Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Причиной этого являются неустойчивости Гельмгольца и Тейлора (см. й 17.15). 47.13. ЗАДАЧА РИМАНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ Простейшей задачей с негладкими начальными данными является классическая задача Римана. Это задача с одной пространственной переменной, когда функции и, р и р в начальный момент постоянны, за исключением разрывов в точке х=О, где они претерпевают скачки от значений ио ро р; при х < 0 до значений и„р„р, при х > О. Примером практической реализации такой задачи является ударная труба. Это длинная труба или трубка, разделенная на дае части тонкой поперечной диафрагмой в точке х= О.
Воздух накачивается в одну из частей (например, в ту, для которой х ( 0) до высокого давления р„ а в другой части остается под более низким давлением р,. После установления теплового и механического равновесия температура везде постоянна, так что в силу закона Бойля р,7р, = рз7р„ а и, = и, =О, После этого в момент ! = 0 диафрагма разрывается или быстро убирается.
Тогда ударная волна будет двигаться по воздуху вправо, начиная от точки х= О, а волна разрежения †вле. Р л б хз х~ Рис. !7ДЬ Профиль давления в задаче Римана. ! — волна разрежения; 7 — контактный разрыв; 3 — ударная волна. Профиль давления в некоторый момент ! > 0 будет таким, как показано на рис. !7.2. Первоначальная граница раздела, на которой раньше стояла диафрагма, уже находится в точке х=х„ где имеется контактный разрыв (см. 5 17.5), на котором давление непрерывно, а температура и плотность разрывны. (Сразу левее х, воздух расширился, а правее сжался,) Каждая из точек х,, х„х„х, движется от начала координат со своей постоянной скоростью.
Нетрудно установить, что существует только одно решение этой задачи, удовлетворяющее условиям на скачке и условию энтропии в точках разрыва и дифференциальным урав- ГА 17, Нелинейные еадани: еидрадинамики 446 пениям между ними. Легко видеть, что характер решения будет именно таким, как только что было описано. другим примером такого рода является столкновение двух облаков первоначально холодного межзвездного газа с границами в виде параллельных плоскостей. В момент столкновения р, = Т,= = р,=Т,=О, а и, > 0 и и, < О.
В этом случае образуются две ударные волны, движущиеся от плоскости столкновения внутрь каждого облака. Общий случай с произвольными значениями и„и„р„р„р„ р, был исследован Риманом в 1860 г. (см. книгу Куранта и Фридрихса 119481). По-видимому, простейшее обобщение задачи Римана получится в том случае, если допустить в ней ие только постоянные, но и аналитические по обе стороны от точки х= 0 функции при 1 = О. Этой задаче было посвящено много работ.
В ннх доказаны существование и единственность решения для упрощенных вариантов этой задачи (например, когда имеются всего одна функция и одно дифференциальное уравнение). Однако общий случай еще нельзя считать исследованным до конца.
Соответствующая многомерная задача с начальными разрывами на искривленной в обшем случае поверхности пока что очень далека от завершения и, по-видимому, еще долго останется в таком состоянии. Соображения по поводу кусочно аналитических задач с начальнымн данными сформулированы в общих чертах в й 17.!6. Предварительно для этой цели рассматриваются спонтанное образование ударных волн и неустойчивости Гельмгольца и Тейлора, ТК!4. СПОНТАННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН Предположим, что газ в состоянии покоя заполняет длинную трубку с поршнем иа одном из ее концов. При 1=0 поршень начинает вдвигаться в трубку с непрерывным ускорением.
д(ы покажем, что возникающее при этом течение газа будет оставаться гладким до определенного момента времени е', а в этот момент в некоторой точке внутри газа образуется ударная волна, которая начнет двигаться по газу в сторону от поршня. Интенсивность ударной волны равна нулю при 4=-1*, но становится положительной н возрастает при ( > 1*.
Таким образом, в течении, которое сначала было гладким, со временем может образоваться особенность. Это явление наблюдается в атмосфере некоторых пульсирующих звезд: ударная волна формируется в каждом цикле на стадии ускоренного разлета, когда оболочка движется наружу под действием расширяюшегося внутри. вездного вещества. Тогда ударная волна также движется наружу через оставшуюся атмос- Е7.!4. Спонтанное оораеоеанае Чдарних волн 447 феру и исчезает в окружающем звезду вакууме, по-видимому, нагревая корону звезды при прохождении через нее. Обозначим координату х поршня в момент Е через 3(Е) и предположим, что $(Е)=0 при Е < О. Газ находится в области х> $(Е).
Предположим, что ускорение поршня $(Е) > 0 при Е > 0 и либо непрерывно при всех Е, либо в крайнем случае имеет скачок при !=0. При Е < 0 мы имеем и=О и с=с, для всех х > О. Уравнения в характеристической форме, описывающие течение, приведены в (17.9.4), (17.9.5). Характеристические кривые хь(Е) в плоскости х, Е задаются уравнениями с(х /е(Е = и+ с, е(х /ЕЕЕ = и — с.
