Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Не вполне детерминированный характер имеют задачи метеорологии. В них случайные явления вместе с неадекватным знанием начальных данных увеличивают масштабы неопределенности, но можно использовать новые данные наблюдений, поступающие с течением времени, л7.1. Раснросснроненне волн 421 Возникающие из-за нелинейности феномены столь многочисленны и разнообразны, что невозможно познакомиться со всеми ними при изучении какого-либо одного предмета, например, гидродинамики. Однако некоторые из них находят достаточно широкие приложения, в особенности теория характеристик, развитие скачков и других особенностей точных решений и теорема Коши †Ковалевской †это важно, например, в общей теории относительности, Задача Коши для предложенных Эйнштейном уравнений поля будет обсуждаться во втором томе.
Весьма вероятно, что нелинейные эффекты окажутся важными и в других областях, например в квантовой теории поля при изучении взаимодействия частиц. Вряд ли можно предсказать, с какого рода феноменами еще придется столкнуться. тгл. РАспРОстРАнение ВОлн Уравнение звуковых волн дои/дге = сеТ~еи, где и — отклонение р — р, от статического давленкя р„отражает следующие три допущения, сделанные при идеализации физической реальности: 1) однородность и изотропность статического состояния, 2) инфинитезимальную малость акустического возмущения. и(~рв 3) инфинитезимальную малость среднего свободного пробега молекул газа по сравнению с линейным масштабом возмущения, равным (( ур1!р) '. Если мы отбросим два первых допущения, но оставим третье, то придем к гидродинамике, которую можно рассматривать как нелинейное обобщение волнового движения. Ей и посвящена эта глава. Как было указано в 2 !5.4, одномерное волновое уравнение имеет решения вида и(х, г) = ~(х ~- сГ).
Если носитель 7' ограничен, то такое решение представляет собой волновой пакет, движущийся с постоянной скоростью ~-с и без изменения амплитуды, т. е. размера и формы. Для более общих линейных уравнений с постоянными коэффициентами, таких, как уравнения упругих колебаний однородной среды или уравнение Шредингера для свободной частицы, волновой пакет, вообще говоря, изменяется по мере своего движения благодаря явлениям рассеяния и затухания (или роста). Для линейных уравнений с переменными коэффициентами движение оказывается еще более сложным, но в частном случае гиперболических систем (см. 2 17.8 ниже) может иметь место распространение без рассеяния или затухания, и происходит оно вдоль так называемых характеристик, Гл.
17. Нелинейные гадины: гидгнгдинимини 422 которые аналогичны траекториям х=сопз(~с1 в одномерном случае и движущимся волновым фронтам при большей размерности. Уравнения гидродинамики нелинейны, но если мы наложим малое возмущение на заданное гладкое решение, то это возмущение будет удовлетворять линейной гиперболической системе уравнений, получающейся путем линеаризации уравнений гидро- динамики относительно этого решения. Изучение характеристик играет ведущую роль в анализе гидродинамических задач. В нелинейных задачах встречается ряд новых явлений, таких, как ударные волны и контактные разрывы, которые могут быть представлены прн помощи так называемых слабых решений уравнений.
Для изучения этих решений необходимо записать уравнения в форме соответствующих законов сохранения. В общем случае может быть несколько таких консервативных форм: гладкие решения у них одинаковы, а слабые различны, н выбор той или иной из них основывается на физических соображениях. 47.2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Рассмотрим одномерное движение идеальной (невязкой) жидкости, происходящее при таких условиях, что теплопроводностью можно пренебречь. Жидкость можно представлять себе движущейся в длинной трубе с поперечным сечением единичной площади без трения о стенки.
Пусть р, и, р, Π— плотность, скорость, давление и внутренняя энергия на единицу массы жидкости — являются функциями х и г, где х — декартова координата вдоль трубы, а 1 — время. В качестве дополнительных зависимых переменных удобно ввести импульс и (полную) энергию на единицу объема, а именно т=т(х, 1)=ра и е=е(х, 1)=рО-+'7ри'. Пусть траектории двух частиц жидкости заданы уравнениями х=а= =а(() и х=Ь=Ь(1), где а(г1(Ь(1). Рассмотрим часть жидкости, заключенную между этими траекториями. Ее полная масса, полный импульс и полная энергия соответственно равны М=) рг(х, Р= ') тг(х, Е=) ег(х.
