Главная » Просмотр файлов » Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1

Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 87

Файл №947397 Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (Рихтмайер - Принципы современной математической физики) 87 страницаРихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397) страница 872013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 87)

рис. 17.1). Так как %=0 на границе Я всюду„за исключением отрезка кривой й, то по теореме Гаусса ') ) ( — ° 13+ — ° Г) дхг((+ ) ) ( — + — ) ° % г(хг(! = =~~ ~д', (% О)+-д'„(% Г)~д «~= — ы.и~. '. и г1г, 4лт 77 4, Условия на скачке где взяты левые предельные значения 11 и и (1)) на Ж, а (1+ х*)- ыа и — х (1+х')- ыа — компоненты единичного вектора нормали к в в системе координат х, г. Второй интеграл в левой части равен нулю, потому что (17.2.5) выполняется (в строгом Рис.

17.1. Диаграмма к условиям иа скачке. смысле) внутри Я. Поэтому если мы выполним аналогичное интегрирование по правой части носителя чт и сложим оба результата, а затем используем (17.3.2), то получим, что ьт О=1(х[٠— [Ц) =(з, )7 1+аз где [ 1 обозначает разность между двумя предельными значениями функции на двух сторонах кривой и', т.е. скачок этой функции (скажем, при переходе слева направо). Разность, а не сумма получается потому, что направление единичного вектора нормали меняется на противоположное, когда теорема Гаусса применяется для второй части носителя %.

В силу произвольности % из Ге. 77, 11еаииейиие задачи: гидродинамике последнего уравнения вытекает следующее условие на скачке: х[٠— [Г(1)))=0 на и". (17.4.1) Обобщение на случай более чем одной пространственной переменной получается непосредственно. Функция 11(х, у, г) является слабым решением уравнения (17.2.6), если Я ~д ° 11+ — ° Г (())+ — ° б (())~ г(хе(уй=0 (17.4.2) для любой векторной пробной функции %(х, у, 1).

Чтобы найти обобщение условия (17.4.1), напомним, что — 1и х были компонентами перпендикулярного к Ю вектора в системе координат х, Т. Поэтому если (1(х, у, г) — слабое решение уравнения (17.2.5), гладкость которого нарушается только разрывом первого рода вдоль поверхности 7' в трехмерном пространстве с координатами х, у, Т„а (Л„, Л„, Л,) — перпендикулярный к Г вектор, то вместо (17.4.1) для $3 йолучится условие Л, [Щ+Л„[Г (()))+Ли [б ($))1= 0 на У'. (17.4.3) Т7дк УДАРНЫЕ ВОЛНЫ И ПОВЕРХНОСТИ СКОЛЬЖЕНИЯ Для гидродинамики в случае одной пространственной переменной, когда $3 и Г($)) заданы в виде (17.2.3), условия на скачке можно интерпретировать следующим образом.

Первая компонента векторного уравнения (17.4.1) такова: х [р) = [т1 =- [ри). (17.5.1) Если предельные значения слева и справа от кривой и" отметить индексами 1 и 2 соответственно, то это уравнение можно переписать в виде (и, — х) р, = (и, — х) р,. Так как и,— х и и,— х являются относительными скоростями жидкости относительно местоположения разрыва с обеих его сторон, то общее значение обеих частей последнего равенства представляет собой массу М жидкости, которая протекает через единицу площади разрыва за единицу времени: М =(и,— х) р,=(и,— х) р„ (17.5.2) М положительна, если жидкость движется через разрыв вправо.

Теперь запишем две другие компоненты векторного уравнения (!7.4.1); Ми,— Ми; = р,— р„ (17.5.3) М (ве+'7,игг — 8,— ',~гиг) = р,и,— р,и,. (17.5,4) 77Х Ударные волны и аоееркнооти скольжение Эти уравнения показывают, что скорость изменения импульса при прохождении жидкости через разрыв равна разности сил давления по обе стороны от разрыва, а скорость изменения полной энергии (т.е. суммы внутренней и кинетической энергий) равна скорости, с которой эти силы совершают работу. Для дву- или трехмерных течений скорость жидкости представляется вектором и. Из-за увеличения размерности уравнения (17.5.2) — (!7.5.4) изменяются незначительно; в частности, (!7.5.3) заменяется векторным уравнением.

Предположим, что р„ р и н имеют разрывы первого рода на поверхности е и что Р†точ У, а (7 †скорос поверхности относительно той системы координат, в которой записаны уравнения, измеряемая по нормали к поверхности в точке Р. Иначе говоря, будем считать, что Л— единичный вектор нормали к поверхности в точке Р, йаправленный в область с индексом 2; тогда если провести через Р прямую в направлении Л, то (7 будет скоростью движения точки пересечения поверхности с этой прямой. Так как Л и представляет собой ортогональную проекцию скорости жидкости на это направление, то вместо уравнения (17.5.2) будем иметь М=(Л и; — (7)р;=(Л и,— (7)р,. (17.5.5) Скорость изменения импульса равна М (н, — и,), а сила равна Л(р,— р,), и поэтому уравнения (17.5.3) и (17,5.4) заменяются уравнениями М (и, — и,) = Л (р, — р,), (17.5.6) М(8е+'/ен,'— 8,— реп,') =Р,Л и„— р,Л и,.

