Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Истечение вниз нз тройной точки порождает также поверхность скольжения, показанную штриховой линией. Элемент жидкости непосредственно под поверхностью скольжения был сжат объединенной ударной волной, а элемент непосредственно над ней был сжат до того же окончательного давления (давление непрерывно при переходе через поверхность скольжения) последовательно двумя ударными волнами. Сжатие объединенной ударной волной приводит к большему увеличению энтропии, так как увеличение энтропии при прохождении конкретной ударной волны грубо оценивается как куб коэффициента сжатия этой волны. Поэтому температура и удельный объем снизу от поверхности будут больше, чем сверху от нее, так что скорость течения в сторону от ударных волн должна быть больше снизу от поверхности, чтобы обеспечивалось сохранение массы.
Для этого течения выполняется закон подобия, потому что в формулировку задачи не входит никакой характерной длины. (Ясно, что длина и поперечные размеры ударной трубы несущественны, и при обсуждении закона подобия их можно считать бесконечными.) Это означает, что полная картина течения в момент 1, (началом отсчета времени служит момент достижения первичной ударной волной основания клина) является точно такой же, как и в момент 1„ если осуществить преобразование подобия с коэффициентом (гФе.
Иначе говоря, функции и, п, Р и р зависят только от аргументов х/г и у/Г, где х и у †декартовы координаты с началом отсчета в вершине клина, Кажется очевидным, что ударные волны и поверхность скольжения должны быть аналитическими кривыми (за исключением, возможно, самой тройной точки Р), а описывающие течение переменные в каждой области должны быть аналитическими функциями аргументов $=х~Л и т1=у/1. Это наводит на мысль, что на таких кРивых кооРдинаты $ — $е и Ч вЂ” т1е должны быть степенными рядами относительно длины дуги о (в переменных подобия гЬе=г$*+Й)е), где $, и т1,— координаты точки Р, а в каждой из двух областей, ограниченных этими кривыми, и, п, р и р должны быть степенными рядами по двум переменным $ — $е и т1 — т),. Эти функции равны известным постоянным в каждой из областей спереди первичной ударной волны и сзади нее.
Однако нетрудно убедиться в том, что ни одно решение такого вида не может удовлетворять одновременно условиям на скачке, диффе- Прилаж. к гл. )7. Задача аб ашсогдингнаой ударной полне 4бб ренциальным уравнениям и закону подобия. Можно предположить, что одна или более кривых имеют бесконечную кривизну в точке Р, подобно функции у — — [х[згт в начале координат. Для такого случая можно попытаться использовать представления в виде степенных рядов с дробными показателями степени, но этот подход также ничего не дает. Ничего не получается и при помощи представлений, в которые входят логарифмы. Пока что характер особенности в точке Р остается неясным.
Течение в окрестности вершины клина служит примером течения в окрестности угловой точки, Для безвихревого течения несжимаемой жидкости решение выражается через дробные степени 9 и ц (см. книгу Ландау и Лифшица(1954, 9 10, задача б)), и, по-видимому, здесь это верно даже тогда„когда течение является завихренным, а жидкость — сжимаемой. Эти два примера, как и многие другие, показывают, что формулировка кусочно аналитических задач с начальными данными должна допускать не только разрывы перв го рода, но и другие особенности, однако подходящий класс особенностей в настоящее время еще не очерчен.
Приложение к гиене 17 [разделы А — Д[. ЗАДАЧА ОБ ОТСОЕДИНЕННОЙ УДАРНОЙ ВОПНЕ Предстаалеине решения задачи Коши и анде степенного ряда было предложено Коши, а позднее Коаалеаской с единственной целью доказать существование решения. До появления быстродействующих ЭВМ не могло быть и речи об использовании метода степенных рядов для проведения реальных численных расчетов, за исключением достаточно очевидных случаев.
Даже при наличии соаременной ЭВМ нужно преодолеть ряд трудностей, чтобы сделать этот метод пригодным для практических целей. Успешно работающие методики были предложены Рихтмайером 119571 и Леаисом [19591, которые ввели специальные правила для выполнения на ЭВМ действий трех различных видов (арифметических дейстаий, алгебраических преобразований и действий с аналитическими функциями), что сделало метод степенных рядов пригодным для практики и очень точным н применении к задаче о расчете отсоединенной ударной аолны, на которой он проверялся. Эгн правила †арифмети с подсчетом значашях цифр, преобразование степенных рядов и аналитическое продолжение решения †описаны а данном приложении после краткого обсуждения постановки задачи об отсоединенной ударной волне.