(17.2.1) Согласно основным физическим законам М=О (здесь точка обозначает г(7аг), Р равна сумме сил, действующих на эту часть жидкости, а Е равна скорости, с которой эти силы совершают работу. Таким образом, М=О, Р= — Р(Ь, 1)+Р(а, г), (17 2 и Е= — р(Ь, г) и(Ь, 1)-(-р(а, 1) и(а, 1). ет.2. Гидроаиноииаеские ооконье сохранения Каждое из этих уравнений можно представить в виде ьп> — ) )(х, г')йх+д(х, е)~ ' =О, аИ) или же в виде ь $ (д7!дс) йх+(и7'+д) ~„, =О, а так как а=и (а, г) и Ь=и(Ь, с), или, наконец, в виде ь ~) (дед(+д (и7'+ д)/дх~ йх= О; а если при этом предположить дифференцируемость функции и7+ее.
Это верно для каждого интервала (а, Ь), и поэтому для 7" и д из С' отсюда следует, что выражение в квадратных скобках тождественно обращается в нуль. Таким образом мы приходим к уравнениям с частными производными для гндродинамики, если выражения для 7 и и соответствуют (17.2.1) и (17.2.2). Положим $) = еп, Г = еп'~'р+ р (17.2.3) Тогда получающиеся уравнения можно сокращенно записать так: д()(д1+дГ!дх= О. Пока у нас неизвестных функций (это р, и, е и р) больше, чем уравнений.
Но, согласно законам термодинамики, существует функциональная связь между р, р и 8, называемая уравнением состояния вещества. Если она записана в виде р 7(а., р) (для идеального газа р=(у — 1) рк7, у=сонэ(), то в переменных, введенных в (17.2.3), она выглядит так: р = 7' ((11р) (е — '7, епе(р), р), (17.2.4) Если символ р в (17.2.3) понимается как сокращенное обозначение для этого выражения, то каждая компонента вектора Г будет функцией компонент вектора (), т.е. Г =Г(ь1), и поэтому д(1/дГ + дГ ($1)7дх = О. (17.2.5) Система уравнений этого общего вида при любом числе зависимых и независимых переменных называется системой законов сохранения (см.
работы Лакса 11954, 1957]). Для течения жидкости в плоскости х, у вектор импульса имеет две компоненты еп и п, а уравнения в форме законов сохранения имеют вид дУ~д(+дГ(Ю)(дх+дье(9)!ду. О, (17.2.6) Гл. /7. Неланеаныз задачи: еадроданамака где Р т и т Г (1/) = „, б ($3) =, . (17.2.7) т'/р+ р тп/р е (е+р) т/р (е + р) и/р Уравнения (17.2.5) могут быть также представлены различными способами в виде системы квазилинейных уравнений, например, как (д/д/+ ид(дх) р = — рди/дх, р (д/д/+ ид/дх) и = — др(дх, р (д(д/+ ид/дх) е- = — рди/дх, (17.2.8) где снова р=/(е', р). Система уравнений называется кеаэилинейной, если она линейна относительно частных производных высшего порядка (в данном случае первого порядка) с коэффициентами, являющимися функциями недифференцированных величин и их низших производных (здесь — только самих величин и,р,р,о).
Теперь покажем, как можно получить другую систему законов сохранения. Пусть Т=Т(х, /) и 5=3(х, /) — абсолютная температура и удельная (на единицу массы) энтропия жидкости. Согласно законам термодинамики, 5 и Т также являются функциями о. и р, причем ио + рй (1/р) = Тй8. (17.2.9) Объединяя первое и третье из уравнений (17.2.8), можно получить, что (д/д/ + ид/дх) й + р (д/д/+ ид/дх) (1/р) = О. Используя теперь (!7.2.9), будем иметь (д/д/ + ид(дх) Я = О, откуда следует, что вдоль траекторий частиц энтропия постоянна. Далее, это уравнение можно объединить с первым из уравнений (17.2.8), что дает д (р5)/д/+ д (риЯ)/дх = О. (17.2.10) Это новая форма третьего уравнения консервативной системы.