(17.5.7) Уравнение (17.5.6) эквивалентно двум уравнениям: М(Л и,— Л н,)=р,— р„ (17.5.8) М (Лхи,— Лхн,) =О. (17.5.9) Из уравнения (17.5.9) видно, что существуют две основные возможности: либо тангенциальная компонента скорости, равная Лхн, непрерывна при переходе через е, либо М=--О. В первом случае г представляет собой ударную волну или фронт ударной волны; во втором случае — это поверхность скольжения, при переходе через которую давление р и нормальная компонента скорости остаются непрерывными (Л п,=Л п,=(7), тогда как плотность р и тангенциальная компонента Лх и скорости могут иметь произвольные скачки.

Если же М =О и функция Л хп непрерывна, то поверхность является контактным разрывом, когда разрывны только плотность и температура и нет относительного движения. Для случая ударной волны приведенные выше условия на скачке можно записать в терминах удельного объема 17 = 179 в Гл. 1У, Нелинейные задачи: гидраданамака 430 следующей (одной из возможных) форме: (1/!1,) (Х н,— (1) =(11)г ) (Х.п,— (1) =)' (р,— р,У~((г,— !1,), (!7 5.10) 8а — 8, = '/, (Р, + Р,) (1', — )г,), (17.5.! 1) Э. ус (и, — и,) = О.

(17.5.!2) В таком виде они известны как условия Ренкина — Гюгонио. Более общие условия (17.4.1) или (17.4.3) часто также называются условиями Ренкина — Гюгонио в обобщенном смысле. Положительное значение квадратного корня в (!7.5.!0) соответствует случаю М > 0 (ударной волне, движущейся относительно жидкости в сторону области с индексом 1); отрицательное значение квадратного корня соответствует случаю М < О. ФулМ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ Если М ) О, то индекс 2 указывает жидкость, которая пройдена фронтом ударной волны (или находится за ним).

Поэтому в данном случае можно ожидать, что р, ) р, и )1, > )г„как и наблюдается в экспериментах. Однако уравнения (17.5.10) — (17.5.!2) остаются верными, если индексы 1 и 2 поменять местами (согласно (17.5.5), это не меняет массу М) и поэтому существуют также решения, для которых р, < р, и )г,) 1',').

Такие решения называются ударными волнами разрежения. Как будет сейчас показано, их можно исключить из рассмотрения, проанализировав энтропию, устойчивость или же механизмы диссипации, Чтобы исследовать энтропию, сначала рассмотрим случай идеального газа; тогда') 8 —. Р)г)(у — 1), Т ос р)г, 5 сх1п (р)'т). В общем случае, когда е. =8 (р, )г), уравнение (17.5.11), записанное в виде 8 (р„)г,) — 8 (р„(гг) .= '!, (,, +,о,) ()гг — )г,), устанавливает связь между р„1', н Р„11,: для заданных рь (гт существует однопараметрическое семейство возможных конечных СОСтаяНИй, КаждОЕ ИЗ КОтОрЫХ ПрЕдетаВЛяЕтСя тОЧКОй (р„)га) На плоскости р, (1; геометрическим местом этих точек является так называемая кривая Гюгонио.

Для заданных рм )гт положим Л=Р 4рг т)=)ег)(га=уауР ' г) Если при этом движение фронта волны по.прежнему происходит в сю. рону области с индексом К вЂ” Прим. нерее. ') Символ сг озиачаетфуикциоиальиую зависимость, т.е. равеиство с точ. пастью до постоаииого множителя или слагаеиого,— Прим. иерее, /у,б. //еуепюйчиеасть волн разрежения здесь и и т) — коэффициент давления и коэффициент сжатия ударной волны соответственно. В случае идеального газа нетрудно проверить, что кривая Гюгонио описывается уравнением и = (От) — 1)/(Π— т)) (О = (у+ 1)/(у — 1)).

(17.6.2) Так как и и т) по определению положительны, они меняются в интервалах 0<я <со и 1/О <т) <О. Ударные волны сжатия и разрежения получаются при т) > 1 и Ч < 1 соответственно. Бесконечно сильная ударная волна (прн и- оо) сжимает жидкость только в конечное число раз 0=(у-)-1)/(у — 1) (при этом температура Те оо), На кривой Гюгонио энтропия как функция от ч) выражается формулой о сх1пр+у )п(/, а изменение энтропии, вызываемое ударной волной, составляет ЛЗ = 5, — Я, сх 1п и — у 1п т) = = 1и [(Оз) — 1)/(Π— т))1 — 7 1п т).

Производная функции ЛЯ по т) вдоль кривой Гюгонио равна 8 ) у ув(Ч вЂ” Ве — ЛЯ= — + — — — = Во ОЧ вЂ” (  — Ч Ч (ВЧ вЂ” ))(Π— Ч) Ч' Эта величина положительна на всей кривой (ибо 1/О < т) < О), кроме точки Ч =1, где она обращается в нуль; следовательно, /зЯ> 0 при з) > 1 и ЛЯ <0 при т) <1. Ударные волны могут существовать в системе, в которой все другие процессы изэнтропичны.

Следовательно, случай сиз < 0 может быть исключен из рассмотрения, и из второго закона термодинамики вытекает, что ударные волны разрежения в природе не встречаются'). Вывод о о том, что /хо — это возрастающая функция т) вдоль кривой Гюгонио (за исключением точки т)=1), имеет место для общего уравнения состояния при весьма широких предположениях (см. книгу Куранта и Фридрихса [1948, й 651), На невозможность существования ударных волн разрежения указывают и следующие соображения относительно их устойчивости. Рассмотрим две ударные волны, следующие одна за другой. Для простоты предположим, что это плоские параллельные волны стационарной формы, движущиеся относительно жидкости в одном и том же направлении.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,86 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6543
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее