Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 87
Текст из файла (страница 87)
рис. 17.1). Так как %=0 на границе Я всюду„за исключением отрезка кривой й, то по теореме Гаусса ') ) ( — ° 13+ — ° Г) дхг((+ ) ) ( — + — ) ° % г(хг(! = =~~ ~д', (% О)+-д'„(% Г)~д «~= — ы.и~. '. и г1г, 4лт 77 4, Условия на скачке где взяты левые предельные значения 11 и и (1)) на Ж, а (1+ х*)- ыа и — х (1+х')- ыа — компоненты единичного вектора нормали к в в системе координат х, г. Второй интеграл в левой части равен нулю, потому что (17.2.5) выполняется (в строгом Рис.
17.1. Диаграмма к условиям иа скачке. смысле) внутри Я. Поэтому если мы выполним аналогичное интегрирование по правой части носителя чт и сложим оба результата, а затем используем (17.3.2), то получим, что ьт О=1(х[٠— [Ц) =(з, )7 1+аз где [ 1 обозначает разность между двумя предельными значениями функции на двух сторонах кривой и', т.е. скачок этой функции (скажем, при переходе слева направо). Разность, а не сумма получается потому, что направление единичного вектора нормали меняется на противоположное, когда теорема Гаусса применяется для второй части носителя %.
В силу произвольности % из Ге. 77, 11еаииейиие задачи: гидродинамике последнего уравнения вытекает следующее условие на скачке: х[٠— [Г(1)))=0 на и". (17.4.1) Обобщение на случай более чем одной пространственной переменной получается непосредственно. Функция 11(х, у, г) является слабым решением уравнения (17.2.6), если Я ~д ° 11+ — ° Г (())+ — ° б (())~ г(хе(уй=0 (17.4.2) для любой векторной пробной функции %(х, у, 1).
Чтобы найти обобщение условия (17.4.1), напомним, что — 1и х были компонентами перпендикулярного к Ю вектора в системе координат х, Т. Поэтому если (1(х, у, г) — слабое решение уравнения (17.2.5), гладкость которого нарушается только разрывом первого рода вдоль поверхности 7' в трехмерном пространстве с координатами х, у, Т„а (Л„, Л„, Л,) — перпендикулярный к Г вектор, то вместо (17.4.1) для $3 йолучится условие Л, [Щ+Л„[Г (()))+Ли [б ($))1= 0 на У'. (17.4.3) Т7дк УДАРНЫЕ ВОЛНЫ И ПОВЕРХНОСТИ СКОЛЬЖЕНИЯ Для гидродинамики в случае одной пространственной переменной, когда $3 и Г($)) заданы в виде (17.2.3), условия на скачке можно интерпретировать следующим образом.
Первая компонента векторного уравнения (17.4.1) такова: х [р) = [т1 =- [ри). (17.5.1) Если предельные значения слева и справа от кривой и" отметить индексами 1 и 2 соответственно, то это уравнение можно переписать в виде (и, — х) р, = (и, — х) р,. Так как и,— х и и,— х являются относительными скоростями жидкости относительно местоположения разрыва с обеих его сторон, то общее значение обеих частей последнего равенства представляет собой массу М жидкости, которая протекает через единицу площади разрыва за единицу времени: М =(и,— х) р,=(и,— х) р„ (17.5.2) М положительна, если жидкость движется через разрыв вправо.
Теперь запишем две другие компоненты векторного уравнения (!7.4.1); Ми,— Ми; = р,— р„ (17.5.3) М (ве+'7,игг — 8,— ',~гиг) = р,и,— р,и,. (17.5,4) 77Х Ударные волны и аоееркнооти скольжение Эти уравнения показывают, что скорость изменения импульса при прохождении жидкости через разрыв равна разности сил давления по обе стороны от разрыва, а скорость изменения полной энергии (т.е. суммы внутренней и кинетической энергий) равна скорости, с которой эти силы совершают работу. Для дву- или трехмерных течений скорость жидкости представляется вектором и. Из-за увеличения размерности уравнения (17.5.2) — (!7.5.4) изменяются незначительно; в частности, (!7.5.3) заменяется векторным уравнением.
Предположим, что р„ р и н имеют разрывы первого рода на поверхности е и что Р†точ У, а (7 †скорос поверхности относительно той системы координат, в которой записаны уравнения, измеряемая по нормали к поверхности в точке Р. Иначе говоря, будем считать, что Л— единичный вектор нормали к поверхности в точке Р, йаправленный в область с индексом 2; тогда если провести через Р прямую в направлении Л, то (7 будет скоростью движения точки пересечения поверхности с этой прямой. Так как Л и представляет собой ортогональную проекцию скорости жидкости на это направление, то вместо уравнения (17.5.2) будем иметь М=(Л и; — (7)р;=(Л и,— (7)р,. (17.5.5) Скорость изменения импульса равна М (н, — и,), а сила равна Л(р,— р,), и поэтому уравнения (17.5.3) и (17,5.4) заменяются уравнениями М (и, — и,) = Л (р, — р,), (17.5.6) М(8е+'/ен,'— 8,— реп,') =Р,Л и„— р,Л и,.
