Если и(() — любое строгое решение дифференциального уравле! пения (16.1,1), то функция и (1) =и(1+в), где 3 — неотрицательная постоянная, является строгим решением с начальным элементом и(з), и поэтому и(1) =Е(() и(з); однако и(з)=Е(з) и(0) и и(г+з)=Е(1+з) и(0), следовательно, Е (1 + з) и (О) = Е (1) Е (з) и (О) тг и (О) Е Г Так как ал' плотно в 8, а операторы Е(() ограничены, отсюда следует, что )в.з. полугруллы (Попутно эти рассуждения показывают, что  — не просто множество начальных данных строгих решений, а множество всех значений, допускаемых строгими решениями.) Набор объектов и, 6, с, ..., для которых определена бинарная операция а ь 6 со свойствами ассоциативности и т.
д., называется полугруппой; она отличается от группы только тем, что существование обратных элементов не предполагается. Набор операторов (Е (Г): 1) О) является однопараметрнческой полу- группой операторов. Если задача с начальными данными обратима по времени, как задача о волновом движении, то набор (Е(1): все вещественные г) образует однопараметрическую группу линейных операторов. Для операторов операцией, записываемой как произведение в уравнении (16.6.1), является обычная композиция преобразований, поэтому для нее ассоциативность автоматически выполняется: (Т,Т,) Т, = Т, (Т,Т,).
Полугруппа (Е (1): 1) О) разрешающих операторов корректно поставленной задачи с начальными данными обладает некоторыми особыми свойствами. Во-первых, она коммутативна, так как из равенства (16.6.1) следует, что Е(1) Е(з) =Е (з) Е(1). Во-вторых, она имеет единичный элемент Е(0)=1, потому что Е (0) и = и для всех и. В-третьих, эта полугруппа сильно непрерывна. Пусть и(1)— произвольное строгое решение дифференциального уравнения, (16.1.1). Для любого з) О, согласно (16.1.4), и()+д)) — ()) 1 (1) ) < 1 если только И достаточно мало. Поэтому в силу неравенства треугольника )) и (8 + аг) — и (1) !) < (/~ Аи (г) 1-(- е) Ы, т.
е. и(1+Л1)- и(г) при И вЂ” 0 в смысле сходнмости в В. Иначе говоря, для любого иЕВ Е(г+Ж)и- Е(1)и. Так как У плотно в В, а операторы Е (1) ограничены, то доказательство того, что Е(1+Я)и- Е(Г) и для любого и ЕВ при М- 0 (Г)0), (16.6.2) является простым упражнением на использование неравенства треугольника. (Для 1=0 предполагается, что Л1 — 0 только по положительным значениям, поскольку Е (г), вообще говоря, не определены для 1 < 0.1 Свойство (16.6.2) называется сильной непрерывностью семейства Е (г) операторов. Заметим, что эта полугруппа, вообще говоря, не является непрерывной по норме, т.
е. 1Е (1+Я) — Е(1)( обычно не стремится к нулю при аг- О. 406 Гл. 1б. Корректно постов>«нные задачи. Лолугруппы В-четвертых, Е (!) равномерно ограничена на любом конечном интервале: для заданного интервала [О,!«1 найдется такая постоянная К, что )! Е(!)()(К для всех ТЕ[0, !«], потому что Е«(Г) равномерно ограничены в силу (16.2.1), а Е(!) имеет ту же норму, что и Е,(!), согласно теореме о расширении. В общем случае разные операторы А, и А, могут порождать одну и ту же полугруппу Е(!) (например, А, может быть расширением А,); в этом случае соответствующие задачи с начальными данными тождественны, за исключением чисто терминологического отличия, состоящего в том, что некоторые строгие решения одной задачи оказываются только обобщенными решениями другой.
В следующем параграфе будет показано, что любое семейство Е (!), обладающее этими свойствами, является разрешающим оператором некоторой корректно поставленной задачи с началь-, ными данными. Общую теорию полугрупп см. в книге Хилле и Филлипса [10671. Пвт. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ ГЕНЕРАТОР ПОЛУГРУППЫ Рассмотрим теперь обращение разультата предыдущего параграфа. Взяв любую полугруппу Е(!) с описанными там свойствами, мы определим такой оператор А', называемый инфинитезимальным генератором полугруппы Е (!), что задача с начальными данными йи (!)!й! = А'и (!), и (0) задан, (!6.7.1) окажется корректно поставленной, а Е(!) будет ее разрешающим оператором.
Оператор А' определяется как «производная> от Е(!) при 1=0 в следующем смысле: область определения Е!(А') определяется как множество всех и4:В, таких, что (!7а!)[Е(а!) — 71 и имеет предел в В при ас — О, само же значение А'и определяется как этот предел, т. е. !пп (1|й!) [Е (й!) — 7~ и = А'и. (16.7.2) ол о Очевидно, что 0(А') — линейное подпространство в В и А'— линейныи оператор. Теорема 1. Если Е(Т) обладает свойствами, описанными в предыдуи!ем параграфе, т, е. если Е(Т) является ограниченной сильно нгпрерьпной коммутативной полугруппой с единицей Е (0) = 1, то задача с начальными данными (16.7.1) с оператором А', определяемым формулой (16,7.2), корректно поставлена. Множество Т7' возможных начальных элементов и(0) строгих решений совпадает с Е1(А'), а строгие решения имеют вид и(!)=Е(!)и(0). Кроме того, А' — замкнутый оператор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