Если рЯ обозначить через з=з(х, 1) (это энтропия на единицу объема) и зависимость между е, 8 и р записать в виде з= /л(о., р), то а=/,((1/р) (е — '(,т'(р), р). с7.3. Слабые решения 425 Поэтому если вместо (17.2.3) мы возьмем е-[ Г (11) = те/р+ р, (17.231) тзср тогда система д()7д1+ А (11) д0,сдх =- 0 (17.2.13) будет квазилинейной. 47.3. СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ Сначала рассмотрим случай одной пространственной~переменной. Интегрирование системы (17.2,2) по г от 1, до 1, дает )и (1,) — и (г,) = о, с, Р(Г,) — Р(Г,) = Г)[ — р(Ь, с)+р(а, Г)1с(1, с, се Е(1,) — Е(сс) =) [ — Р(Ь, 1)и(Ь, 1)+р(а, 1) и(а, Ф)1сйс (17.3.1) то получим новую систему законов сохранения. Пока течение остается гладким, т.е.
пока р, а, р и т.д. как функции от х и 1 принадлежат С', система (17.2.8) и обе системы законов сохранения, основанные на (17.2.3) и (17.2.11), эквивалентны. Однако реальные течения не всегда гладки, и даже в гладком в начальный момент течении со временем могут возникнуть ударные волны и другие особенности. Течения с особенностями описываются слабыми решениями дифференциальных уравнений; такие решения обсуждаются в следующем параграфе. В классе слабых решений эти три системы дифференциальных уравнений уже неэквивалентны, и правильная форма должна определяться из физических соображений.
Как мы увидим, правильные слабые решения дает только консервативная система, основанная на (17.2.3), потому что сохранение массы, импульса и энергии — это основные физические законы (при наличии ударных волн энтропия не сохраняется, а возрастает). Для гладких решений каждую из консервативных систем можно представить в квазилинейной форме, для чего сначала определяется матрица А =- А (11) с элементами Аг,=дР7(1)Ии;, Гл. 37. Нелинейные еадики: гидродинамике 426 где, как н в (!7.2.2), а=а(8) и Ь=Ь(!).
Этн уравнения являются фундаментальным выражением физических законов сохранения массы, импульса и энергии для жидкости, поскольку они не требуют дифференцируемости входящих в них функций. Они связывают значения массы, импульса и энергии рассматриваемой части жидкости в момент Г, со значениями тех же самых величин в момент времени (ы Однако если компоненты (3 (х, 3) и Г ((3 (х, 3)) рассматриваются как распределения на плоскости х, г', то система (!7.3.1) 'в точности эквивалентна консервативной системе (17.2,5), если производные понимаются в смысле теории распределений.
Если % (х, г) — векторнозначная пробная функция с тем же числом компонент, что и 13, то, согласно определению производной от распределения, (17.2.5) означает, что 3 1(д%3д() $3+(д%!дх).Г((3)3ахг!г=О. (17.3.2) Любая функция !3 (х, г), которая удовлетворяет этому уравнению для всех таких векторных пробных функций %(х, г), называется слабым решением консервативной системы (17.2.5), 47.4.
УСЛОВИЯ НА СКАЧКЕ Слабое решение в общем случае кусочно гладко. Гладкие части удовлетворяют дифференциальным уравнениям в любой из форм, но этого в общем случае недостаточно для определения характера движения, исходя из начальных данных, и дифференциальные уравнения должны быть дополнены условиями на скачке в местах разрыва, Предположим, что слабое решение !3 (х, г) имеет разрыв в плоскости х, г вдоль кривой Ж: х=х(г), но дифференцируемо в некоторой окрестности )Г кривой Ы; функция х(г) предполагается дифференцируемой. Пусть %(х, !) — пробная функция, носитель которой принадлежит Ае. Обозначим через Я часть носителя %(х, г), лежащую по одну сторону (например, слева) от и (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