17.А. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Наша цель состоит н том, чтобы рассчитать стационарное двумерное течение сжимаемой жидкости, когда аналитические данные Коши заданы на аналитической кривой, не имеющей характеристических точек. Описывающие течеане величины (данлеиие, плотность, компоненты скорости и т. д.) представляются степенными рядами по двум пространственным переменным или по кринолинейным координатам, одна из которых постоянна на заданной ириной. Разложение делается относительно некоторой точки на ириной. Тогда определение коэффициеитоа разложения по заданным начальным данным (значениям на кривой) при полющи гидродинамических уравнений а частных производных становится Гя.
!7. Нелипейньм чайачп; гийродинолихо формальной численной процедурой, которая выполняешься машинными про аппп 6 р грамм м о реобразованию степенных рядов. после вычисления достаточно большого числа коэффициентов (скажем, нескольких сотен для каждой искомой величины) ряды суммируются, а результате чего получается решение вблизи той точки, относительно которой было сделано разложение.
В обоснованности применения такой численной процедуры можно убедиться эмпирически, а именно: (!) сравнивая результаты, полученные в данной точке течении из разложений относительно двух или более соседних точек на кривой, (2) проверяя выполнение закона Бернулли и (3) проверяя постоянство энтропии вдоль линии тока. Для изучения был выбран частный случай втой задачи — течение между б е о ч отсоединенной ударной волной и осесимметричным затупленным телом и п дои гол вной части снаряда, движущегося при большом числе Маха в воздухе э о (без учета вязкости).
Общие характеристики этого течения хороша извест ы. Взаимное ра положение ударной волны, тела и линий тока поиазаио иа рис. Рис. 17.6. Отсоединенная ударная полна. 7 — линии тока; 2 — ударная волна; 3 — звуковая ливия; 4 — тело; 5 — область дозвукового течения; б — область сверхзвукового течения. 17.6. Выбрана такаи система отсчета, в которой тело находилось бы в состоянии покоя. Зазор между ударной волной и поверхностью тела ссставляет примерно одну десятую радиуса кривизны в передней точке поверхности и в действительности зависит от числа Маха и уравнения состояния.
Вблизи оси течение за ударной волной является дозвуковым, ио с удалением от оси оио становится сверхзвуковым. При обычных условиях толщина примыкающего н поверхности тела пограничного слоя жидкости пренебрежимо мала, и поэтому предположение об отсутствии вязкости во всей области течения вполне оправдано. Как и в ряде других подходов и этой задаче, мы начнем с предположения, что форма ударной волны известна, чтобы в дальнейшем рассчитать ту форму тела, котораи порождает такую ударную волну. Если давление, плотность й скорость воздуха перед ударной волной известны, то их значения непосредст.
Пр«лож. к ел. 17. Задача об он«сед«не«ной ударной волне 457 венка за ией определяются из условий Ренкина — Гюгоиио иа скачке, Если выбранные ианк поверхность ударной волны и уравнение состояния являются аналитическими, то описывающие течение величины непосредственно за волной (данные Коши) будут аналитическими функциями подходящей координаты вдоль волны н могут быть разложены в ряд по степеням этой координаты. Подготовнтелььая программа вычисляет коэффициенты этих разложений; основная программа вычисляет оставшиеся коэффициенты полного разложения по двум переменным, исходя из дифференциальных уравнений в частных производных; наконец, последняя программа вычисляет различные величины путем суммирования степенных рядов во всех заданных точках поля течения.
Математическая формулировка задачи сводится к следующему. Пусть г и г †цилиндрическ координаты. Предположим, что течение симметрично относительно оси г, а форма ударной волны задана уравнением г = 6 (г) = Со+ Сота -1- Сото +... (!7,А.!) В области перед ударной волной, т.
е. при г < 6(г) (на рис. 17.5 она слеза), описывающие течение величины постоянны, а скорость параллельна оси г. Воздух считается идеальным газом с уравнением состояния р=(у — 1) 8р (17.А.2) в обозначениях й 17.2. Перед волной при надлежащем выборе единиц р=(, «=и, =О. (17.А.З) Здесь и и о — осевая и радиальная компоненты.скорости жидкости, а (7 — постоянная.
Скорость звуиа перед волной равна У ур7р = )Гу, и поэтому число Маха М=(7! у у. За волной описывакяцие течение переменные зависят от г и г. Удобно ввести криволинейные координаты х и у таким образом, чтобы к= г — С (г), г=х-(-у (у), (17.А.4) у=г — ге в=го+у где г,— положительная постоянная, д(у)=6(го+у), у — радиальная координата, измеряемая от радиуса го той точки на ударной волне, относительно которой делаются разложения в степенные ряды, а г — координата, измеряемая параллельно оси, ио от волны, з не от фиксированной плоскости, так что для волны я=О. Если 7 обозначает любую из переменных течения «, и, р, р, то 7=7(к, у);7'(О,у) обозначает значение переменной непосредственно за волной, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