(17.14.1) Вдоль каждой запаздывающей характеристики х (Е) величина и — о=и — 2с/(у — 1) постоянна. Более того, она постоянна для всего течения, пока в нем не возникла ударная волна, так как и=-0 и с=с, при !=О для всех х. Таким образом, и — 2с/(у — 1) = — 2с,/(у — ! 1. (17.14.2) Вдоль каждой опережающей характеристики х+ (Е) величина и+ + 2с/(у — 1) также постоянна, и поэтому и и с в отдельности постоянны вдоль нее, так что каждая опережающая характеристика в плоскости х, Е является прямой с тангенсом угла наклона, равным (и+с) '. Запаздывающие характеристики остаются прямыми только до их пересечения с опережающей характеристикой, выходящей из начала координат (см.
рис. 17.3). Вдоль опережающей характеристики, начинающейся на ъоршне в момент Е,, величины и, с, р и р определяются из системы уравнений и=5(Е,), и — 2(с — с,)/(у — 1)=0, с'=ур/р, р=Крт, (17.14,3) а уравнение самой характеристики имеет вид хо (Е) = 5 (Е,)+ (и+с) (Š— Е,) = см =$(Е,)+~с,+'/*(у+1)В (ЕоН(Š— Ео)=х+(Е Ео) (17144) Из (17.!4.3) следует, что пока $(Ее) возрастает, все величины и, с, р, р будут возрастающими функциями от Е,. Поэтому тангенсы углов наклона, равные (и+с) ', уменьшаются при движении влево по семейству опережающих характеристик, и любые две такие характеристики обязательно пересекутся, если они продолжены вперед достаточно далеко.
Две характеристики, начинающиеся при Е, и Е,+з, пересекутся в момент Еп если дх+ (Ее Ео)/д(о=О (при этом были отброшены величины порядка з'), Учитывая зто условие и считая, что 0 < $(Е,) < ао, из уравнения (17.14,3) Гл. 17, Е(злилейчые задачи; гидродинамика 448 получаем 2 г Е;=Е,+ .. ~сз+ — $(Еа)~ =Ез(гз) (17145) (у — () В (Ез) Кривая на плоскости х, Е, заданная в виде х= х+ (Е, (Е,), Е,), Е = Е, (Е,) (Е,— параметр), (! 7.14,6) является огибающей характеристик; она изображена на рис.
17.3 линией о резким изломом. Мы видим, что эта кривая имеет точку возврата, соответствующую такому значению Е„при котором функция Е,(Е,) достигает минимума. Рис. 17.3. Спонтанное образование ударной волны. 7 — кривая движения поршня к=$ (Е); 2 — ударная волна; 3 — огибающая; 4 опережакяцне характеристики; Ю вЂ” запаздывающая характеристика. 17.15, ггеуггиойчиоогти Гееьмгольца и Тейлора Ударная волна возникаег в точке возврата огибающей и.
затем движется так, как это схематически указано на рисунке штриховой линией. Чтобы увидеть образование ударной волны,. заметим, что р, р, и, с — возрастающие функции от 1„но скорость изменения х как функции от Гь при фиксированном 1=11 равна нулю в точке возврата, и поэтому р, р, и н с как функции от х имеют там бесконечные производные. Изучение дальнейшего развития ударной волны становится более сложным, так как теперь нужно учитывать условия Ренкина — Гюгоиио и течение уже нельзя считать изэнтропическим.
Можно показать, что интенсивность ударной волны сначала возрастает как (1 — 1*)'1', где Гь — минимум функции Г,((ь). 17.15. НЕУСТОЙЧИВОСТИ ГЕЛЬМГОЛЬЦА И ТЕЙЛОРА Чтобы задача с начальными данными была корректно поставленной по Адамару, необходимо не только существование единственного решения для всех начальных состояний системы, определяемых некоторым <разумным> классом начальных функций, но требуется еще и непрерывная зависимость (в некотором смысле) этого решения от начальных данных (см.
гл. )б). Примером отсутствия такой непрерывной зависимости служит неустойчивость Гельмгольца. Пусть некоторая плоскость разделяет две области (два полу- пространства), в каждой из которых со своей для каждой области скоростью равномерно движется жидкость, скользя без трения по этой плоскости. Введя малое возмущение начальных данных путем перехода от плоской поверхности скольжения к волнистой синусоидальной с малой амплитудой отклонений н соответствующего незначительного изменения течения вблизи этой поверхности, можно получить решение, в котором амплитуда возмущения со временем возрастает. Этот рост является экспоненциальным до тех пор, пока амплитуда мала по сравнению с длиной волны, т. е.
для линеаризованной задачи (см. ниже). Именно по этой причине легкий ветерок порождает волны иа поверхности водоема. Описанное возрастание малых возмущений известно под названием неустойцивосгии Гельмгольца. (При этом предполагается, что скорость скольжения не превосходит определенной части скорости звука — при ббльших относительных скоростях акустические явления подавляют эту неустойчивость.) Более того, скорость экспоненциального роста таких возмущений неограниченно возрастает, если длина волны Х первоначальных колебаний поверхности скольжения стремится к нулю. Следовательно, для любых заданных з > О и М ) О можно найти такое достаточно малое ), что начальное «инфинитезимальное» возмущение с длиной волны ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