(17.5.7) Уравнение (17.5.6) эквивалентно двум уравнениям: М(Л и,— Л н,)=р,— р„ (17.5.8) М (Лхи,— Лхн,) =О. (17.5.9) Из уравнения (17.5.9) видно, что существуют две основные возможности: либо тангенциальная компонента скорости, равная Лхн, непрерывна при переходе через е, либо М=--О. В первом случае г представляет собой ударную волну или фронт ударной волны; во втором случае — это поверхность скольжения, при переходе через которую давление р и нормальная компонента скорости остаются непрерывными (Л п,=Л п,=(7), тогда как плотность р и тангенциальная компонента Лх и скорости могут иметь произвольные скачки.
Если же М =О и функция Л хп непрерывна, то поверхность является контактным разрывом, когда разрывны только плотность и температура и нет относительного движения. Для случая ударной волны приведенные выше условия на скачке можно записать в терминах удельного объема 17 = 179 в Гл. 1У, Нелинейные задачи: гидраданамака 430 следующей (одной из возможных) форме: (1/!1,) (Х н,— (1) =(11)г ) (Х.п,— (1) =)' (р,— р,У~((г,— !1,), (!7 5.10) 8а — 8, = '/, (Р, + Р,) (1', — )г,), (17.5.! 1) Э. ус (и, — и,) = О.
(17.5.!2) В таком виде они известны как условия Ренкина — Гюгонио. Более общие условия (17.4.1) или (17.4.3) часто также называются условиями Ренкина — Гюгонио в обобщенном смысле. Положительное значение квадратного корня в (!7.5.!0) соответствует случаю М > 0 (ударной волне, движущейся относительно жидкости в сторону области с индексом 1); отрицательное значение квадратного корня соответствует случаю М < О. ФулМ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ Если М ) О, то индекс 2 указывает жидкость, которая пройдена фронтом ударной волны (или находится за ним).
Поэтому в данном случае можно ожидать, что р, ) р, и )1, > )г„как и наблюдается в экспериментах. Однако уравнения (17.5.10) — (17.5.!2) остаются верными, если индексы 1 и 2 поменять местами (согласно (17.5.5), это не меняет массу М) и поэтому существуют также решения, для которых р, < р, и )г,) 1',').
Такие решения называются ударными волнами разрежения. Как будет сейчас показано, их можно исключить из рассмотрения, проанализировав энтропию, устойчивость или же механизмы диссипации, Чтобы исследовать энтропию, сначала рассмотрим случай идеального газа; тогда') 8 —. Р)г)(у — 1), Т ос р)г, 5 сх1п (р)'т). В общем случае, когда е. =8 (р, )г), уравнение (17.5.11), записанное в виде 8 (р„)г,) — 8 (р„(гг) .= '!, (,, +,о,) ()гг — )г,), устанавливает связь между р„1', н Р„11,: для заданных рь (гт существует однопараметрическое семейство возможных конечных СОСтаяНИй, КаждОЕ ИЗ КОтОрЫХ ПрЕдетаВЛяЕтСя тОЧКОй (р„)га) На плоскости р, (1; геометрическим местом этих точек является так называемая кривая Гюгонио.
Для заданных рм )гт положим Л=Р 4рг т)=)ег)(га=уауР ' г) Если при этом движение фронта волны по.прежнему происходит в сю. рону области с индексом К вЂ” Прим. нерее. ') Символ сг озиачаетфуикциоиальиую зависимость, т.е. равеиство с точ. пастью до постоаииого множителя или слагаеиого,— Прим. иерее, /у,б. //еуепюйчиеасть волн разрежения здесь и и т) — коэффициент давления и коэффициент сжатия ударной волны соответственно. В случае идеального газа нетрудно проверить, что кривая Гюгонио описывается уравнением и = (От) — 1)/(Π— т)) (О = (у+ 1)/(у — 1)).
(17.6.2) Так как и и т) по определению положительны, они меняются в интервалах 0<я <со и 1/О <т) <О. Ударные волны сжатия и разрежения получаются при т) > 1 и Ч < 1 соответственно. Бесконечно сильная ударная волна (прн и- оо) сжимает жидкость только в конечное число раз 0=(у-)-1)/(у — 1) (при этом температура Те оо), На кривой Гюгонио энтропия как функция от ч) выражается формулой о сх1пр+у )п(/, а изменение энтропии, вызываемое ударной волной, составляет ЛЗ = 5, — Я, сх 1п и — у 1п т) = = 1и [(Оз) — 1)/(Π— т))1 — 7 1п т).
Производная функции ЛЯ по т) вдоль кривой Гюгонио равна 8 ) у ув(Ч вЂ” Ве — ЛЯ= — + — — — = Во ОЧ вЂ” (  — Ч Ч (ВЧ вЂ” ))(Π— Ч) Ч' Эта величина положительна на всей кривой (ибо 1/О < т) < О), кроме точки Ч =1, где она обращается в нуль; следовательно, /зЯ> 0 при з) > 1 и ЛЯ <0 при т) <1. Ударные волны могут существовать в системе, в которой все другие процессы изэнтропичны.
Следовательно, случай сиз < 0 может быть исключен из рассмотрения, и из второго закона термодинамики вытекает, что ударные волны разрежения в природе не встречаются'). Вывод о о том, что /хо — это возрастающая функция т) вдоль кривой Гюгонио (за исключением точки т)=1), имеет место для общего уравнения состояния при весьма широких предположениях (см. книгу Куранта и Фридрихса [1948, й 651), На невозможность существования ударных волн разрежения указывают и следующие соображения относительно их устойчивости. Рассмотрим две ударные волны, следующие одна за другой. Для простоты предположим, что это плоские параллельные волны стационарной формы, движущиеся относительно жидкости в одном и том же направлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
